模型試驗(yàn)相似理論研究

摘 要：文章總結(jié)了模型試驗(yàn)中相似理論及相似理論導(dǎo)出方法，分析了相似理論的不足，并通過算例進(jìn)一步說明了相似理論的運(yùn)用，對模型試驗(yàn)的發(fā)展與運(yùn)用有一定的意義。

關(guān)鍵詞：模型試驗(yàn)；相似理論；導(dǎo)出方法

中圖分類號：TU241 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1006-8937（2014）27-0154-01

自然界現(xiàn)象錯(cuò)徐復(fù)雜，許多問題依照數(shù)學(xué)知識尚不能解決。直接的實(shí)驗(yàn)方法只能運(yùn)用在與實(shí)驗(yàn)條件完全相同的現(xiàn)象，并且直接實(shí)驗(yàn)方法常常僅可得出少數(shù)量間的規(guī)律，較難抓住現(xiàn)象的全部本質(zhì)。所以，以相似理論為基礎(chǔ)的模型研究方法成為探索自然規(guī)律的新方法。模型試驗(yàn)方法是指建立在相似理論基礎(chǔ)上的模型試驗(yàn)方法，以相似理論為指導(dǎo)，對特定工程問題進(jìn)行縮尺研究方法，主要用于模擬工程體在外荷載作用下的變形、穩(wěn)定等力學(xué)效應(yīng)。

1 基本原理

相似理論研究的是相似現(xiàn)象的性質(zhì)和確定相似方法。最簡單的相似是幾何相似，除此之外還有物理相似，例如質(zhì)量、時(shí)間、材料物理學(xué)等相似。相似第三定理是相似的充分條件，而相似第一定理、第二定理是相似的必要條件，

1.1 相似第一定理

相似第一定理由法國J.Bertrand建立，為“對相似的現(xiàn)象，其相似指標(biāo)等于l或相似準(zhǔn)則的數(shù)值相同”。當(dāng)用相似第一定理指導(dǎo)模型研究時(shí)，先導(dǎo)出相似準(zhǔn)則，再通過模型試驗(yàn)測量出與相似準(zhǔn)則有關(guān)的全部物理量，計(jì)算出相似準(zhǔn)則數(shù)值，借此推斷原型的性能。對于同一準(zhǔn)則中的物理量，若滿足幾何相似，便可找到各物理量相似常數(shù)間的比例關(guān)系。

1.2 相似第二定理

相似第二定理又稱？仔定理，即： “若一系統(tǒng)有n個(gè)物理量，其中有m個(gè)物理量量綱相互獨(dú)立，那么這n個(gè)物理量可表示成相似準(zhǔn)則？仔1，…，？仔n-m之間的函數(shù)關(guān)系。”，即：f（？仔1，…，？仔n-m）=0。

對于相似的現(xiàn)象，相似準(zhǔn)則都保持同樣數(shù)值，準(zhǔn)則關(guān)系也相同。若把某現(xiàn)象的實(shí)驗(yàn)結(jié)果推斷出準(zhǔn)則關(guān)系式，可推廣到與其相似的現(xiàn)象中。以水力學(xué)求阻力為例，若作用于光滑球體的阻力R與相對速度V、直徑D、流體密度、流體動(dòng)力粘度相關(guān)，求光滑球體所受的阻力R。

此問題共有n=5個(gè)物理量，量綱分別為：[R]=[M][L][T-2]；[V]=[L][T-1]；[D]=[L]；[？籽]=[M][L-3]；[？滋]=[M][L-1][T-1]。其中，基本量綱數(shù)m=3，無量綱綜合量為n-m=2，D、為循環(huán)量，建立因次方程：？仔1=Da？籽b？滋cR=[L]a（[M][L-3]）b（[M][L-1][T-1]）c[M][L][T-2]=M0L0T0，解得a=0，b=1，c=-2，則？仔1=？籽R/？滋2。同理？仔2=Da？籽b？滋cV=[L]a（[M][L-3]）b（[M][L-1][T-1]）c（[L][T-1]）=M0L0T0，計(jì)算出a=1，b=1，c=1，利用？仔定理？仔1=f（？仔2）得R=？滋2/？籽f（？籽VD/？滋）。

1.3 相似第三定理

相似第三定理可表述為：“對于同一類物理現(xiàn)象，若單值量相似，且由單值量所組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等，則現(xiàn)象相似”。相似第三定理為判斷相似的充分條件，它指出必須把試驗(yàn)結(jié)果整理成相似準(zhǔn)則關(guān)系式。現(xiàn)象相似是指某些現(xiàn)象服從同一自然規(guī)律，它們在系統(tǒng)上的幾何相似和在文字上相同的關(guān)系方程是現(xiàn)象相似的第一個(gè)充分條件。單值條件的相似則為現(xiàn)象相似的另外一個(gè)充分條件。在相似系統(tǒng)中，相似常數(shù)并非任意選擇，當(dāng)兩個(gè)現(xiàn)象的單值條件相似且描述現(xiàn)象的方程組完全相同，只有單值條件相似常數(shù)組成的相似指標(biāo)等于一或由單值條件的物理量組成的相似準(zhǔn)則數(shù)值相等才能實(shí)現(xiàn)。因此，現(xiàn)象相似的第三個(gè)充分條件為單值條件的物理量組成的相似準(zhǔn)則在數(shù)值上相等。

相似第一定理指出了實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)測量的量，它要求實(shí)驗(yàn)時(shí)必須測量出所有相似準(zhǔn)則包括的物理量。相似第二定理指出如何整理實(shí)驗(yàn)結(jié)果問題，必須把試驗(yàn)結(jié)果整理成相似準(zhǔn)則關(guān)系式。相似第三定理指出模型試驗(yàn)應(yīng)遵守的條件，必須使單值條件相似，且由單值條件的物理量所構(gòu)成的準(zhǔn)則在數(shù)值上是相等的。

2 相似準(zhǔn)則的導(dǎo)出方法

相似準(zhǔn)則推導(dǎo)方法有量綱分析與方程分析法兩種，量綱分析法主要適用于相似的各物理量間的數(shù)學(xué)方程關(guān)系不明確的情況。若相似物理量之間的方程已知的話，可采用方程分析法。方程分析法分為相似轉(zhuǎn)換法和積分類比法，若方程形式為代數(shù)方程，用相似轉(zhuǎn)換法，若方程形式為微分形式則用積分類比法。

量綱也稱因次，是各物理量類別的標(biāo)志。定量描述物理量大小的標(biāo)準(zhǔn)為單位，如時(shí)間單位為s，質(zhì)量單位為kg等。量綱分為基本量綱和導(dǎo)出量綱。基本量綱是互相獨(dú)立的量綱，不存在相互依賴關(guān)系，其他物理量綱則稱為導(dǎo)出量綱，它們均可由基本量綱導(dǎo)出。

例如三角形懸臂梁只受重力作用，梁的密度為？籽，試求該梁的應(yīng)力分量。

解：首先進(jìn)行量綱分析，選擇粱的應(yīng)力函數(shù)。物體內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)力分量與體力？籽g應(yīng)成正比關(guān)系，還與a、x、y有關(guān)。應(yīng)力的量綱為ML-1T-2，a是無因量，x、y的量綱是L，體力？籽g的量綱是ML-1T-2，因此如果應(yīng)力分量存在多項(xiàng)式解答，那么表達(dá)式只能是a？籽gx、b？籽gy兩種組合。而a、b是只與有關(guān)的無因此量，所以各應(yīng)力分量表達(dá)式只能是x和y的純一次式，而應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該是x、y的純?nèi)问健?/p>

因此設(shè)應(yīng)力函數(shù)？漬=Ax3+Bx2y+Cxy2+Dxy3利用邊界條件得：C=？籽g cot？墜/2，D=-？籽g cot2？墜/3則：？滓x=？籽gx cot？墜-2？籽gy cot2？墜，？滓v=-？籽gy，txv=-？籽gy cot。

3 存在的問題

3.1 ？仔定理

？仔定理分析問題時(shí)，其物理方程式是否符合客觀規(guī)律與所選的物理量是否正確準(zhǔn)確有較大關(guān)系。而？仔定理方法對相關(guān)物理量的選取只能由數(shù)據(jù)整理者主觀判定，定理本身不會提供啟示。所以，很可能因遺漏或選錯(cuò)物理量而導(dǎo)致建立的方程式失效。這種局限性是？仔定理本身決定的，需要參考已有的理論成果和分析者對客觀世界敏銳的觀察能力來彌補(bǔ)其局限性。對非線性相互作用系統(tǒng)，傳統(tǒng)相似理論不能很好描述其相似性，只有把其產(chǎn)生的新準(zhǔn)則數(shù)添加到無量綱方程，才能判定系統(tǒng)是否相似。

3.2 矩陣分析

若加入非線性后，無量綱數(shù)增加，系統(tǒng)變得更復(fù)雜。用傳統(tǒng)相似理論方法，考慮新準(zhǔn)則數(shù)時(shí)，無量綱方程組準(zhǔn)則數(shù)指數(shù)不唯一，擬合出的關(guān)系式也將不唯一。所以由同一實(shí)驗(yàn)對象擬合出的關(guān)聯(lián)式差別可能較大，且特定關(guān)聯(lián)式僅能在特定范圍使用。想要獲得唯一的準(zhǔn)則關(guān)系式，只有考慮新準(zhǔn)則數(shù)并找到新耦合關(guān)系使方程組封閉。

3.3 現(xiàn)象不相似

系統(tǒng)內(nèi)在非線性會使系統(tǒng)模擬更加復(fù)雜，擬合關(guān)系也變得不確定。即使表觀無量綱數(shù)相等，系統(tǒng)也不一定相似。外在非線性特性同樣也會引起表觀無量綱數(shù)相等的系統(tǒng)不相似[4]。這意味著實(shí)驗(yàn)室結(jié)果不能完全真實(shí)反映實(shí)際系統(tǒng)的性能，這需要研究者必須深刻理解系統(tǒng)的非線性性質(zhì)。

4 結(jié) 語

相似理論已被廣泛應(yīng)用，但系的線性相互作用對相似模擬制造了較大困難，所以應(yīng)該加重相似理論非線性研究。

參考文獻(xiàn)：

[1] 將黔生.相似理論及模型實(shí)驗(yàn)[J].研究·設(shè)計(jì)·實(shí)驗(yàn)，1999，（3）.

[2] 張良然.量綱分析及其在水力學(xué)中的應(yīng)用[J].江西水利科技，1999，（1）.

[3] 柴立和，文東升，彭曉峰.相似理論的新視角探索[J].探索·假說，1999，（3）.

[4] 李靜海，文利雄，錢貴華，等.顆粒流體系統(tǒng)的不均勻性、多態(tài)性及非線性行為[J].中國科學(xué)：化學(xué)，1995，（5）.