差分模型和灰色理論組合預測模型在橋梁施工控制中的應用

朱偉偉 楊逸江

（長江生態（湖北）科技發展有限責任公司 武漢 430014）

隨著橋梁跨度的不斷增大，我國規定必須對大跨度橋梁進行施工控制，以保證橋梁施工的安全性。連續梁橋是目前應用較多的一種結構形式，主要采用懸臂現澆對稱施工。而施工中受多種不確定因素的影響，增加了橋梁監控工作的難度。雖然通過現場數據的實時采集、設計參數誤差的識別與修正、精確計算模型的不斷重建，大部分不確定影響因素可以被消除，但這種方法使得數據采集和模擬計算的工作量大大增加，加上計算模型與實際結構也存在差別，有些狀況甚至無法模擬，因此有必要尋找一種更簡單、更有效的控制方法。

本研究以內蒙古包頭鐙口黃河特大橋施工監控為背景，利用最優加權組合預測模型的基本原理，提出了差分模型和灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型的組合預測模型，預測梁段的應力值，為橋梁施工控制中的實時預測提供了一種新的途徑。

1 最優加權組合預測模型

設預測對象的一個觀測序列X＝（x1，x2，…，xn），對x采用k種不同的預測方法，預測結果＾X＝，…）。式中：＝（x1，j，x2，j，…xn，j）表示第j種預測方法所得的預測序列。設k種預測方法在組合預測模型中的權重W＝（w1，w2，…wk），則組合預測模型為［1－2］

式（1）模型的預測誤差ei為

由式（1）和式（2）得

令ei，j＝xi－xi，j，由式（3）得

組合預測模型的關鍵之一是估計預測模型式（1）中的權重wj，本文采用最小二乘法準則（誤差平方和最小），從而轉化為求解下述優化模型

令

式中：R＝（1，1，…，1）T（k×1）。

2 差分模型和灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型

2.1 差分模型［3］

設上述觀測序列X＝（x1，x2，…xn），其一階差分序列定義為

式中：Δxi＝xi＋1－xi。

應用差分模型預測時，若采用一階差分模型，則在i時刻預見期為 Δt的預測值＾xi＋Δt為

式（9）稱為一階差分預測模型。依此類推，可得其他差分預測模型。實際應用時，首先要根據觀測序列確定預測模型的階數。

2.2 灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型

灰色系統理論就是以灰關聯空間為基礎的分析體系，它以現有信息或原始數列為基礎，通過灰過程及灰生成對原始數列進行數據加工與處理，建立灰色預測模型方程。通常灰色模型表示為GM（m，n），即m階n個變量的灰色微分方程模型，當時就構成了鄧聚龍教授提出的灰色預測GM（1，1）模型。當數據序列的新數據補充進去、去掉老數據，并保持其維數不變，這樣的模型稱作新陳代謝 GM（1，1）模型［4］。

2.2.1 GM（1，1）模型

將上述觀測序列 X＝（x1，x2，…xn）記為X（0）（k）：

利用式x（1）（k）＝x（0）（k）對 X（0）（k）作一次累加生成

累加生成數據序列X（1）（k）可建立如下白化形式的微分方程

其解為

式中：參數a，u可由下述公式求解

對式（13）作一次累減生成，可得原始數據序列 X（0）（k）的預測函數為

2.2.2 模型精度檢驗

后驗差檢驗法是一種被普遍采用的GM（1，1）模型精度檢驗方法。后驗差檢驗是殘差統計特性的檢驗，該方法以各點的預測誤差為基礎，通過計算后驗差比值C和小誤差頻率P獲得模型的精度級別。將實測值作為原始數據（k＝1，2，…，n），建立 GM（1，1）模型并獲得預測值（k＝1，2，…，n），則殘差為

記原始序列和殘差序列的均值分別為＾x（0），ˉq（0），計算原始數列和殘差數列的方差分別為

計算后驗差比值

小誤差頻率

指標C越小越好。C越小，表示S1越大而S2越小，表明盡管原始數據很離散，而模型所得計算值與實際值之差并不太離散。指標P越大越好。P越大，表明殘差與殘差平均值之差小于給定值0.674 4 S1的點較多［5］。

按C與P 2個指標，可綜合評定預測模型的精度。見表1。

表1 模型精度指標

如果檢驗不合格，可建立殘差GM（1，1）模型來修正原模型，待模型合格后再進行預測分析。

3 應用實例

結合內蒙古包頭鐙口黃河特大橋的施工，建立差分模型和灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型的組合預測模型來預測梁段應力值，并通過預測值與實測值的分析比較，驗證了該組合預測模型的預測精度。

內蒙古包頭鐙口黃河特大橋是是鄂爾多斯市樹林召至包頭東興公路跨越黃河大橋，全長6.355 k m，橋面寬12.5 m，行車道寬11.5 m，主橋結構型式為55 m＋9×100 m＋55 m，上部結構主橋為預應力變截面連續箱梁，采用掛籃對稱懸臂施工，逐節段向前推進。引橋為40 m裝配式部分預應力混凝土連續箱梁。

現以包頭鐙口黃河特大橋某一施工節段為例，來說明差分模型和灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型的最優組合預測模型在橋梁施工控制中的應用。應力控制截面位于墩頂0號塊附近懸臂梁根部，在澆筑0號塊混凝土前，用扎絲將鋼弦式應變傳感器捆扎在控制截面箱梁上、下緣縱向鋼筋上，測點布置見圖1。

圖1 箱梁橫截面測點布置示意圖

取116號墩懸臂箱梁5號節段已施工完畢并已移出掛籃為該施工狀態，建模時以包頭側2，3，4和5號4個節段張拉預應力后根部上緣4個點（見圖1）的平均實測應力值作為原始序列來預測6號塊預應力張拉后116號墩根部上緣應力值。

單個模型預測分別為

差分模型經模型識別采用一階差分模型＾x5＝2x4－x3＝7.14，預測值見表2中第（3）欄。與實測值比較，預測值的相對誤差為

灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型：原始序列為X（0）（k）＝｛1.94，3.49，4.42，5.78｝；累加生成序列為 X（1）（k）＝｛19.4，5.43，9.85，15.63｝；代入式（14）得到灰微分方程的參數列為［a，u］T＝［－0.253 5，2.529 4］T；白化方程為－0.253 5x（1）（k）＝2.529 4；由式（13）得其解為＾x（1）（k＋1）＝11.92e0.2535k－9.98；又由式（17）得預測序列為 ＾X（0）（k＋1）＝｛1.94，3.44，4.43，5.71｝；后驗差比值C＝0.024 8＜0.35；小誤差頻率P＝1＞0.95；可見，模型精度很好，為一級，可用于后續應力的預測。當k＝4，＾x（0）（5）＝7.36，則6號塊張拉后116號墩根部上緣應力預測值為7.36；與實測值比較相對誤差為

同樣，取116號墩懸臂箱梁6號節段已施工完畢并已移出掛籃為該施工狀態，建模時以包頭側3，4，5和6號4個節段張拉預應力后根部上緣應力實測數據作為原始序列來預測7號塊預應力張拉后116號墩根部上緣應力值。依此類推可得到8號塊預應力張拉后116號墩根部上緣應力值。

根據最優加權組合預測模型的原理，殘差矩陣E為

具體應力實測值與3種模型的預測結果對比見表2。

表2 應力實測值與3種模型的預測結果對比

從計算結果來看，最優組合預測模型的相對誤差處于差分模型和灰色系統理論的新陳代謝GM（1，1）模型之間，且均小于15%，具有較好的穩定性；殘差平方和∑e2比各單個預測模型有所減小，可見差分模型和灰色系統理論中的新陳代謝GM（1，1）模型的最優組合模型在橋梁施工控制中的預測精度較單個預測模型要好。

4 結論

（1）最優組合預測模型的相對誤差處于差分模型和灰色系統理論的新陳代謝GM（1，1）模型之間，且均小于15%，具有較好的穩定性；殘差平方和∑e2比各單個預測模型有所減小，因此，最優組合預測比各單個預測模型有較高的精度和較好的穩定性，而且運用 Matlab等程序很容易實現計算過程，是一種切實可行的科學建模方法。

（2）最優組合預測的精度取決于個單個預測模型的精度，還與模型的數量和關聯程度有關。因此，提高單個預測模型的精度是提高組合預測模型精度的關鍵。

（3）最優組合預測模型用于橋梁施工控制中，能夠預測出精度較高的各節段應力值，具有很好的實時性，能及時控制橋梁施工的未來發展。若能進一步研究橋梁施工控制中的其他各種預測方法的不同最優組合，或許能獲得精度更高的橋梁施工控制預測方法。

［1］ 趙梅娟，王鐘羨.組合預測在應力集中問題中的應用［J］.機械強度，2006，28（1）：96-098.

［2］ 李秀珍，孔紀名，王成華.最優加權組合模型在滑坡變形預測中的應用［J］.自然災害學報，2008，17（2）：53-57.

［3］ 程銀才，李明華，范世香.基于差分模型和最小二乘法的組合預測模型在實時洪水預報中的應用［J］.中國農村水利水電，2009（11）：50-52.

［4］ 熊和金，徐華中.灰色控制［M］.北京：國防工業出版社，2005.

［5］ 鄧聚龍.灰色系統基本方法［M］.武漢：華中理工大學出版社，1996.