具有閉環(huán)區(qū)域極點約束的H2/H∞主動懸架魯棒控制

崔 挺，嚴(yán)運兵，翁敬良，周 博

（武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，武漢 430081）

具有閉環(huán)區(qū)域極點約束的H2/H∞主動懸架魯棒控制

崔 挺，嚴(yán)運兵，翁敬良，周 博

（武漢科技大學(xué) 汽車與交通工程學(xué)院，武漢 430081）

0 引言

汽車懸架是連接車架（或承載式車身）與車橋（或車輪）的一系列傳力裝置，具有承接載荷、傳遞動力和緩和路面沖擊的作用。車輛懸架性能的好壞對汽車平順性、操作穩(wěn)定性和汽車壽命有著很大影響。使車身加速度、動撓度和輪胎動載荷滿足使用要求，保證車輛在各種行駛情況下的平順性和操作穩(wěn)定性的主動懸架及其剛度和阻尼控制方法是研究的熱點。

當(dāng)汽車行駛在不平路面上時，工況和車載質(zhì)量的變化使懸架系統(tǒng)存在諸多不確定[1]。H∞控制理論能使系統(tǒng)能夠承受一定程度的參數(shù)不確定性以及未建模誤差，在控制器設(shè)計中盡管考慮這些不確定性，但它以犧牲系統(tǒng)其他性能為代價來增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性能和抗干擾性，因此單純的H∞控制系統(tǒng)不可能滿足各種性能要求，如系統(tǒng)在白噪聲擾動輸入下的響應(yīng)需用性能指標(biāo)向量H2范數(shù)來衡量，而采用H∞控制很難滿足所需要的性能要求[2]。混合H2/H∞魯棒控制將這兩者結(jié)合，能夠很好地解決系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，優(yōu)化系統(tǒng)動態(tài)性能。同時，采用H2/H∞控制能夠改變單一目標(biāo)設(shè)計H∞控制方法，有利于處理多目標(biāo)控制問題。本文應(yīng)用H2/H∞混合魯棒控制方法，以車身加速度作為車輛懸架優(yōu)化目標(biāo)，用H2范數(shù)來衡量。將懸架動行程、輪胎動載荷和控制器作用力作為H∞約束輸出指標(biāo)，運用閉環(huán)區(qū)域極點約束LMI方法求解H2/H∞控制器，并將仿真結(jié)果與LQR控制器做比較，對車輛懸架系統(tǒng)進(jìn)行時域、頻域和魯棒性能分析。

1 主動懸架模型建立

汽車是一個復(fù)雜的振動系統(tǒng)，在進(jìn)行理論分析時應(yīng)根據(jù)問題的特點對其簡化并建立數(shù)學(xué)模型。本文采用二自由度1/4車輛模型，此車輛模型結(jié)構(gòu)簡單，但不影響對汽車車身加速度、輪胎動載荷和懸架動撓度的研究，且參數(shù)獲得較方便，是目前設(shè)計車輛懸架應(yīng)用最廣泛的模型。應(yīng)用此模型，需要做如下假設(shè)：1）汽車車身為剛體。2）忽略輪胎阻尼，因為輪胎剛度較大，阻尼較小，所以進(jìn)行模型簡化時可忽略。本文研究的主動懸架1/4車輛模型如圖1所示。

圖1 1/4車輛模型

為減少能耗，圖中模型是在被動懸架的基礎(chǔ)上加上作動器而構(gòu)成的。各參數(shù)的物理意義為：mb—簧載質(zhì)量；mw—非簧載質(zhì)量；ks—懸架剛度；kt—輪胎剛度；cs—懸架阻尼；zb—簧載質(zhì)量位移；zw—非簧載質(zhì)量位移；zq—路面輸入；u—作動器控制力。

1/4車輛模型在穩(wěn)態(tài)振動時的動態(tài)特性可以通過牛頓第二定律對簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量列出如下微分方程：

2 H2/H∞混合魯棒控制器設(shè)計

2.1 具有閉環(huán)區(qū)域極點約束的H2/H∞混合魯棒控制問題描述

假定所有的狀態(tài)變量都是可直接測量的，系統(tǒng)的反饋控制模型如圖2所示。

圖2 H/H 控制問題

圖（2）中w為外部輸入信號，包括干擾、噪聲及參考輸入等；u為控制輸入；y為量測輸出，這里采用全狀態(tài)反饋，有y=X; Z∞、Z2分別表示與H∞、H2性能有關(guān)的被控輸出；P和K分別表示廣義被控對象和控制器。其狀態(tài)空間描述為：

將上述系統(tǒng)歸結(jié)于具有H2/H∞性能要求和閉環(huán)區(qū)域極點約束的狀態(tài)反饋控制問題，設(shè)計一個具有狀態(tài)空間實現(xiàn)的H2/H∞狀態(tài)反饋控制律u=Kx, 代入系統(tǒng)（4）中得到閉環(huán)系統(tǒng)為：

分別用T∞和T2表示從外部輸入w到Z∞和從w到Z2的閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣，則系統(tǒng)設(shè)計目標(biāo)滿足（假設(shè)D21=0）。

1）H∞性能：對給定的正常數(shù)γ，有||T∞||∞≤γ。根據(jù)有界實引理，系統(tǒng)（5）具有這一性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)存在一個對稱正定矩陣X1，使得：

2）H2性能：對給定的正常數(shù)η，有||T2||2≤η，則存在對稱矩陣2X和Q，使得：

3）極點配置：為了使閉環(huán)系統(tǒng)（5）獲得令人滿意的動態(tài)性能，要求閉環(huán)極點位于一個給定的LMI區(qū)域，定義如下：

其中L=LT和M是給定的實矩陣。這一性能要求得以滿足的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣X3，使得：

因此，對于系統(tǒng)（4）設(shè)計反饋控制律u=Kx，使得閉環(huán)系統(tǒng)（5）同時滿足以上給定的H∞性能、H2性能和閉環(huán)區(qū)域極點約束的多目標(biāo)控制問題，可以通過求解變量X1、X2、X3、Q和K的矩陣不等式來解決。由于變量X1、X2、X3、Q和K不是凸的，其對應(yīng)的矩陣不等式也是非凸的，求解可行性問題很困難。為了便于處理，通過引入Lyapunov矩陣X=X1=X2=X3，使得上述問題得以簡化[3]。

為獲得較好的魯棒穩(wěn)定性和動態(tài)性能，可通過調(diào)整2個傳遞函數(shù)||T∞||∞和||T2||2值在H2/H∞混合控制中的比重并滿足（α||T∞||∞2+β||T2||22）最小，α和β為權(quán)重系數(shù)。

2.2 1/4車輛懸架模型的H2/H∞控制器設(shè)計

設(shè)計車輛懸架系統(tǒng)首先應(yīng)考慮車輛乘坐舒適性的要求，而車身加速度是評價乘坐舒適性的主要指標(biāo)；然后需要考慮輪胎與路面附著效果，其影響的是車輛操縱穩(wěn)定性。具體要求為：當(dāng)車輛在不平路面行駛時其輪胎不能離開地面，即輪胎與路面間的動載小于靜載，有kt(zb-zq)≤(mb+mw)g；同時懸架動行程受到機(jī)械結(jié)構(gòu)的限制，可將懸架動行程限制在某一給定范圍內(nèi)以避免撞擊限位塊而破壞乘坐舒適性，即|zb-zw|≤Smax；另外還需考慮發(fā)動機(jī)功率限制，控制器只能提供有限的作用力，即|u|≤umax[4]。H∞控制是通過抑制傳遞函數(shù)幅頻特性的最大幅值來減小輸入信號對系統(tǒng)性能的影響，懸架特性的不變點成為H∞控制方法設(shè)計懸架的最主要的障礙，很多文獻(xiàn)都采用H2性能作為車身加速度評價指標(biāo)，將懸架動行程、輪胎動載荷和控制器作用力作為H∞魯棒性能指標(biāo)[5]。

綜上所述，主動懸架控制系統(tǒng)的加權(quán)性能輸出和歸一化輸出分別為：

其中，q1為車身加速度加權(quán)系數(shù)。主動懸架控制問題可描述為：尋找一個控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；改善乘坐舒適性，提高操縱穩(wěn)定性；閉環(huán)系統(tǒng)對系統(tǒng)參數(shù)不確定性有較強(qiáng)的魯棒性，對外界干擾具有一定抑制作用。

3 H2/H∞主動懸架控制仿真結(jié)果分析

設(shè)定系統(tǒng)仿真參數(shù)為：mb=3 0 0 k g，mw=50kg，ks=1.7×104N/m，cs=1.3×103N?s/m，kt=2×105N/m, 最大動行程Smax=0.03m，最大作動力umax=1500N，路面不平度系數(shù)Gq=64×10-6，車速v=20km/h。

在Matlab/simulink環(huán)境下建立最優(yōu)主動懸架統(tǒng)仿真模型，在B級路面仿真計算。應(yīng)用LMI工具箱求解線性矩陣不等式（6）、（7）、（8）、（9）和（11）。由于汽車的平順性與操縱穩(wěn)定性是相互矛盾，相互制約的，H2/H∞控制器設(shè)計的目的在于兩者之間進(jìn)行合理折衷，選擇合適的q1，不斷調(diào)整α，β。經(jīng)反復(fù)仿真實踐求得具有H2/H∞性能要求的最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為：

3.1 時域分析

圖3～圖5分別為車身垂直加速度、輪胎動載荷和懸架動行程時域響應(yīng)波形圖。從圖中可以看出，在H2/H∞控制器作用下，在輪胎動載荷和懸架動行程分別滿足操縱穩(wěn)定性和懸架結(jié)構(gòu)要求下，車身垂直加速度幅值大大減小。從時域響應(yīng)得出被動懸架和主動懸架車身垂直加速度均方根值分別為0.677和 0.235，降幅達(dá)到65%，控制效果明顯。同時，考慮發(fā)動機(jī)功率的大小，求解控制器時對控制力做了約束，輸出控制力在800N之內(nèi)，遠(yuǎn)小于額定最大控制力umax ，其波形圖如圖6所示。

圖3 車身垂直加速度時域波形

圖4 車輪動載荷時域波形

圖5 懸架動撓度時域波形

圖6 主動懸架控制力

3.2 頻域分析

乘坐舒適性和振動頻率有關(guān)，根據(jù)ISO2361，人體對范圍在4～8Hz的振動頻率最敏感。車身垂直加速度作為評價乘坐舒適性的主要標(biāo)準(zhǔn)，需在時域內(nèi)和在4～8Hz頻域幅值盡可能低。

圖7、圖8和圖9分別給出了車身垂直加速度、懸架動載荷和車輪動行程頻率響應(yīng)曲線。為便于比較，根據(jù)線性二次型最優(yōu)控制理論設(shè)計了主動懸架最優(yōu)控制器[6]。從圖7可以看出，在4～8Hz頻域范圍內(nèi)，兩種控制均使得加速度振動幅值得到降低，而由混合H2/H∞魯棒控制的主動懸架明顯低于線性二次型最優(yōu)控制器，這主要因為H2性能指標(biāo)對平均功率譜密度的隨機(jī)擾動能有更好的抑制作用。此外，在10Hz附近，垂直加速度并沒有得到一定的改善，原因在于懸架設(shè)計的一個不變點[5]。從圖8中分析可知，在0.1Hz到10Hz頻域范圍內(nèi)，懸架操作穩(wěn)定性H2/H∞控制器遠(yuǎn)優(yōu)于二次型最優(yōu)控制。 圖9顯示，在1～10Hz頻域內(nèi)，H2/H∞魯棒控制對輪胎胎動行程有明顯的抑制作用，但在其他頻域范圍內(nèi)，輪胎動行程稍有惡化。

圖7 車身垂直加速度頻率響應(yīng)

圖8 懸架相對動載荷頻率響應(yīng)

圖9 車輪動行程頻率響應(yīng)

3.3 魯棒性能分析

車輛懸架系統(tǒng)除了時域和頻域分析外，魯棒性也是其重要評價指標(biāo)。由于汽車載人或載貨等變化往往引起簧載質(zhì)量發(fā)生很大的變化，本文以簧載質(zhì)量增加30%為例進(jìn)行仿真分析，如圖10所示，在整個頻域范圍內(nèi)，車身加速度響應(yīng)曲線變化不大，簧載質(zhì)量的變化對車身加速度影響很小，說明H2/H∞魯棒控制器對系統(tǒng)參數(shù)不確定具有良好的魯棒性。

圖10 系統(tǒng)魯棒性能比較

4 結(jié)論

通過建立二自由度主動懸架1/4車輛模型，應(yīng)用同時具有H2性能和H∞性能的H2/H∞魯棒控制理論，以乘坐舒適性和操作穩(wěn)定性作為控制目標(biāo)，運用閉環(huán)極點約束的方法，設(shè)計了H2/H∞狀態(tài)反饋控制器，分別從時域特性、頻域特性和魯棒性方面與被動懸架進(jìn)行了仿真比較，得出如下結(jié)論：

1)在H2/H∞控制器作用下，車身垂直加速度幅值降幅達(dá)到65%，控制效果明顯。同時，控制器將輸出控制力控制在800N之內(nèi)，遠(yuǎn)小于額定最大控制力；

2)在1～10Hz頻域內(nèi)，H2/H∞魯棒控制對車身垂直加速度有明顯的抑制作用，雖然在其他頻域范圍內(nèi)，輪胎動行程稍有惡化。但總體控制效果與線性二次型最優(yōu)控制器相比得到大幅度改善，H2性能指標(biāo)對平均功率譜密度的隨機(jī)擾動的抑制作用得到了充分體現(xiàn)；

3)在簧載質(zhì)量增加30%的情況下，H2/H∞魯棒控制器能在整個頻域范圍內(nèi)，使得車身加速度響應(yīng)曲線變化不大，簧載質(zhì)量的變化對車身加速度影響很小。說明H2/H∞魯棒控制器能有效抑制參數(shù)不確定性的影響，具有較強(qiáng)的魯棒性。

[1]李偉,張孝祖,李輝.轉(zhuǎn)向工況下主動懸架H2/H∞魯棒控制研究[J].機(jī)械設(shè)計.2010,27(3):24-27.

[2]李以龍,鄭玲,羅銘剛,等.汽車主動懸架H2/H∞多目標(biāo)控制線性矩陣不等式方法[J].重慶大學(xué)學(xué)報,2010,33(4):1-8.

[3]俞立.魯棒控制一線性矩陣不等式處理方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2002.

[4]余志生.汽車?yán)碚揫M].北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2006.

[5]羅銘剛.基于LMI 的半主動懸架多目標(biāo)輸出反饋控制研究[D].重慶:重慶大學(xué),2007.

[6]張國勝,方宗德,李愛民,等.基于遺傳算法的主動懸架最優(yōu)控制方法研究[J].中國機(jī)械工程,2007,18(12):1491-1495.

H2/H∞r(nóng)obust control with closed-loop regional pole constraints for active suspension

CUI Ting, YAN Yun-bing, WENG Jing-liang, ZHOU Bo

以1/4車輛二自由度主動懸架為研究對象，采用同時具有H2性能和H∞性能的H2/H∞魯棒控制理論，運用線性矩陣不等式工具箱，設(shè)計出具有H2/H∞性能要求和閉環(huán)區(qū)域極點約束的狀態(tài)反饋控制器。運用閉環(huán)極點約束的方法，通過調(diào)整傳遞函數(shù)||T∞||∞和||T2||2值在H2/H∞混合控制中的權(quán)重系數(shù)，實現(xiàn)了懸架閉環(huán)系統(tǒng)H2和H∞的性能調(diào)節(jié)。在時域內(nèi)和頻域內(nèi)進(jìn)行了仿真，并與LQR控制器進(jìn)行了對比分析。結(jié)果表明，采用H2/H∞魯棒控制理論設(shè)計的控制器對系統(tǒng)參數(shù)不確定具有較好的魯棒穩(wěn)定性，而且能夠有效地抑制外界干擾，很好地改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。

主動懸架；H2/H∞魯棒控制；閉環(huán)區(qū)域極點約束；線性矩陣不等式

崔挺（1987 -），男，碩士研究生，研究方向為汽車電子控制技術(shù)和汽車系統(tǒng)動力學(xué)。

TP273

A

1009-0134(2014)02(上)-0037-04

10.3969/j.issn.1009-0134.2014.02(上).10

2013-09-27

國家自然科學(xué)基金項目（61074036）；湖北省教育廳重點項目（D20121104）；現(xiàn)代汽車零部件技術(shù)湖北省重點實驗室開放基金項目（2012-01）