正確運用法則 提高運算能力

周莎

《義務教育數學課程標準（2011版）》明確指出：在數學課程中，應當注重發展學生的運算能力. 運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力. 培養同學們的運算能力有助于理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題. 縱觀2013年全國各地中考試題，以實數、代數式為背景的試題仍然是高頻試題.

考點一 考查有理數加、減、乘、除運算法則

例1 （2013·天津）計算（-3）+（-9）的結果是（ ）.

A. 12 B. -12

C. 6 D. -6

【分析】本題涉及的考點是有理數的加法法則.

解：（-3）+（-9）=-（3+9）=-12，所以，本題應該選B.

【點評】這類計算題直接考查了同學們對有理數加、減、乘、除運算法則的掌握情況.

考點二 考查有理數混合運算能力

例2 （2013·廣東佛山）計算：

2×[5+（-2）3]-（--4÷2-1）.

【分析】本題涉及的考點有有理數的加法、減法、乘法、除法法則，乘方以及負指數的冪.

解：原式=2×（5-8）---4 ÷

=2×（-3）-（-8）=-6+8=2.

【點評】本題考查同學們有理數混合運算的能力. 解答這類問題時，往往先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號就先算括號里面的.

考點三 考查程序運算能力

例3 （2013·江蘇蘇州）按照下圖所示的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值為______.

【分析】本題涉及的知識點有實數的運算、列代數式和求代數式的值.

解：根據程序圖的操作步驟，可以得到一個算式：（2+3）2-5=20.

【點評】解決程序圖的問題，關鍵是理解程序操作順序.主要有兩種思考方法：一是直接根據程序求值；二是先列出代數式，再求值.

考點四 考查實數運算能力

例4 （2013·內蒙古呼和浩特）計算：

-1-

-2+tan45°+（-1.41）0.

【分析】本題涉及的考點有：零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值、負指數冪四個.

解：原式=3-

-2++1=3-（2-）+1=3-2++1=2+.

【點評】本題是各地中考題中常見的計算題型，考查同學們關于實數的綜合運算能力. 進行這類運算時，先分別計算負整數指數冪、特殊角的三角函數值和絕對值、零指數冪，再進行計算.

考點五 考查二次根式運算能力

例5 （2013·山東泰安）化簡：（-）--|-3|=______.

【分析】本題涉及的考點是二次根式的乘法、實數的絕對值、合并同類二次根式.

【解析】先將（-）進行二次根式的乘法運算，再把化簡，然后利用絕對值的意義化簡-3，最后合并同類二次根式. 即：原式=-3-2-（3-）=-3-2-3+=-6，故填-6.

【點評】二次根式的計算要依據法則進行. 二次根式的加減乘除混合運算，往往先做乘除，再化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式.

例6 （2013·山東濟寧）計算：

（2-）2012·（2+）2013-2

--（-）0.

【分析】本題涉及的考點有零指數冪、絕對值、整數指數冪、實數的乘法法則以及二次根式的運算法則.

解：原式=[（2-）（2+）]2012（2+）--1=2+--1=1.

【點評】解決此類問題的關鍵在于正確理解零指數冪、絕對值和積的乘方的含義，要求同學們會進行二次根式的混合運算.

考點六 考查整式運算能力

例7 （2013·江蘇揚州）先化簡，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2.

【分析】本題涉及的考點有多項式乘法法則、完全平方公式、去括號法則、整式的加減以及求代數式的值.

解：原式=（2x2-x+2x-1）-（x2-6x+9）=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10，當x=-2時，原式= （-2）2+7×（-2）-10=-20.

【點評】本題考查了同學們的整式運算能力. 解題時要先運用多項式的乘法法則和完全平方公式計算、化簡括號內的項，再應用去括號的法則化去括號，進而進行整式的加減運算求得結果，最后將字母的值代入其中求得代數式的值.

考點七 考查代數式、整式等相關的概念

例8 （2013·江蘇淮安）化簡3a+

1+·.

【分析】本題涉及的考點有分式通分、約分以及分式的乘法和加法運算.

解：原式=3a+·

=3a+a=4a.

【點評】分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找出最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式. 約分時，如果分式的分子、分母中含有多項式，應將多項式分解因式后再約分. 解題時要先將括號內的整數和分式進行通分，再與括號外面的分式相乘，最后進行整式的加法運算.

考點八 考查分式與二次根式的綜合應用能力

例9 （2013·江蘇蘇州）先化簡，再求值：

÷x

+1-，其中x=-2.

【分析】本題涉及的考點有分式的加法和乘法、代數式的值以及二次根式的化簡.

解：原式=÷

-

=·

=，

當x=-2時，原式=.

【點評】化簡所給的分式時，要先進行括號內的減法運算，再進行括號外的除法運算，化簡的結果應為最簡分式或整式. 解題時要先化簡所給的分式，再把含有二次根式的字母的值代入其中，求得代數式的值.

（作者單位：江蘇省建湖縣建陽中學）

《義務教育數學課程標準（2011版）》明確指出：在數學課程中，應當注重發展學生的運算能力. 運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力. 培養同學們的運算能力有助于理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題. 縱觀2013年全國各地中考試題，以實數、代數式為背景的試題仍然是高頻試題.

考點一 考查有理數加、減、乘、除運算法則

例1 （2013·天津）計算（-3）+（-9）的結果是（ ）.

A. 12 B. -12

C. 6 D. -6

【分析】本題涉及的考點是有理數的加法法則.

解：（-3）+（-9）=-（3+9）=-12，所以，本題應該選B.

【點評】這類計算題直接考查了同學們對有理數加、減、乘、除運算法則的掌握情況.

考點二 考查有理數混合運算能力

例2 （2013·廣東佛山）計算：

2×[5+（-2）3]-（--4÷2-1）.

【分析】本題涉及的考點有有理數的加法、減法、乘法、除法法則，乘方以及負指數的冪.

解：原式=2×（5-8）---4 ÷

=2×（-3）-（-8）=-6+8=2.

【點評】本題考查同學們有理數混合運算的能力. 解答這類問題時，往往先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號就先算括號里面的.

考點三 考查程序運算能力

例3 （2013·江蘇蘇州）按照下圖所示的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值為______.

【分析】本題涉及的知識點有實數的運算、列代數式和求代數式的值.

解：根據程序圖的操作步驟，可以得到一個算式：（2+3）2-5=20.

【點評】解決程序圖的問題，關鍵是理解程序操作順序.主要有兩種思考方法：一是直接根據程序求值；二是先列出代數式，再求值.

考點四 考查實數運算能力

例4 （2013·內蒙古呼和浩特）計算：

-1-

-2+tan45°+（-1.41）0.

【分析】本題涉及的考點有：零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值、負指數冪四個.

解：原式=3-

-2++1=3-（2-）+1=3-2++1=2+.

【點評】本題是各地中考題中常見的計算題型，考查同學們關于實數的綜合運算能力. 進行這類運算時，先分別計算負整數指數冪、特殊角的三角函數值和絕對值、零指數冪，再進行計算.

考點五 考查二次根式運算能力

例5 （2013·山東泰安）化簡：（-）--|-3|=______.

【分析】本題涉及的考點是二次根式的乘法、實數的絕對值、合并同類二次根式.

【解析】先將（-）進行二次根式的乘法運算，再把化簡，然后利用絕對值的意義化簡-3，最后合并同類二次根式. 即：原式=-3-2-（3-）=-3-2-3+=-6，故填-6.

【點評】二次根式的計算要依據法則進行. 二次根式的加減乘除混合運算，往往先做乘除，再化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式.

例6 （2013·山東濟寧）計算：

（2-）2012·（2+）2013-2

--（-）0.

【分析】本題涉及的考點有零指數冪、絕對值、整數指數冪、實數的乘法法則以及二次根式的運算法則.

解：原式=[（2-）（2+）]2012（2+）--1=2+--1=1.

【點評】解決此類問題的關鍵在于正確理解零指數冪、絕對值和積的乘方的含義，要求同學們會進行二次根式的混合運算.

考點六 考查整式運算能力

例7 （2013·江蘇揚州）先化簡，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2.

【分析】本題涉及的考點有多項式乘法法則、完全平方公式、去括號法則、整式的加減以及求代數式的值.

解：原式=（2x2-x+2x-1）-（x2-6x+9）=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10，當x=-2時，原式= （-2）2+7×（-2）-10=-20.

【點評】本題考查了同學們的整式運算能力. 解題時要先運用多項式的乘法法則和完全平方公式計算、化簡括號內的項，再應用去括號的法則化去括號，進而進行整式的加減運算求得結果，最后將字母的值代入其中求得代數式的值.

考點七 考查代數式、整式等相關的概念

例8 （2013·江蘇淮安）化簡3a+

1+·.

【分析】本題涉及的考點有分式通分、約分以及分式的乘法和加法運算.

解：原式=3a+·

=3a+a=4a.

【點評】分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找出最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式. 約分時，如果分式的分子、分母中含有多項式，應將多項式分解因式后再約分. 解題時要先將括號內的整數和分式進行通分，再與括號外面的分式相乘，最后進行整式的加法運算.

考點八 考查分式與二次根式的綜合應用能力

例9 （2013·江蘇蘇州）先化簡，再求值：

÷x

+1-，其中x=-2.

【分析】本題涉及的考點有分式的加法和乘法、代數式的值以及二次根式的化簡.

解：原式=÷

-

=·

=，

當x=-2時，原式=.

【點評】化簡所給的分式時，要先進行括號內的減法運算，再進行括號外的除法運算，化簡的結果應為最簡分式或整式. 解題時要先化簡所給的分式，再把含有二次根式的字母的值代入其中，求得代數式的值.

（作者單位：江蘇省建湖縣建陽中學）

《義務教育數學課程標準（2011版）》明確指出：在數學課程中，應當注重發展學生的運算能力. 運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力. 培養同學們的運算能力有助于理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題. 縱觀2013年全國各地中考試題，以實數、代數式為背景的試題仍然是高頻試題.

考點一 考查有理數加、減、乘、除運算法則

例1 （2013·天津）計算（-3）+（-9）的結果是（ ）.

A. 12 B. -12

C. 6 D. -6

【分析】本題涉及的考點是有理數的加法法則.

解：（-3）+（-9）=-（3+9）=-12，所以，本題應該選B.

【點評】這類計算題直接考查了同學們對有理數加、減、乘、除運算法則的掌握情況.

考點二 考查有理數混合運算能力

例2 （2013·廣東佛山）計算：

2×[5+（-2）3]-（--4÷2-1）.

【分析】本題涉及的考點有有理數的加法、減法、乘法、除法法則，乘方以及負指數的冪.

解：原式=2×（5-8）---4 ÷

=2×（-3）-（-8）=-6+8=2.

【點評】本題考查同學們有理數混合運算的能力. 解答這類問題時，往往先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號就先算括號里面的.

考點三 考查程序運算能力

例3 （2013·江蘇蘇州）按照下圖所示的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值為______.

【分析】本題涉及的知識點有實數的運算、列代數式和求代數式的值.

解：根據程序圖的操作步驟，可以得到一個算式：（2+3）2-5=20.

【點評】解決程序圖的問題，關鍵是理解程序操作順序.主要有兩種思考方法：一是直接根據程序求值；二是先列出代數式，再求值.

考點四 考查實數運算能力

例4 （2013·內蒙古呼和浩特）計算：

-1-

-2+tan45°+（-1.41）0.

【分析】本題涉及的考點有：零指數冪、特殊角的三角函數值、絕對值、負指數冪四個.

解：原式=3-

-2++1=3-（2-）+1=3-2++1=2+.

【點評】本題是各地中考題中常見的計算題型，考查同學們關于實數的綜合運算能力. 進行這類運算時，先分別計算負整數指數冪、特殊角的三角函數值和絕對值、零指數冪，再進行計算.

考點五 考查二次根式運算能力

例5 （2013·山東泰安）化簡：（-）--|-3|=______.

【分析】本題涉及的考點是二次根式的乘法、實數的絕對值、合并同類二次根式.

【解析】先將（-）進行二次根式的乘法運算，再把化簡，然后利用絕對值的意義化簡-3，最后合并同類二次根式. 即：原式=-3-2-（3-）=-3-2-3+=-6，故填-6.

【點評】二次根式的計算要依據法則進行. 二次根式的加減乘除混合運算，往往先做乘除，再化為最簡二次根式，最后合并同類二次根式.

例6 （2013·山東濟寧）計算：

（2-）2012·（2+）2013-2

--（-）0.

【分析】本題涉及的考點有零指數冪、絕對值、整數指數冪、實數的乘法法則以及二次根式的運算法則.

解：原式=[（2-）（2+）]2012（2+）--1=2+--1=1.

【點評】解決此類問題的關鍵在于正確理解零指數冪、絕對值和積的乘方的含義，要求同學們會進行二次根式的混合運算.

考點六 考查整式運算能力

例7 （2013·江蘇揚州）先化簡，再求值：（x+1）（2x-1）-（x-3）2，其中x=-2.

【分析】本題涉及的考點有多項式乘法法則、完全平方公式、去括號法則、整式的加減以及求代數式的值.

解：原式=（2x2-x+2x-1）-（x2-6x+9）=2x2-x+2x-1-x2+6x-9=x2+7x-10，當x=-2時，原式= （-2）2+7×（-2）-10=-20.

【點評】本題考查了同學們的整式運算能力. 解題時要先運用多項式的乘法法則和完全平方公式計算、化簡括號內的項，再應用去括號的法則化去括號，進而進行整式的加減運算求得結果，最后將字母的值代入其中求得代數式的值.

考點七 考查代數式、整式等相關的概念

例8 （2013·江蘇淮安）化簡3a+

1+·.

【分析】本題涉及的考點有分式通分、約分以及分式的乘法和加法運算.

解：原式=3a+·

=3a+a=4a.

【點評】分式的加減運算關鍵是通分，通分的關鍵是找出最簡公分母；分式的乘除運算關鍵是約分，約分的關鍵是找公因式. 約分時，如果分式的分子、分母中含有多項式，應將多項式分解因式后再約分. 解題時要先將括號內的整數和分式進行通分，再與括號外面的分式相乘，最后進行整式的加法運算.

考點八 考查分式與二次根式的綜合應用能力

例9 （2013·江蘇蘇州）先化簡，再求值：

÷x

+1-，其中x=-2.

【分析】本題涉及的考點有分式的加法和乘法、代數式的值以及二次根式的化簡.

解：原式=÷

-

=·

=，

當x=-2時，原式=.

【點評】化簡所給的分式時，要先進行括號內的減法運算，再進行括號外的除法運算，化簡的結果應為最簡分式或整式. 解題時要先化簡所給的分式，再把含有二次根式的字母的值代入其中，求得代數式的值.

（作者單位：江蘇省建湖縣建陽中學）