理清概念 把握考點

祁超

考點一 考查相反數、絕對值、倒數的概念

例1 （2013·新疆烏魯木齊）-2的相反數是（ ）.

A. -2 B. -

C. D. 2

【分析】先求-2的絕對值，再求2的相反數即可.

【解答】A.

【點評】本題主要考查有理數絕對值和相反數的概念. 熟練地掌握絕對值和相反數的意義是解題的關鍵.

考點二 考查無理數的概念

例2 （2013·江蘇淮安）如圖1，數軸上A、B兩點表示的數分別為和5.1，則A、B兩點之間表示整數的點共有（ ）.

A. 6個 B. 5個

C. 4個 D. 3個

【分析】根據≈1.414，即位于1和2之間，所以A、B兩點之間表示整數的點有2、3、4、5，共4個. 故選C.

【點評】本題考查了無理數的近似值，關鍵是估算確定無理數在哪兩個整數之間.

考點三 考查數軸的概念

例3 （2013·山東菏澤）如圖2，數軸上的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c，其中AB=BC，如果a>c>b，那么該數軸的原點O的位置應該在（ ）.

A. 點A的左邊

B. 點A與點B之間

C. 點B與點C之間

D. 點C的右邊

【分析】∵a>c>b，∴點A到原點的距離最大，點C到原點的距離其次，點B到原點的距離最小. 又∵AB=BC，∴原點O的位置在點B與點C之間，且靠近點B的地方. 故選C.

【點評】當點的位置（或圖形位置）不確定時，經常需要運用分類討論思想，對問題可能出現的情形逐一分析判斷.

考點四 考查乘方、平方與立方的概念

例4 （2013·江蘇鎮江）地震中里氏震級每增加1級，釋放的能量增大到原來的32倍，那么里氏_____級地震釋放的能量是3級地震釋放能量的324倍.

【分析】先設3級地震釋放能量為a，再根據題意應用乘方的意義分別求出4、5、6、7級地震釋放能量，進而確定所求問題的答案.

【解析】設3級地震釋放能量為a，則由題意可得4級地震釋放能量為32a，5級地震釋放能量為32×32a=322a，6級地震釋放能量為32×322a=323a，7級地震釋放能量為32×323a=324a，因此，里氏7級地震釋放的能量是3級地震釋放能量的324倍. 因此，本題正確應該填：7.

【點評】本題主要考查同學們對乘方意義的掌握和乘方運算在實際問題中的應用. 解答本題的關鍵是能夠根據題意寫出3級以后的每一級地震所釋放的能量，并用乘方的形式表示.

考點五 考查科學記數法與近似數的概念

例5 （2013·湖北恩施）今年參加恩施州初中畢業學業考試的考生約有39 360人，請將數39 360用科學記數法表示為（保留三位有效數字） （ ）.

A. 3.93×104 B. 3.94×104

C. 0.39×105 D. 394×102

【分析】先用科學記數法表示39 360=3.936 0×104，再保留三位有效數字為3.94×104. 故選B.

【點評】把一個數寫成a×10n的形式（其中1≤a<10，n為整數，這種記數法稱為科學記數法），其方法是：（1） 確定a，a是只有一位整數的數. （2） 確定n. 當原數的絕對值≥10時，n為正整數，n等于原數的整數位數減1；當原數的絕對值<1時，n為負整數，n的絕對值等于原數中左起第一個非零數前零的個數（含整數位數上的零）.

考點六 考查平方根、算術平方根、立方根的概念

例6 （2013·浙江杭州）把7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為______.

【分析】（1） 首先根據平方根和立方根的概念分別求出7的平方根和立方根的值，然后根據實數的大小比較的方法，作出比較.

【解答】-<<.

考點七 考查代數式、整式等相關的概念

例7 （2013·山東濟寧）如果整式xn-2-5x+2是關于x的三次三項式，那么n等于（ ）.

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

【分析】由多項式次數的概念，整式xn-2

-5x+2是關于x的三次三項式，∴n-2=3，n=5，所以本題應選C.

【點評】本題著重考查了對多項式次數的概念，掌握多項式的次數概念是解題的關鍵. 幾個單項式的和叫多項式，組成多項式的每一個單項式叫做多項式的項，在多項式中，次數最高的項的次數叫做多項式的次數.

考點八 考查因式分解的概念

例8 （2013·廣東茂名）下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（ ）.

A. a（x+y）=ax+ay

B. x2-4x+4=x（x-4）+4

C. 10x2-5x=5x（2x-1）

D. x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x

【分析】a（x+y）=ax+ay是將乘積的形式化成和差的形式，是多項式乘法而不是因式分解；x2-4x+4=x（x-4）+4與x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x兩式的右邊最終還是和的形式，所以不是因式分解；10x2-5x=5x（2x-1） 滿足多項式由和差形式化為乘積形式，且等號的左邊和右邊相等，所以選項C正確.

【點評】本題考查同學們對因式分解的定義以及方法的掌握程度. 因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，靈活運用各類方法是關鍵.

考點九 考查分式的概念

例9 （2013·山東淄博）如果分式的值為0，則x的值是 （ ）.

A. 1 B. 0

C. -1 D. ±1

【分析】分式有意義的條件是分母不為零；分式無意義的條件是分母等于零；分式的值等于零的條件是分式的分母不等于零且分子等于零，即x2-1=0

2x+2≠0，解得x=1，故選A.

【點評】本題考查了分式值為零的條件，由分式的分子等于零且分母不能為零，建立方程和不等式是解題的關鍵.

考點十 考查二次根式的概念

例10 （1） （2013·廣西貴港）下列四個式子中，x的取值范圍為x≥2的是（ ）.

A. B.

C. D.

（2） （2013·貴州六盤水）無論x取任何實數，代數式都有意義，則m的取值范圍為______.

【分析】（1） 選項A和選項B要考慮到分母不能為零，選項C滿足x-2≥0，選項D滿足2-x≥0；（2） x2-6x+m≥0即可.

【解答】（1） C. （2） m≥9.

【點評】求x的取值范圍的題目多數出現在選擇題和填空題當中，往往會和二次根式以及分式聯系在一起，注意掌握二次根式有意義的條件是被開方數是非負數，分式有意義的條件是分母不能為零. 二次根式有意義的條件為被開方數為非負數，即可得不等式x2-6x+m≥0，結合完全平方公式的非負性，可求字母取值范圍.

（作者單位：江蘇省建湖縣近湖中學）

考點一 考查相反數、絕對值、倒數的概念

例1 （2013·新疆烏魯木齊）-2的相反數是（ ）.

A. -2 B. -

C. D. 2

【分析】先求-2的絕對值，再求2的相反數即可.

【解答】A.

【點評】本題主要考查有理數絕對值和相反數的概念. 熟練地掌握絕對值和相反數的意義是解題的關鍵.

考點二 考查無理數的概念

例2 （2013·江蘇淮安）如圖1，數軸上A、B兩點表示的數分別為和5.1，則A、B兩點之間表示整數的點共有（ ）.

A. 6個 B. 5個

C. 4個 D. 3個

【分析】根據≈1.414，即位于1和2之間，所以A、B兩點之間表示整數的點有2、3、4、5，共4個. 故選C.

【點評】本題考查了無理數的近似值，關鍵是估算確定無理數在哪兩個整數之間.

考點三 考查數軸的概念

例3 （2013·山東菏澤）如圖2，數軸上的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c，其中AB=BC，如果a>c>b，那么該數軸的原點O的位置應該在（ ）.

A. 點A的左邊

B. 點A與點B之間

C. 點B與點C之間

D. 點C的右邊

【分析】∵a>c>b，∴點A到原點的距離最大，點C到原點的距離其次，點B到原點的距離最小. 又∵AB=BC，∴原點O的位置在點B與點C之間，且靠近點B的地方. 故選C.

【點評】當點的位置（或圖形位置）不確定時，經常需要運用分類討論思想，對問題可能出現的情形逐一分析判斷.

考點四 考查乘方、平方與立方的概念

例4 （2013·江蘇鎮江）地震中里氏震級每增加1級，釋放的能量增大到原來的32倍，那么里氏_____級地震釋放的能量是3級地震釋放能量的324倍.

【分析】先設3級地震釋放能量為a，再根據題意應用乘方的意義分別求出4、5、6、7級地震釋放能量，進而確定所求問題的答案.

【解析】設3級地震釋放能量為a，則由題意可得4級地震釋放能量為32a，5級地震釋放能量為32×32a=322a，6級地震釋放能量為32×322a=323a，7級地震釋放能量為32×323a=324a，因此，里氏7級地震釋放的能量是3級地震釋放能量的324倍. 因此，本題正確應該填：7.

【點評】本題主要考查同學們對乘方意義的掌握和乘方運算在實際問題中的應用. 解答本題的關鍵是能夠根據題意寫出3級以后的每一級地震所釋放的能量，并用乘方的形式表示.

考點五 考查科學記數法與近似數的概念

例5 （2013·湖北恩施）今年參加恩施州初中畢業學業考試的考生約有39 360人，請將數39 360用科學記數法表示為（保留三位有效數字） （ ）.

A. 3.93×104 B. 3.94×104

C. 0.39×105 D. 394×102

【分析】先用科學記數法表示39 360=3.936 0×104，再保留三位有效數字為3.94×104. 故選B.

【點評】把一個數寫成a×10n的形式（其中1≤a<10，n為整數，這種記數法稱為科學記數法），其方法是：（1） 確定a，a是只有一位整數的數. （2） 確定n. 當原數的絕對值≥10時，n為正整數，n等于原數的整數位數減1；當原數的絕對值<1時，n為負整數，n的絕對值等于原數中左起第一個非零數前零的個數（含整數位數上的零）.

考點六 考查平方根、算術平方根、立方根的概念

例6 （2013·浙江杭州）把7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為______.

【分析】（1） 首先根據平方根和立方根的概念分別求出7的平方根和立方根的值，然后根據實數的大小比較的方法，作出比較.

【解答】-<<.

考點七 考查代數式、整式等相關的概念

例7 （2013·山東濟寧）如果整式xn-2-5x+2是關于x的三次三項式，那么n等于（ ）.

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

【分析】由多項式次數的概念，整式xn-2

-5x+2是關于x的三次三項式，∴n-2=3，n=5，所以本題應選C.

【點評】本題著重考查了對多項式次數的概念，掌握多項式的次數概念是解題的關鍵. 幾個單項式的和叫多項式，組成多項式的每一個單項式叫做多項式的項，在多項式中，次數最高的項的次數叫做多項式的次數.

考點八 考查因式分解的概念

例8 （2013·廣東茂名）下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（ ）.

A. a（x+y）=ax+ay

B. x2-4x+4=x（x-4）+4

C. 10x2-5x=5x（2x-1）

D. x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x

【分析】a（x+y）=ax+ay是將乘積的形式化成和差的形式，是多項式乘法而不是因式分解；x2-4x+4=x（x-4）+4與x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x兩式的右邊最終還是和的形式，所以不是因式分解；10x2-5x=5x（2x-1） 滿足多項式由和差形式化為乘積形式，且等號的左邊和右邊相等，所以選項C正確.

【點評】本題考查同學們對因式分解的定義以及方法的掌握程度. 因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，靈活運用各類方法是關鍵.

考點九 考查分式的概念

例9 （2013·山東淄博）如果分式的值為0，則x的值是 （ ）.

A. 1 B. 0

C. -1 D. ±1

【分析】分式有意義的條件是分母不為零；分式無意義的條件是分母等于零；分式的值等于零的條件是分式的分母不等于零且分子等于零，即x2-1=0

2x+2≠0，解得x=1，故選A.

【點評】本題考查了分式值為零的條件，由分式的分子等于零且分母不能為零，建立方程和不等式是解題的關鍵.

考點十 考查二次根式的概念

例10 （1） （2013·廣西貴港）下列四個式子中，x的取值范圍為x≥2的是（ ）.

A. B.

C. D.

（2） （2013·貴州六盤水）無論x取任何實數，代數式都有意義，則m的取值范圍為______.

【分析】（1） 選項A和選項B要考慮到分母不能為零，選項C滿足x-2≥0，選項D滿足2-x≥0；（2） x2-6x+m≥0即可.

【解答】（1） C. （2） m≥9.

【點評】求x的取值范圍的題目多數出現在選擇題和填空題當中，往往會和二次根式以及分式聯系在一起，注意掌握二次根式有意義的條件是被開方數是非負數，分式有意義的條件是分母不能為零. 二次根式有意義的條件為被開方數為非負數，即可得不等式x2-6x+m≥0，結合完全平方公式的非負性，可求字母取值范圍.

（作者單位：江蘇省建湖縣近湖中學）

考點一 考查相反數、絕對值、倒數的概念

例1 （2013·新疆烏魯木齊）-2的相反數是（ ）.

A. -2 B. -

C. D. 2

【分析】先求-2的絕對值，再求2的相反數即可.

【解答】A.

【點評】本題主要考查有理數絕對值和相反數的概念. 熟練地掌握絕對值和相反數的意義是解題的關鍵.

考點二 考查無理數的概念

例2 （2013·江蘇淮安）如圖1，數軸上A、B兩點表示的數分別為和5.1，則A、B兩點之間表示整數的點共有（ ）.

A. 6個 B. 5個

C. 4個 D. 3個

【分析】根據≈1.414，即位于1和2之間，所以A、B兩點之間表示整數的點有2、3、4、5，共4個. 故選C.

【點評】本題考查了無理數的近似值，關鍵是估算確定無理數在哪兩個整數之間.

考點三 考查數軸的概念

例3 （2013·山東菏澤）如圖2，數軸上的A、B、C三點所表示的數分別為a、b、c，其中AB=BC，如果a>c>b，那么該數軸的原點O的位置應該在（ ）.

A. 點A的左邊

B. 點A與點B之間

C. 點B與點C之間

D. 點C的右邊

【分析】∵a>c>b，∴點A到原點的距離最大，點C到原點的距離其次，點B到原點的距離最小. 又∵AB=BC，∴原點O的位置在點B與點C之間，且靠近點B的地方. 故選C.

【點評】當點的位置（或圖形位置）不確定時，經常需要運用分類討論思想，對問題可能出現的情形逐一分析判斷.

考點四 考查乘方、平方與立方的概念

例4 （2013·江蘇鎮江）地震中里氏震級每增加1級，釋放的能量增大到原來的32倍，那么里氏_____級地震釋放的能量是3級地震釋放能量的324倍.

【分析】先設3級地震釋放能量為a，再根據題意應用乘方的意義分別求出4、5、6、7級地震釋放能量，進而確定所求問題的答案.

【解析】設3級地震釋放能量為a，則由題意可得4級地震釋放能量為32a，5級地震釋放能量為32×32a=322a，6級地震釋放能量為32×322a=323a，7級地震釋放能量為32×323a=324a，因此，里氏7級地震釋放的能量是3級地震釋放能量的324倍. 因此，本題正確應該填：7.

【點評】本題主要考查同學們對乘方意義的掌握和乘方運算在實際問題中的應用. 解答本題的關鍵是能夠根據題意寫出3級以后的每一級地震所釋放的能量，并用乘方的形式表示.

考點五 考查科學記數法與近似數的概念

例5 （2013·湖北恩施）今年參加恩施州初中畢業學業考試的考生約有39 360人，請將數39 360用科學記數法表示為（保留三位有效數字） （ ）.

A. 3.93×104 B. 3.94×104

C. 0.39×105 D. 394×102

【分析】先用科學記數法表示39 360=3.936 0×104，再保留三位有效數字為3.94×104. 故選B.

【點評】把一個數寫成a×10n的形式（其中1≤a<10，n為整數，這種記數法稱為科學記數法），其方法是：（1） 確定a，a是只有一位整數的數. （2） 確定n. 當原數的絕對值≥10時，n為正整數，n等于原數的整數位數減1；當原數的絕對值<1時，n為負整數，n的絕對值等于原數中左起第一個非零數前零的個數（含整數位數上的零）.

考點六 考查平方根、算術平方根、立方根的概念

例6 （2013·浙江杭州）把7的平方根和立方根按從小到大的順序排列為______.

【分析】（1） 首先根據平方根和立方根的概念分別求出7的平方根和立方根的值，然后根據實數的大小比較的方法，作出比較.

【解答】-<<.

考點七 考查代數式、整式等相關的概念

例7 （2013·山東濟寧）如果整式xn-2-5x+2是關于x的三次三項式，那么n等于（ ）.

A. 3 B. 4

C. 5 D. 6

【分析】由多項式次數的概念，整式xn-2

-5x+2是關于x的三次三項式，∴n-2=3，n=5，所以本題應選C.

【點評】本題著重考查了對多項式次數的概念，掌握多項式的次數概念是解題的關鍵. 幾個單項式的和叫多項式，組成多項式的每一個單項式叫做多項式的項，在多項式中，次數最高的項的次數叫做多項式的次數.

考點八 考查因式分解的概念

例8 （2013·廣東茂名）下列各式由左邊到右邊的變形中，屬于分解因式的是（ ）.

A. a（x+y）=ax+ay

B. x2-4x+4=x（x-4）+4

C. 10x2-5x=5x（2x-1）

D. x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x

【分析】a（x+y）=ax+ay是將乘積的形式化成和差的形式，是多項式乘法而不是因式分解；x2-4x+4=x（x-4）+4與x2-16+6x=（x+4）（x-4）+6x兩式的右邊最終還是和的形式，所以不是因式分解；10x2-5x=5x（2x-1） 滿足多項式由和差形式化為乘積形式，且等號的左邊和右邊相等，所以選項C正確.

【點評】本題考查同學們對因式分解的定義以及方法的掌握程度. 因式分解的方法有提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，靈活運用各類方法是關鍵.

考點九 考查分式的概念

例9 （2013·山東淄博）如果分式的值為0，則x的值是 （ ）.

A. 1 B. 0

C. -1 D. ±1

【分析】分式有意義的條件是分母不為零；分式無意義的條件是分母等于零；分式的值等于零的條件是分式的分母不等于零且分子等于零，即x2-1=0

2x+2≠0，解得x=1，故選A.

【點評】本題考查了分式值為零的條件，由分式的分子等于零且分母不能為零，建立方程和不等式是解題的關鍵.

考點十 考查二次根式的概念

例10 （1） （2013·廣西貴港）下列四個式子中，x的取值范圍為x≥2的是（ ）.

A. B.

C. D.

（2） （2013·貴州六盤水）無論x取任何實數，代數式都有意義，則m的取值范圍為______.

【分析】（1） 選項A和選項B要考慮到分母不能為零，選項C滿足x-2≥0，選項D滿足2-x≥0；（2） x2-6x+m≥0即可.

【解答】（1） C. （2） m≥9.

【點評】求x的取值范圍的題目多數出現在選擇題和填空題當中，往往會和二次根式以及分式聯系在一起，注意掌握二次根式有意義的條件是被開方數是非負數，分式有意義的條件是分母不能為零. 二次根式有意義的條件為被開方數為非負數，即可得不等式x2-6x+m≥0，結合完全平方公式的非負性，可求字母取值范圍.

（作者單位：江蘇省建湖縣近湖中學）