從一道課本習題的解法談代數式值的求法

王亞

蘇科版義務教育教科書《數學》七年級上冊第92頁有這樣一道習題：

已知：t=-，求代數式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【分析】所謂求代數式的值，就是用具體的數值代替代數式中的字母，計算所得的結果. 因此，我們可以先對代數式進行化簡，再將t=-代入其中進行求值.

原式=2t2-2t-2-t2+t+1+3t2-3t-3

=4t2-4t-4.

當t=-時，原式=4×

-2-4×

--4=-1.

觀察代數式的整體特征，不難發現其中具有的相同項“t2-t-1”，因此，不妨將“t2-t-1”看成是一個整體，設a=t2-t-1，則

原式=2a-a+3a=4a.

當t=-時，a=t2-t-1=

-2-

--1=-，所以，原式=4a=4×

-=-1.

綜上兩種解法，我們可以發現：第一種方法是求代數式的值的通法，對于求任何一個代數式的值均可行；第二種解法從代數式的整體特征入手，聚“部分”為“整體”，較第一種解法更靈活、簡捷，充分體現了數學的整體思想. 因此，在求代數式值的時候，需要從代數式本身和整體著眼，靈活選擇恰當的方法進行求解. 現以2013年中考試題為例加以說明，供同學們復習參考.

一、 整體代入的思想

例1 （2013·遼寧沈陽）如果x=1時，代數式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1時，代數式2ax3+3bx+4的值是______.

【分析】因為x=1時，代數式2ax3+3bx+4的值是5，所以有2a+3b+4=5，即2a+3b=1，所以x=-1時，代數式2ax3+3bx+4的值為-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=3. 故填3.

【點評】本題沒有去尋求待定系數a、b的值，而根據x=1時代數式的值是5得到a、b之間的數量關系，并把它們的數量關系式看成是一個整體，求得x=-1時代數式的值.

二、 因式分解后的整體思想

例2 （2013·山東威海）若m-n=-1，則（m-n）2-2m+2n的值是（ ）.

A. 3 B. 2

C. 1 D. -1

【分析】觀察代數式（m-n）2-2m+2n，不難發現其中具有共同的項“m-n”，因此可以將（m-n）2-2m+2n化成（m-n）2-2（m-n）= （m-n）（m-n-2），從而可以得到代數式的值為3. 故選A.

【點評】本題要求同學們能夠靈活地對所求代數式進行因式分解，并把（m-n）看成是一個整體，進而求得代數式的值.

三、 整式化簡后的整體思想

例3 （2013·北京）已知x2-4x-1=0，求代數式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.

【分析】如果先解一元二次方程，那么所得的解是無理數. 再將所得解代入代數式中，解題過程會非常繁瑣. 不妨先對代數式進行化簡，再對條件進行適當變形后求代數式的值.

解：原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2

=3x2-12x+9

=3（x2-4x+3）.

∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，

∴ 原式=3×（1+3） =12.

【點評】本題解法靈活，沒有急于求得一元二次方程的解，而是先化簡代數式再作出決定——將條件“x2-4x-1=0”變形為“x2-4x=1”，從而實現整體代入求值.

四、 分式化簡后的整體思想

例4 （2013·山東棗莊）化簡，再求值：

÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡得原式=，將m代入原方程可得m2+3m=1，然后整體代入即可，本題不適合求根后再代入.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，

∴所求式=÷

=×

===.

【點評】以一元二次方程為條件的分式求值問題，需要根據化簡后的代數式與方程變形后的代數式，尋找內在的聯系并應用恰當的方法求解.

例5 （2013·貴州遵義）已知實數a滿足a2+2a-15=0，求-÷的值.

【分析】本題可以先求得方程的解，再代入分式化簡后的代數式中求值，也可以對方程進行適當變形再求值.

解：方法1：

原式=-·

=-=.

∵a2+2a-15=0，∴a1=-5，a2=3，

當a=3時，原式=；

當a=-5時，原式=.

∴ 原式的值為.

方法2：（同方法1）原式=.

∵a2+2a-15=0，

∴a2+2a+1=16，

∴（a+1）2=16，

∴原式==.

【點評】遇到分式求值問題時，一般都要先對分式進行化簡，再將字母取值代入求值. 取值時應注意所取字母的值要保證解題過程中出現的所有的分式都有意義. 我們還可以將所給代數式進行適當的變形，使其變形成條件中含有的代數式，再利用整體代入的思想進行求值運算.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）

蘇科版義務教育教科書《數學》七年級上冊第92頁有這樣一道習題：

已知：t=-，求代數式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【分析】所謂求代數式的值，就是用具體的數值代替代數式中的字母，計算所得的結果. 因此，我們可以先對代數式進行化簡，再將t=-代入其中進行求值.

原式=2t2-2t-2-t2+t+1+3t2-3t-3

=4t2-4t-4.

當t=-時，原式=4×

-2-4×

--4=-1.

觀察代數式的整體特征，不難發現其中具有的相同項“t2-t-1”，因此，不妨將“t2-t-1”看成是一個整體，設a=t2-t-1，則

原式=2a-a+3a=4a.

當t=-時，a=t2-t-1=

-2-

--1=-，所以，原式=4a=4×

-=-1.

綜上兩種解法，我們可以發現：第一種方法是求代數式的值的通法，對于求任何一個代數式的值均可行；第二種解法從代數式的整體特征入手，聚“部分”為“整體”，較第一種解法更靈活、簡捷，充分體現了數學的整體思想. 因此，在求代數式值的時候，需要從代數式本身和整體著眼，靈活選擇恰當的方法進行求解. 現以2013年中考試題為例加以說明，供同學們復習參考.

一、 整體代入的思想

例1 （2013·遼寧沈陽）如果x=1時，代數式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1時，代數式2ax3+3bx+4的值是______.

【分析】因為x=1時，代數式2ax3+3bx+4的值是5，所以有2a+3b+4=5，即2a+3b=1，所以x=-1時，代數式2ax3+3bx+4的值為-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=3. 故填3.

【點評】本題沒有去尋求待定系數a、b的值，而根據x=1時代數式的值是5得到a、b之間的數量關系，并把它們的數量關系式看成是一個整體，求得x=-1時代數式的值.

二、 因式分解后的整體思想

例2 （2013·山東威海）若m-n=-1，則（m-n）2-2m+2n的值是（ ）.

A. 3 B. 2

C. 1 D. -1

【分析】觀察代數式（m-n）2-2m+2n，不難發現其中具有共同的項“m-n”，因此可以將（m-n）2-2m+2n化成（m-n）2-2（m-n）= （m-n）（m-n-2），從而可以得到代數式的值為3. 故選A.

【點評】本題要求同學們能夠靈活地對所求代數式進行因式分解，并把（m-n）看成是一個整體，進而求得代數式的值.

三、 整式化簡后的整體思想

例3 （2013·北京）已知x2-4x-1=0，求代數式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.

【分析】如果先解一元二次方程，那么所得的解是無理數. 再將所得解代入代數式中，解題過程會非常繁瑣. 不妨先對代數式進行化簡，再對條件進行適當變形后求代數式的值.

解：原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2

=3x2-12x+9

=3（x2-4x+3）.

∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，

∴ 原式=3×（1+3） =12.

【點評】本題解法靈活，沒有急于求得一元二次方程的解，而是先化簡代數式再作出決定——將條件“x2-4x-1=0”變形為“x2-4x=1”，從而實現整體代入求值.

四、 分式化簡后的整體思想

例4 （2013·山東棗莊）化簡，再求值：

÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡得原式=，將m代入原方程可得m2+3m=1，然后整體代入即可，本題不適合求根后再代入.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，

∴所求式=÷

=×

===.

【點評】以一元二次方程為條件的分式求值問題，需要根據化簡后的代數式與方程變形后的代數式，尋找內在的聯系并應用恰當的方法求解.

例5 （2013·貴州遵義）已知實數a滿足a2+2a-15=0，求-÷的值.

【分析】本題可以先求得方程的解，再代入分式化簡后的代數式中求值，也可以對方程進行適當變形再求值.

解：方法1：

原式=-·

=-=.

∵a2+2a-15=0，∴a1=-5，a2=3，

當a=3時，原式=；

當a=-5時，原式=.

∴ 原式的值為.

方法2：（同方法1）原式=.

∵a2+2a-15=0，

∴a2+2a+1=16，

∴（a+1）2=16，

∴原式==.

【點評】遇到分式求值問題時，一般都要先對分式進行化簡，再將字母取值代入求值. 取值時應注意所取字母的值要保證解題過程中出現的所有的分式都有意義. 我們還可以將所給代數式進行適當的變形，使其變形成條件中含有的代數式，再利用整體代入的思想進行求值運算.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）

蘇科版義務教育教科書《數學》七年級上冊第92頁有這樣一道習題：

已知：t=-，求代數式2（t2-t-1）-（t2-t-1）+3（t2-t-1）的值.

【分析】所謂求代數式的值，就是用具體的數值代替代數式中的字母，計算所得的結果. 因此，我們可以先對代數式進行化簡，再將t=-代入其中進行求值.

原式=2t2-2t-2-t2+t+1+3t2-3t-3

=4t2-4t-4.

當t=-時，原式=4×

-2-4×

--4=-1.

觀察代數式的整體特征，不難發現其中具有的相同項“t2-t-1”，因此，不妨將“t2-t-1”看成是一個整體，設a=t2-t-1，則

原式=2a-a+3a=4a.

當t=-時，a=t2-t-1=

-2-

--1=-，所以，原式=4a=4×

-=-1.

綜上兩種解法，我們可以發現：第一種方法是求代數式的值的通法，對于求任何一個代數式的值均可行；第二種解法從代數式的整體特征入手，聚“部分”為“整體”，較第一種解法更靈活、簡捷，充分體現了數學的整體思想. 因此，在求代數式值的時候，需要從代數式本身和整體著眼，靈活選擇恰當的方法進行求解. 現以2013年中考試題為例加以說明，供同學們復習參考.

一、 整體代入的思想

例1 （2013·遼寧沈陽）如果x=1時，代數式2ax3+3bx+4的值是5，那么x=-1時，代數式2ax3+3bx+4的值是______.

【分析】因為x=1時，代數式2ax3+3bx+4的值是5，所以有2a+3b+4=5，即2a+3b=1，所以x=-1時，代數式2ax3+3bx+4的值為-2a-3b+4=-（2a+3b）+4=3. 故填3.

【點評】本題沒有去尋求待定系數a、b的值，而根據x=1時代數式的值是5得到a、b之間的數量關系，并把它們的數量關系式看成是一個整體，求得x=-1時代數式的值.

二、 因式分解后的整體思想

例2 （2013·山東威海）若m-n=-1，則（m-n）2-2m+2n的值是（ ）.

A. 3 B. 2

C. 1 D. -1

【分析】觀察代數式（m-n）2-2m+2n，不難發現其中具有共同的項“m-n”，因此可以將（m-n）2-2m+2n化成（m-n）2-2（m-n）= （m-n）（m-n-2），從而可以得到代數式的值為3. 故選A.

【點評】本題要求同學們能夠靈活地對所求代數式進行因式分解，并把（m-n）看成是一個整體，進而求得代數式的值.

三、 整式化簡后的整體思想

例3 （2013·北京）已知x2-4x-1=0，求代數式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.

【分析】如果先解一元二次方程，那么所得的解是無理數. 再將所得解代入代數式中，解題過程會非常繁瑣. 不妨先對代數式進行化簡，再對條件進行適當變形后求代數式的值.

解：原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2

=3x2-12x+9

=3（x2-4x+3）.

∵x2-4x-1=0，∴x2-4x=1，

∴ 原式=3×（1+3） =12.

【點評】本題解法靈活，沒有急于求得一元二次方程的解，而是先化簡代數式再作出決定——將條件“x2-4x-1=0”變形為“x2-4x=1”，從而實現整體代入求值.

四、 分式化簡后的整體思想

例4 （2013·山東棗莊）化簡，再求值：

÷m

+2-，其中m是方程x2+3x-1=0的根.

【分析】化簡得原式=，將m代入原方程可得m2+3m=1，然后整體代入即可，本題不適合求根后再代入.

解：∵m是方程x2+3x-1=0的根，

∴m2+3m-1=0，即m2+3m=1，

∴所求式=÷

=×

===.

【點評】以一元二次方程為條件的分式求值問題，需要根據化簡后的代數式與方程變形后的代數式，尋找內在的聯系并應用恰當的方法求解.

例5 （2013·貴州遵義）已知實數a滿足a2+2a-15=0，求-÷的值.

【分析】本題可以先求得方程的解，再代入分式化簡后的代數式中求值，也可以對方程進行適當變形再求值.

解：方法1：

原式=-·

=-=.

∵a2+2a-15=0，∴a1=-5，a2=3，

當a=3時，原式=；

當a=-5時，原式=.

∴ 原式的值為.

方法2：（同方法1）原式=.

∵a2+2a-15=0，

∴a2+2a+1=16，

∴（a+1）2=16，

∴原式==.

【點評】遇到分式求值問題時，一般都要先對分式進行化簡，再將字母取值代入求值. 取值時應注意所取字母的值要保證解題過程中出現的所有的分式都有意義. 我們還可以將所給代數式進行適當的變形，使其變形成條件中含有的代數式，再利用整體代入的思想進行求值運算.

（作者單位：江蘇省建湖縣實驗初中教育集團）