解不等式（組）中的常見錯誤剖析

焦良存

在解決不等式（組）的有關問題時，要謹防犯以下常見錯誤：

一、 誤用不等式性質

例1 （2013·山東聊城）不等式組3x-1>2， ①

4-2x≥0 ②的解集在數軸上表示為（ ）.

【錯解】由①得3x>3，解得x>1；由②得

-2x≥-4，解得x≥2. 所以，選B.

【分析】由-2x≥-4，兩邊同除以-2，不等號應改變方向，得x≤2，所以不等式組的解集為1

【點評】解答本題時，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變.

二、 弄錯特殊解

例2 （2013·山東菏澤）解不等式組

3（x-1）<5x+1，

≥2x-4，并指出它的所有的非負整數解.

【錯解】由3（x-1）<5x+1，解得x>-2；

由≥2x-4，解得x≤.

所以原不等式組的解集是-2

∴原不等式組的非負整數解為1，2.

【分析】錯解以為非負整數解即正整數解，遺漏了符合要求的0，正確答案為x=0，1，2.

【點評】由本題的解答可見，準確理解有關概念是正確解題的前提.

三、 忽視實際情況

例3 （2013·浙江臺州）某校班級籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得3分，負1場得1分. 如果某班要在第一輪的28場比賽中至少得43分，那么這個班至少要勝多少場？

【錯解】設這個班至少要勝x場，則負（28-x）場，由題意得，3x+28-x=43，解得x=7.5.

答：這個班至少要勝7.5場.

【分析】應用題是實際生活的反映，它的答案要符合實際生活情況，要勝7.5場是不符合實際的. 本題若用方程求解，應將問題轉化為求滿足要求的最小正整數解：要勝的場數應為大于7.5的最小整數，即至少要勝8場. 當然，本題最好應用不等式來求解：

設這個班至少要勝x場，則負（28-x）場，由題意得3x+28-x≥43，解得x≥7.5.

∵x取最小的整數，∴x=8.

答：這個班至少要勝8場.

【點評】當同一個問題可以用不同的模型來解決時，選擇合理的數學模型是正確解題的關鍵.

四、 考慮不周

例4 （2007·山東濰坊）幼兒園把新購進的一批玩具分給小朋友. 若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個小朋友分到玩具，但不足4件. 這批玩具共有______件.

【錯解】設有x個小朋友，這批玩具共有y件，則有：y=3x+59，

1≤y-5x≤3.即1≤3x+59-5x≤3，解得28≤x≤29. 又x為整數，所以x=28或29，y=143或146. 即這批玩具共有143或146件.

【分析】在第二種分法中，只有（x-1）個小朋友每人分到了5個玩具，還有1人不足4件，由此第二個不等式是錯誤的，正確的不等式組應該是：y=3x+59，

1≤y-5（x-1）≤3.即1≤（3x+59）-5（x-1）≤3，解得30.5≤x≤31.5. 又x為整數，所以x=31，y=3×31+59=152.

【點評】正確理解“最后一個小朋友分到玩具，但不足4件”是解決本題的關鍵.

五、 忽視隱含條件

例5 （2005·四川成都）如果關于x的方程1+=的解也是不等式組

>x-2，

2（x-3）≤x-8的一個解，求m的取值范圍.

【錯解】求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得x=-m-2，∴-m-2≤

-2，即m≥0.

【分析】當m=0時，x=-2，此時x2-4=0，分式方程無意義，應舍去. 產生錯誤的原因是忽視了對增根的檢驗. 正確解法是：求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得：x=-m-2，又∵x≠±2，∴m≠0且m≠

-4，所以-m-2≤-2，

m≠0且m≠-4.所以m>0.

【點評】忽視隱含條件是造成解題錯誤的“冷面殺手”，我們要重視這方面的訓練，提高挖掘隱含條件的能力.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）

在解決不等式（組）的有關問題時，要謹防犯以下常見錯誤：

一、 誤用不等式性質

例1 （2013·山東聊城）不等式組3x-1>2， ①

4-2x≥0 ②的解集在數軸上表示為（ ）.

【錯解】由①得3x>3，解得x>1；由②得

-2x≥-4，解得x≥2. 所以，選B.

【分析】由-2x≥-4，兩邊同除以-2，不等號應改變方向，得x≤2，所以不等式組的解集為1

【點評】解答本題時，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變.

二、 弄錯特殊解

例2 （2013·山東菏澤）解不等式組

3（x-1）<5x+1，

≥2x-4，并指出它的所有的非負整數解.

【錯解】由3（x-1）<5x+1，解得x>-2；

由≥2x-4，解得x≤.

所以原不等式組的解集是-2

∴原不等式組的非負整數解為1，2.

【分析】錯解以為非負整數解即正整數解，遺漏了符合要求的0，正確答案為x=0，1，2.

【點評】由本題的解答可見，準確理解有關概念是正確解題的前提.

三、 忽視實際情況

例3 （2013·浙江臺州）某校班級籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得3分，負1場得1分. 如果某班要在第一輪的28場比賽中至少得43分，那么這個班至少要勝多少場？

【錯解】設這個班至少要勝x場，則負（28-x）場，由題意得，3x+28-x=43，解得x=7.5.

答：這個班至少要勝7.5場.

【分析】應用題是實際生活的反映，它的答案要符合實際生活情況，要勝7.5場是不符合實際的. 本題若用方程求解，應將問題轉化為求滿足要求的最小正整數解：要勝的場數應為大于7.5的最小整數，即至少要勝8場. 當然，本題最好應用不等式來求解：

設這個班至少要勝x場，則負（28-x）場，由題意得3x+28-x≥43，解得x≥7.5.

∵x取最小的整數，∴x=8.

答：這個班至少要勝8場.

【點評】當同一個問題可以用不同的模型來解決時，選擇合理的數學模型是正確解題的關鍵.

四、 考慮不周

例4 （2007·山東濰坊）幼兒園把新購進的一批玩具分給小朋友. 若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個小朋友分到玩具，但不足4件. 這批玩具共有______件.

【錯解】設有x個小朋友，這批玩具共有y件，則有：y=3x+59，

1≤y-5x≤3.即1≤3x+59-5x≤3，解得28≤x≤29. 又x為整數，所以x=28或29，y=143或146. 即這批玩具共有143或146件.

【分析】在第二種分法中，只有（x-1）個小朋友每人分到了5個玩具，還有1人不足4件，由此第二個不等式是錯誤的，正確的不等式組應該是：y=3x+59，

1≤y-5（x-1）≤3.即1≤（3x+59）-5（x-1）≤3，解得30.5≤x≤31.5. 又x為整數，所以x=31，y=3×31+59=152.

【點評】正確理解“最后一個小朋友分到玩具，但不足4件”是解決本題的關鍵.

五、 忽視隱含條件

例5 （2005·四川成都）如果關于x的方程1+=的解也是不等式組

>x-2，

2（x-3）≤x-8的一個解，求m的取值范圍.

【錯解】求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得x=-m-2，∴-m-2≤

-2，即m≥0.

【分析】當m=0時，x=-2，此時x2-4=0，分式方程無意義，應舍去. 產生錯誤的原因是忽視了對增根的檢驗. 正確解法是：求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得：x=-m-2，又∵x≠±2，∴m≠0且m≠

-4，所以-m-2≤-2，

m≠0且m≠-4.所以m>0.

【點評】忽視隱含條件是造成解題錯誤的“冷面殺手”，我們要重視這方面的訓練，提高挖掘隱含條件的能力.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）

在解決不等式（組）的有關問題時，要謹防犯以下常見錯誤：

一、 誤用不等式性質

例1 （2013·山東聊城）不等式組3x-1>2， ①

4-2x≥0 ②的解集在數軸上表示為（ ）.

【錯解】由①得3x>3，解得x>1；由②得

-2x≥-4，解得x≥2. 所以，選B.

【分析】由-2x≥-4，兩邊同除以-2，不等號應改變方向，得x≤2，所以不等式組的解集為1

【點評】解答本題時，不等式兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向要改變.

二、 弄錯特殊解

例2 （2013·山東菏澤）解不等式組

3（x-1）<5x+1，

≥2x-4，并指出它的所有的非負整數解.

【錯解】由3（x-1）<5x+1，解得x>-2；

由≥2x-4，解得x≤.

所以原不等式組的解集是-2

∴原不等式組的非負整數解為1，2.

【分析】錯解以為非負整數解即正整數解，遺漏了符合要求的0，正確答案為x=0，1，2.

【點評】由本題的解答可見，準確理解有關概念是正確解題的前提.

三、 忽視實際情況

例3 （2013·浙江臺州）某校班級籃球聯賽中，每場比賽都要分出勝負，每隊勝1場得3分，負1場得1分. 如果某班要在第一輪的28場比賽中至少得43分，那么這個班至少要勝多少場？

【錯解】設這個班至少要勝x場，則負（28-x）場，由題意得，3x+28-x=43，解得x=7.5.

答：這個班至少要勝7.5場.

【分析】應用題是實際生活的反映，它的答案要符合實際生活情況，要勝7.5場是不符合實際的. 本題若用方程求解，應將問題轉化為求滿足要求的最小正整數解：要勝的場數應為大于7.5的最小整數，即至少要勝8場. 當然，本題最好應用不等式來求解：

設這個班至少要勝x場，則負（28-x）場，由題意得3x+28-x≥43，解得x≥7.5.

∵x取最小的整數，∴x=8.

答：這個班至少要勝8場.

【點評】當同一個問題可以用不同的模型來解決時，選擇合理的數學模型是正確解題的關鍵.

四、 考慮不周

例4 （2007·山東濰坊）幼兒園把新購進的一批玩具分給小朋友. 若每人3件，那么還剩余59件；若每人5件，那么最后一個小朋友分到玩具，但不足4件. 這批玩具共有______件.

【錯解】設有x個小朋友，這批玩具共有y件，則有：y=3x+59，

1≤y-5x≤3.即1≤3x+59-5x≤3，解得28≤x≤29. 又x為整數，所以x=28或29，y=143或146. 即這批玩具共有143或146件.

【分析】在第二種分法中，只有（x-1）個小朋友每人分到了5個玩具，還有1人不足4件，由此第二個不等式是錯誤的，正確的不等式組應該是：y=3x+59，

1≤y-5（x-1）≤3.即1≤（3x+59）-5（x-1）≤3，解得30.5≤x≤31.5. 又x為整數，所以x=31，y=3×31+59=152.

【點評】正確理解“最后一個小朋友分到玩具，但不足4件”是解決本題的關鍵.

五、 忽視隱含條件

例5 （2005·四川成都）如果關于x的方程1+=的解也是不等式組

>x-2，

2（x-3）≤x-8的一個解，求m的取值范圍.

【錯解】求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得x=-m-2，∴-m-2≤

-2，即m≥0.

【分析】當m=0時，x=-2，此時x2-4=0，分式方程無意義，應舍去. 產生錯誤的原因是忽視了對增根的檢驗. 正確解法是：求得不等式組的解集為x≤-2. 解方程1+=得：x=-m-2，又∵x≠±2，∴m≠0且m≠

-4，所以-m-2≤-2，

m≠0且m≠-4.所以m>0.

【點評】忽視隱含條件是造成解題錯誤的“冷面殺手”，我們要重視這方面的訓練，提高挖掘隱含條件的能力.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）