不等式（組）典型例題解析

杭靜

關于不等式（組）的知識在各地中考中都占有一定的比例，下面以2013年中考試題為例，對中考中的一些典型試題加以分析，歸納考點，分析得分點，希望對同學們有所幫助.

例1 （2013·廣東佛山，6分）已知兩個語句：

①式子2x-1的值在1（含1）與3（含3）之間；

②式子2x-1的值不小于1且不大于3.

請回答以下問題：

（1） 兩個語句表達的意思是否一樣（不用說明理由）？

（2） 把兩個語句分別用數學式子表示出來.

【分析】本題涉及由具體問題抽象出一元一次不等式組.

（1） 注意分析“在1（含1）與3（含3）之間”及“不小于1且不大于3”，明確兩者之間的關系；（2） 根據題意列出不等式組.

解：（1） 一樣；（3分）

（2） 式子2x-1的值在1（含1）與3（含3）之間可得1≤2x-1≤3；（6分）

或：式子2x-1的值不小于1且不大于3可得2x-1≥1，

2x-1≤3.（6分）

【點評】解決這類問題關鍵是正確理解題意，抓住題干中體現不等關系的詞語，準確進行文字語言與符號語言的轉化. 這類問題是中考中的基本題，只要理解正確，轉化準確，即可得到滿分.

例2 （2013·四川巴中，6分）解不等式：

- ≤1，并把解集表示在數軸上.

【分析】本題考查一元一次不等式的解法及解集的數軸表示. 按照解一元一次不等式的步驟求解.

解：去分母得：2（2x-1）-（9x+2）≤6，（1分）

去括號得：4x-2-9x-2≤6，（2分）

移項得：4x-9x≤6+2+2，（3分）

合并同類項得：-5x≤10，（4分）

把x的系數化為1得：x≥-2.（5分）

這個不等式的解集可表示如下（如圖1）：

【點評】解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程的步驟基本相同，只是在不等式兩邊同乘（或除以）一個負數時，不等號要改變方向. 用數軸表示不等式的解集，要注意向右或向左、圓點或圓圈的確定，方法是：大于向右，小于向左；圓點包括該點，圓圈不包括該點.

例3 （2013·貴州畢節，12分）解不等式組：

2x+5≤3（x+2），①

2x

-<1. ②

把不等式組的解集在數軸上表示出來，并寫出不等式組的非負整數解.

【分析】本題涉及解一元一次不等式組、在數軸上表示不等式組的解集以及求一元一次不等式組的整數解. 先分別計算出兩個不等式的解集，再根據“大小小大中間找”確定不等式組的解集，最后找出解集范圍內的非負整數即可.

解：由①得：x≥-1，（2分）

由②得：x<3，（5分）

∴不等式組的解集為：-1≤x<3. （7分）

這個不等式組的解集在數軸上表示如圖2所示.

.（10分）

不等式組的非負整數解為2、1、0.（12分）

【點評】解不等式組就是先求出各個不等式的解集，再利用數軸找出其解集的公共部分. 不等式組的解集也可用口訣來確定：“大大取大，小小取小，大小小大中間找，大大小小是空集.” 求不等式（組）的特殊解，一般先求出不等式（組）的解集，再在解集中找出符合要求的特殊解.

例4 （2013· 江蘇揚州，8分）已知關于x、y的方程組5x+2y=11a+18，

2x-3y=12a-8的解滿足x>0，y>0，求實數a的取值范圍.

【分析】本題綜合考查二元一次方程組和一元一次不等式組的解法，解題的關鍵是先求出方程組的解并用含a的字母表示出來，再利用x>0和y>0構造不等式組，最后解不等式組求字母a的取值范圍. 在解方程組時，可以用代入法或加減法，下面給出用加減法求解的完整過程，用代入法求解請你自己完成.

解：解方程組5x+2y=11a+18①，

2x-3y=12a-8 ②，①×3得，

15x+6y=33a+54 ③，

②×2得，4x-6y=24a-16 ④，

③+④得，19x=57a+38，解得x=3a+2，（2分）

把x=3a+2代入①得5（3a+2）+2y=11a+18，

∴y=-2a+4，

∴方程組的解是x=3a+2，

y=-2a+4. （4分）

∵x>0，y>0，∴3a+2>0，

-2a+4>0，（6分）

∴a的取值范圍是-

【點評】構造不等式組來確定字母的取值范圍是最常用的方法之一. 解決這類問題的關鍵是正確求出方程組的解，不少考生因為無法理解方程組的解可以用含有a的代數式表示而無法解題.

例5 （2013·江蘇南通，8分）若關于x的不等式組

+>0，

3x+5a+4>4（x+1）+3a恰有三個整數解，求實數a的取值范圍.

【分析】本題考查一元一次不等式組的解法和不等式組解集的逆向應用. 應先分別求出各不等式的解集，得到不等式組解集，再由解集中恰有3個整數解得到關于a的不等式，最后得出a的取值范圍.

解：由不等式+>0，解得x>-，（2分）

由不等式3x+5a+4>4（x+1）+3a，解得x<2a. （4分）

所以不等式組的解集為-

因為不等式組恰有三個整數解，所以其整數解為0，1，2，所以2<2a≤3，（7分）

所以1

【點評】解決本題也可以借助數軸分析解集的情況，確定a的取值范圍.

例6 （2013·湖北孝感，10分）已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1、x2.

（1） 求實數k的取值范圍；

（2） 是否存在實數k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由.

【分析】本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，解題的關鍵是利用根的判別式、根與系數的關系和已知條件建立不等式，在解不等式時一定要注意數值的正負與不等號的變化關系.

解：（1） ∵原方程有兩個實數根，

∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，（2分）

∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0，

∴1-4k≥0，∴k≤. （4分）

∴當k≤時，原方程有兩個實數根. （5分）

（2） 假設存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.

∵x1、x2是原方程的兩根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k. （6分）

由x1·x2-x12-x22≥0，3x1·x2-（x1+x2）2≥0，（7分）

∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，即-（k-1）2≥0，（8分）

∴只有當k=1時，上式才能成立.（9分）

又∵由（1）知k≤，∴不存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. （10分）

【點評】對于存在探究型問題，首先假設條件的存在，然后再通過證明推理及計算，探究自己所假設存在是否與已知條件或推理過程矛盾，若矛盾則假設不成立，否則假設成立. 運用根與系數的關系求某些代數式的值，關鍵是將所求的代數式恒等變形為用x1+x2和x1x2表示的代數式. 基本步驟：第一步：求出x1+x2和x1x2的值；第二步：將所求代數式用x1+x2和x1x2的代數式表示；第三步：將x1+x2和x1x2的值代入求值.

例7 （2013·江蘇無錫，8分）已知甲、乙兩種原料中均含有A元素，其含量及每噸原料的購買單價如下表所示：

已知用甲原料提取每千克A元素要排放廢氣1噸，用乙原料提取每千克A元素要排放廢氣0.5噸. 若某廠要提取A元素20千克，并要求廢氣排放不超過16噸，問：該廠購買這兩種原料的費用最少是多少萬元？

【分析】本題涉及用方程、不等式和一次函數的性質來解決實際問題，由“要提取A元素20千克”可以得到一個方程，由“廢氣排放不超過16噸”可以得到一個不等式，進而可以求出一種原料的取值范圍，再求出購買這兩種原料的費用的函數關系式，即可求出費用的最少值.

解：（1） 設購買甲、乙兩種原料分別為x噸和y噸，則

5%·x·1 000+8%·y·1 000=20，

5%·x·1 000×1+8%·y·1 000×0.5≤16.（2分）

即5x+8y=2，

50x+40y≤16.

∴y≥0.1. （4分）

設購買甲、乙兩種原料所需要的費用為W萬元，則

W=2.5x+6y=2.5×+6y=1+2y≥1.2，（6分）

∴當y=0.1，x=0.24時，W最小=1.2. （7分）

答：該廠購買這兩種原料最少需要1.2萬元. （8分）

【點評】在聯合運用方程、不等式和函數知識來解決實際問題時，要認真審題，找出表示題目全部含義的數量關系，然后根據不等式（組）確定自變量的范圍，再根據題意建立函數模型，最后在自變量的取值范圍內求函數最值.

例8 （2013·湖南益陽，10分）“二廣”高速在益陽境內的建設正在緊張地進行，現有大量的沙石需要運輸. “益安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石.

（1） 求“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？

（2） 隨著工程的進展，“益安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請你一一寫出.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及不等式的綜合應用，解題關鍵是根據已知條件，尋找到題目中的相等關系和不等關系，再建立方程或不等式模型來求解.（1） 根據“‘益安車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石”組成方程組求解；（2） 利用“‘益安車隊需要一次運輸沙石165噸以上”得出不等式，求出整數解就可以得到所有的購買方案.

解：（1） 設“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車分別有x輛、y輛，由題意，得

x+y=12，

8x+10y=110.（2分）

解得 x=5，

y=7. （4分）

答：“益安”車隊載重量為8噸的卡車有5輛，10噸的卡車有7輛.（5分）

（2） 設載重量為8噸的卡車增加了z輛，由題意，得8（5+z）+10（7+6-z）>165. （7分）

解得z<. ∵z≥0且為整數，∴z=0、1、2；

∴6-z=6、5、4. （8分）

∴車隊共有3種購車方案：

①載重量為8噸的卡車不購買，10噸的卡車購買6輛；

②載重量為8噸的卡車購買1輛，10噸的卡車購買5輛；

③載重量為8噸的卡車購買2輛，10噸的卡車購買4輛. （10分）

【點評】（1） 建立方程或方程組模型，首先應找到題目中的等量關系，并用文字把等量關系寫出來，再把文字用代數式表示，即可列出方程或方程組. （2） 列不等式（組）解應用題的關鍵是根據題意找出題目中的不等關系，再根據相應的關系列出不等式（組）. 要注意通常不等關系的給出總是以“至少”“沒滿”“少于”“不超過”“最大”等關鍵詞語作為標志. 有時在解出不等式（組）之后，還要根據實際情況適當取舍，選出符合要求的答案.

（作者單位：江蘇省興化市第一中學）

所以1

【點評】解決本題也可以借助數軸分析解集的情況，確定a的取值范圍.

例6 （2013·湖北孝感，10分）已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1、x2.

（1） 求實數k的取值范圍；

（2） 是否存在實數k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由.

【分析】本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，解題的關鍵是利用根的判別式、根與系數的關系和已知條件建立不等式，在解不等式時一定要注意數值的正負與不等號的變化關系.

解：（1） ∵原方程有兩個實數根，

∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，（2分）

∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0，

∴1-4k≥0，∴k≤. （4分）

∴當k≤時，原方程有兩個實數根. （5分）

（2） 假設存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.

∵x1、x2是原方程的兩根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k. （6分）

由x1·x2-x12-x22≥0，3x1·x2-（x1+x2）2≥0，（7分）

∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，即-（k-1）2≥0，（8分）

∴只有當k=1時，上式才能成立.（9分）

又∵由（1）知k≤，∴不存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. （10分）

【點評】對于存在探究型問題，首先假設條件的存在，然后再通過證明推理及計算，探究自己所假設存在是否與已知條件或推理過程矛盾，若矛盾則假設不成立，否則假設成立. 運用根與系數的關系求某些代數式的值，關鍵是將所求的代數式恒等變形為用x1+x2和x1x2表示的代數式. 基本步驟：第一步：求出x1+x2和x1x2的值；第二步：將所求代數式用x1+x2和x1x2的代數式表示；第三步：將x1+x2和x1x2的值代入求值.

例7 （2013·江蘇無錫，8分）已知甲、乙兩種原料中均含有A元素，其含量及每噸原料的購買單價如下表所示：

已知用甲原料提取每千克A元素要排放廢氣1噸，用乙原料提取每千克A元素要排放廢氣0.5噸. 若某廠要提取A元素20千克，并要求廢氣排放不超過16噸，問：該廠購買這兩種原料的費用最少是多少萬元？

【分析】本題涉及用方程、不等式和一次函數的性質來解決實際問題，由“要提取A元素20千克”可以得到一個方程，由“廢氣排放不超過16噸”可以得到一個不等式，進而可以求出一種原料的取值范圍，再求出購買這兩種原料的費用的函數關系式，即可求出費用的最少值.

解：（1） 設購買甲、乙兩種原料分別為x噸和y噸，則

5%·x·1 000+8%·y·1 000=20，

5%·x·1 000×1+8%·y·1 000×0.5≤16.（2分）

即5x+8y=2，

50x+40y≤16.

∴y≥0.1. （4分）

設購買甲、乙兩種原料所需要的費用為W萬元，則

W=2.5x+6y=2.5×+6y=1+2y≥1.2，（6分）

∴當y=0.1，x=0.24時，W最小=1.2. （7分）

答：該廠購買這兩種原料最少需要1.2萬元. （8分）

【點評】在聯合運用方程、不等式和函數知識來解決實際問題時，要認真審題，找出表示題目全部含義的數量關系，然后根據不等式（組）確定自變量的范圍，再根據題意建立函數模型，最后在自變量的取值范圍內求函數最值.

例8 （2013·湖南益陽，10分）“二廣”高速在益陽境內的建設正在緊張地進行，現有大量的沙石需要運輸. “益安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石.

（1） 求“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？

（2） 隨著工程的進展，“益安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請你一一寫出.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及不等式的綜合應用，解題關鍵是根據已知條件，尋找到題目中的相等關系和不等關系，再建立方程或不等式模型來求解.（1） 根據“‘益安車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石”組成方程組求解；（2） 利用“‘益安車隊需要一次運輸沙石165噸以上”得出不等式，求出整數解就可以得到所有的購買方案.

解：（1） 設“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車分別有x輛、y輛，由題意，得

x+y=12，

8x+10y=110.（2分）

解得 x=5，

y=7. （4分）

答：“益安”車隊載重量為8噸的卡車有5輛，10噸的卡車有7輛.（5分）

（2） 設載重量為8噸的卡車增加了z輛，由題意，得8（5+z）+10（7+6-z）>165. （7分）

解得z<. ∵z≥0且為整數，∴z=0、1、2；

∴6-z=6、5、4. （8分）

∴車隊共有3種購車方案：

①載重量為8噸的卡車不購買，10噸的卡車購買6輛；

②載重量為8噸的卡車購買1輛，10噸的卡車購買5輛；

③載重量為8噸的卡車購買2輛，10噸的卡車購買4輛. （10分）

【點評】（1） 建立方程或方程組模型，首先應找到題目中的等量關系，并用文字把等量關系寫出來，再把文字用代數式表示，即可列出方程或方程組. （2） 列不等式（組）解應用題的關鍵是根據題意找出題目中的不等關系，再根據相應的關系列出不等式（組）. 要注意通常不等關系的給出總是以“至少”“沒滿”“少于”“不超過”“最大”等關鍵詞語作為標志. 有時在解出不等式（組）之后，還要根據實際情況適當取舍，選出符合要求的答案.

（作者單位：江蘇省興化市第一中學）

所以1

【點評】解決本題也可以借助數軸分析解集的情況，確定a的取值范圍.

例6 （2013·湖北孝感，10分）已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有兩個實數根x1、x2.

（1） 求實數k的取值范圍；

（2） 是否存在實數k使得x1x2-x12-x22≥0成立？若存在，請求出k的值；若不存在，請說明理由.

【分析】本題綜合考查了根的判別式和根與系數的關系，解題的關鍵是利用根的判別式、根與系數的關系和已知條件建立不等式，在解不等式時一定要注意數值的正負與不等號的變化關系.

解：（1） ∵原方程有兩個實數根，

∴[-（2k+1）]2-4（k2+2k）≥0，（2分）

∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0，

∴1-4k≥0，∴k≤. （4分）

∴當k≤時，原方程有兩個實數根. （5分）

（2） 假設存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.

∵x1、x2是原方程的兩根，∴x1+x2=2k+1，x1·x2=k2+2k. （6分）

由x1·x2-x12-x22≥0，3x1·x2-（x1+x2）2≥0，（7分）

∴3（k2+2k）-（2k+1）2≥0，即-（k-1）2≥0，（8分）

∴只有當k=1時，上式才能成立.（9分）

又∵由（1）知k≤，∴不存在實數k使得x1·x2-x12-x22≥0成立. （10分）

【點評】對于存在探究型問題，首先假設條件的存在，然后再通過證明推理及計算，探究自己所假設存在是否與已知條件或推理過程矛盾，若矛盾則假設不成立，否則假設成立. 運用根與系數的關系求某些代數式的值，關鍵是將所求的代數式恒等變形為用x1+x2和x1x2表示的代數式. 基本步驟：第一步：求出x1+x2和x1x2的值；第二步：將所求代數式用x1+x2和x1x2的代數式表示；第三步：將x1+x2和x1x2的值代入求值.

例7 （2013·江蘇無錫，8分）已知甲、乙兩種原料中均含有A元素，其含量及每噸原料的購買單價如下表所示：

已知用甲原料提取每千克A元素要排放廢氣1噸，用乙原料提取每千克A元素要排放廢氣0.5噸. 若某廠要提取A元素20千克，并要求廢氣排放不超過16噸，問：該廠購買這兩種原料的費用最少是多少萬元？

【分析】本題涉及用方程、不等式和一次函數的性質來解決實際問題，由“要提取A元素20千克”可以得到一個方程，由“廢氣排放不超過16噸”可以得到一個不等式，進而可以求出一種原料的取值范圍，再求出購買這兩種原料的費用的函數關系式，即可求出費用的最少值.

解：（1） 設購買甲、乙兩種原料分別為x噸和y噸，則

5%·x·1 000+8%·y·1 000=20，

5%·x·1 000×1+8%·y·1 000×0.5≤16.（2分）

即5x+8y=2，

50x+40y≤16.

∴y≥0.1. （4分）

設購買甲、乙兩種原料所需要的費用為W萬元，則

W=2.5x+6y=2.5×+6y=1+2y≥1.2，（6分）

∴當y=0.1，x=0.24時，W最小=1.2. （7分）

答：該廠購買這兩種原料最少需要1.2萬元. （8分）

【點評】在聯合運用方程、不等式和函數知識來解決實際問題時，要認真審題，找出表示題目全部含義的數量關系，然后根據不等式（組）確定自變量的范圍，再根據題意建立函數模型，最后在自變量的取值范圍內求函數最值.

例8 （2013·湖南益陽，10分）“二廣”高速在益陽境內的建設正在緊張地進行，現有大量的沙石需要運輸. “益安”車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石.

（1） 求“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車各有多少輛？

（2） 隨著工程的進展，“益安”車隊需要一次運輸沙石165噸以上，為了完成任務，準備新增購這兩種卡車共6輛，車隊有多少種購買方案，請你一一寫出.

【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及不等式的綜合應用，解題關鍵是根據已知條件，尋找到題目中的相等關系和不等關系，再建立方程或不等式模型來求解.（1） 根據“‘益安車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛運輸一次能運輸110噸沙石”組成方程組求解；（2） 利用“‘益安車隊需要一次運輸沙石165噸以上”得出不等式，求出整數解就可以得到所有的購買方案.

解：（1） 設“益安”車隊載重量為8噸、10噸的卡車分別有x輛、y輛，由題意，得

x+y=12，

8x+10y=110.（2分）

解得 x=5，

y=7. （4分）

答：“益安”車隊載重量為8噸的卡車有5輛，10噸的卡車有7輛.（5分）

（2） 設載重量為8噸的卡車增加了z輛，由題意，得8（5+z）+10（7+6-z）>165. （7分）

解得z<. ∵z≥0且為整數，∴z=0、1、2；

∴6-z=6、5、4. （8分）

∴車隊共有3種購車方案：

①載重量為8噸的卡車不購買，10噸的卡車購買6輛；

②載重量為8噸的卡車購買1輛，10噸的卡車購買5輛；

③載重量為8噸的卡車購買2輛，10噸的卡車購買4輛. （10分）

【點評】（1） 建立方程或方程組模型，首先應找到題目中的等量關系，并用文字把等量關系寫出來，再把文字用代數式表示，即可列出方程或方程組. （2） 列不等式（組）解應用題的關鍵是根據題意找出題目中的不等關系，再根據相應的關系列出不等式（組）. 要注意通常不等關系的給出總是以“至少”“沒滿”“少于”“不超過”“最大”等關鍵詞語作為標志. 有時在解出不等式（組）之后，還要根據實際情況適當取舍，選出符合要求的答案.

（作者單位：江蘇省興化市第一中學）