辨析平行線的條件與性質

王昌濤

平行線的條件及性質是學習幾何知識的基礎，初學這部分內容時，常常由于內容的相似出現混淆錯用的現象，今天王老師就帶領大家一起走進“平行線”，細致辨析平行線的條件及性質，以期達到不犯錯誤或少犯錯誤的目的.

一、 明確“三線八角”這一前提

平行線的條件與性質都依托于“兩條直線被第三條直線所截”（三線八角）這一基本圖形，因此要掌握平行線條件及性質，必須先弄清楚圖1：直線AB、CD被第三條直線EF所截，形成“三線八角”.

同位角：相同位置的兩個角. 如∠1與∠5分別在交點的左上方，位置相同，所以∠1與∠5是同位角；同理：∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8都是同位角.

內錯角：在兩條直線內部，被截線錯開的兩個角. 如∠3與∠5在AB與CD兩條直線的內部，被截線EF錯開，所以∠3與∠5是內錯角；同理：∠4與∠6也是內錯角.

同旁內角：在兩條直線內部，且在截線同一邊的兩個角. 如∠3與∠6在AB與CD兩條直線的內部，且在截線EF的同一邊，則∠3與∠6是同旁內角；同理：∠4與∠5也是同旁內角.

例1 （課本第7頁練一練1改編）

如圖2所示，∠1的同位角有________，

∠1的內錯角有

___________，

∠1的同旁內角有

_________.

【解析】∠1的兩邊分別是線段DF與BC，若形成“三線八角”，可以抽象出以下圖形：

通過以上圖形可以很清楚地發現：在圖3中∠C是∠1的同位角；圖4中∠EDF是∠1的內錯角；圖5中∠ADF是∠1的內錯角，此時若DF是截線，則∠BDF是∠1的同旁內角，若BC是截線，則∠B是∠1的同旁內角.

二、 分清條件與性質的本質區別

何謂條件？一般地說，圖形滿足這一內容，即可肯定它是什么樣的圖形，叫做圖形的判別條件. 如：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么直線平行. 同樣，內錯角相等、同旁內角互補都是判定兩條直線平行的條件. 這其中同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是“前提”，兩直線平行是“結論”. 通過以上分析得出：平行線的判定條件是通過角的數量關系得到兩直線平行的位置關系，可以形象地用圖6表示：

例2 （2013·湖南永州）如圖7，下列條件中能判斷l1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本題考查了平行線的判定條件，要判斷l1∥l2，首先我們確定截線，若截線為l3，則圖中∠1與∠3是同旁內角，它們互補即∠1+∠3=180°時l1∥l2，所以C選項正確，又因為∠3=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以證明l1∥l2；若截線為l4，圖中∠2與∠4是同旁內角，∠2+∠4=180°時也可判斷l1∥l2.

何謂性質？某個圖形所具有的特征就是圖形的性質. 例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 這就是平行線的一條性質. 同樣，我們還可以得到另外兩條性質：內錯角相等、同旁內角互補. 這其中兩條直線平行是“前提”，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是“結論”. 通過以上分析得出：平行線的性質是由兩直線平行的位置關系得到角之間的數量關系，可以形象地用圖8表示：

例3 （2013·湖北十堰）如圖9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由兩直線平行內錯角相等可知，因為AB∥CD，所以∠B=∠BCD，又因為CE平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行線的判定條件和性質看起來差不多，實際上卻有著本質的區別，判定條件是由角的關系得到平行，而性質是由平行得到角的關系，實際它們之間是互逆的，可以形象地用圖10表示為：

為了方便使用可以簡單概括為：要證平行用條件，已知平行用性質.

三、 靈活運用平行線的條件及性質

在運用平行線的條件及性質證明同一問題時，經常會出現前一步的結論會變成后一步的原因，對這種因果變化，做題時應注意靈活應對，做到以不變應萬變.

例4 （2013·湖北孝感）如圖11，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如圖12，因為∠1=∠2，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行），這是判定平行的條件的應用.

因為a∥b，所以∠3=∠5=40°（兩直線平行，同位角相等），這是平行線的性質的應用.

又因為∠4+∠5=180°，所以∠4=140°.

這道題目體現了平行線條件與性質緊密聯系，第一步推出的結論a∥b，成了第二步證明的原因.

例5 （蘇科版數學教材七年級下冊第40頁第6題改編）如圖13，點D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因為AF∥BC，所以∠2=∠C，理由是兩直線平行內錯角相等；

又因為∠1=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等兩直線平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因為∠3=60°，所以∠ADE=120°，理由是兩直線平行同旁內角互補.

這個題目很好地反映了平行線的判定條件與性質既有著本質的區別，也有著密切的聯系.

（作者單位：青島市嶗山區第三中學）

平行線的條件及性質是學習幾何知識的基礎，初學這部分內容時，常常由于內容的相似出現混淆錯用的現象，今天王老師就帶領大家一起走進“平行線”，細致辨析平行線的條件及性質，以期達到不犯錯誤或少犯錯誤的目的.

一、 明確“三線八角”這一前提

平行線的條件與性質都依托于“兩條直線被第三條直線所截”（三線八角）這一基本圖形，因此要掌握平行線條件及性質，必須先弄清楚圖1：直線AB、CD被第三條直線EF所截，形成“三線八角”.

同位角：相同位置的兩個角. 如∠1與∠5分別在交點的左上方，位置相同，所以∠1與∠5是同位角；同理：∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8都是同位角.

內錯角：在兩條直線內部，被截線錯開的兩個角. 如∠3與∠5在AB與CD兩條直線的內部，被截線EF錯開，所以∠3與∠5是內錯角；同理：∠4與∠6也是內錯角.

同旁內角：在兩條直線內部，且在截線同一邊的兩個角. 如∠3與∠6在AB與CD兩條直線的內部，且在截線EF的同一邊，則∠3與∠6是同旁內角；同理：∠4與∠5也是同旁內角.

例1 （課本第7頁練一練1改編）

如圖2所示，∠1的同位角有________，

∠1的內錯角有

___________，

∠1的同旁內角有

_________.

【解析】∠1的兩邊分別是線段DF與BC，若形成“三線八角”，可以抽象出以下圖形：

通過以上圖形可以很清楚地發現：在圖3中∠C是∠1的同位角；圖4中∠EDF是∠1的內錯角；圖5中∠ADF是∠1的內錯角，此時若DF是截線，則∠BDF是∠1的同旁內角，若BC是截線，則∠B是∠1的同旁內角.

二、 分清條件與性質的本質區別

何謂條件？一般地說，圖形滿足這一內容，即可肯定它是什么樣的圖形，叫做圖形的判別條件. 如：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么直線平行. 同樣，內錯角相等、同旁內角互補都是判定兩條直線平行的條件. 這其中同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是“前提”，兩直線平行是“結論”. 通過以上分析得出：平行線的判定條件是通過角的數量關系得到兩直線平行的位置關系，可以形象地用圖6表示：

例2 （2013·湖南永州）如圖7，下列條件中能判斷l1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本題考查了平行線的判定條件，要判斷l1∥l2，首先我們確定截線，若截線為l3，則圖中∠1與∠3是同旁內角，它們互補即∠1+∠3=180°時l1∥l2，所以C選項正確，又因為∠3=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以證明l1∥l2；若截線為l4，圖中∠2與∠4是同旁內角，∠2+∠4=180°時也可判斷l1∥l2.

何謂性質？某個圖形所具有的特征就是圖形的性質. 例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 這就是平行線的一條性質. 同樣，我們還可以得到另外兩條性質：內錯角相等、同旁內角互補. 這其中兩條直線平行是“前提”，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是“結論”. 通過以上分析得出：平行線的性質是由兩直線平行的位置關系得到角之間的數量關系，可以形象地用圖8表示：

例3 （2013·湖北十堰）如圖9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由兩直線平行內錯角相等可知，因為AB∥CD，所以∠B=∠BCD，又因為CE平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行線的判定條件和性質看起來差不多，實際上卻有著本質的區別，判定條件是由角的關系得到平行，而性質是由平行得到角的關系，實際它們之間是互逆的，可以形象地用圖10表示為：

為了方便使用可以簡單概括為：要證平行用條件，已知平行用性質.

三、 靈活運用平行線的條件及性質

在運用平行線的條件及性質證明同一問題時，經常會出現前一步的結論會變成后一步的原因，對這種因果變化，做題時應注意靈活應對，做到以不變應萬變.

例4 （2013·湖北孝感）如圖11，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如圖12，因為∠1=∠2，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行），這是判定平行的條件的應用.

因為a∥b，所以∠3=∠5=40°（兩直線平行，同位角相等），這是平行線的性質的應用.

又因為∠4+∠5=180°，所以∠4=140°.

這道題目體現了平行線條件與性質緊密聯系，第一步推出的結論a∥b，成了第二步證明的原因.

例5 （蘇科版數學教材七年級下冊第40頁第6題改編）如圖13，點D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因為AF∥BC，所以∠2=∠C，理由是兩直線平行內錯角相等；

又因為∠1=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等兩直線平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因為∠3=60°，所以∠ADE=120°，理由是兩直線平行同旁內角互補.

這個題目很好地反映了平行線的判定條件與性質既有著本質的區別，也有著密切的聯系.

（作者單位：青島市嶗山區第三中學）

平行線的條件及性質是學習幾何知識的基礎，初學這部分內容時，常常由于內容的相似出現混淆錯用的現象，今天王老師就帶領大家一起走進“平行線”，細致辨析平行線的條件及性質，以期達到不犯錯誤或少犯錯誤的目的.

一、 明確“三線八角”這一前提

平行線的條件與性質都依托于“兩條直線被第三條直線所截”（三線八角）這一基本圖形，因此要掌握平行線條件及性質，必須先弄清楚圖1：直線AB、CD被第三條直線EF所截，形成“三線八角”.

同位角：相同位置的兩個角. 如∠1與∠5分別在交點的左上方，位置相同，所以∠1與∠5是同位角；同理：∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8都是同位角.

內錯角：在兩條直線內部，被截線錯開的兩個角. 如∠3與∠5在AB與CD兩條直線的內部，被截線EF錯開，所以∠3與∠5是內錯角；同理：∠4與∠6也是內錯角.

同旁內角：在兩條直線內部，且在截線同一邊的兩個角. 如∠3與∠6在AB與CD兩條直線的內部，且在截線EF的同一邊，則∠3與∠6是同旁內角；同理：∠4與∠5也是同旁內角.

例1 （課本第7頁練一練1改編）

如圖2所示，∠1的同位角有________，

∠1的內錯角有

___________，

∠1的同旁內角有

_________.

【解析】∠1的兩邊分別是線段DF與BC，若形成“三線八角”，可以抽象出以下圖形：

通過以上圖形可以很清楚地發現：在圖3中∠C是∠1的同位角；圖4中∠EDF是∠1的內錯角；圖5中∠ADF是∠1的內錯角，此時若DF是截線，則∠BDF是∠1的同旁內角，若BC是截線，則∠B是∠1的同旁內角.

二、 分清條件與性質的本質區別

何謂條件？一般地說，圖形滿足這一內容，即可肯定它是什么樣的圖形，叫做圖形的判別條件. 如：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么直線平行. 同樣，內錯角相等、同旁內角互補都是判定兩條直線平行的條件. 這其中同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是“前提”，兩直線平行是“結論”. 通過以上分析得出：平行線的判定條件是通過角的數量關系得到兩直線平行的位置關系，可以形象地用圖6表示：

例2 （2013·湖南永州）如圖7，下列條件中能判斷l1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本題考查了平行線的判定條件，要判斷l1∥l2，首先我們確定截線，若截線為l3，則圖中∠1與∠3是同旁內角，它們互補即∠1+∠3=180°時l1∥l2，所以C選項正確，又因為∠3=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以證明l1∥l2；若截線為l4，圖中∠2與∠4是同旁內角，∠2+∠4=180°時也可判斷l1∥l2.

何謂性質？某個圖形所具有的特征就是圖形的性質. 例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 這就是平行線的一條性質. 同樣，我們還可以得到另外兩條性質：內錯角相等、同旁內角互補. 這其中兩條直線平行是“前提”，同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補是“結論”. 通過以上分析得出：平行線的性質是由兩直線平行的位置關系得到角之間的數量關系，可以形象地用圖8表示：

例3 （2013·湖北十堰）如圖9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由兩直線平行內錯角相等可知，因為AB∥CD，所以∠B=∠BCD，又因為CE平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行線的判定條件和性質看起來差不多，實際上卻有著本質的區別，判定條件是由角的關系得到平行，而性質是由平行得到角的關系，實際它們之間是互逆的，可以形象地用圖10表示為：

為了方便使用可以簡單概括為：要證平行用條件，已知平行用性質.

三、 靈活運用平行線的條件及性質

在運用平行線的條件及性質證明同一問題時，經常會出現前一步的結論會變成后一步的原因，對這種因果變化，做題時應注意靈活應對，做到以不變應萬變.

例4 （2013·湖北孝感）如圖11，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如圖12，因為∠1=∠2，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行），這是判定平行的條件的應用.

因為a∥b，所以∠3=∠5=40°（兩直線平行，同位角相等），這是平行線的性質的應用.

又因為∠4+∠5=180°，所以∠4=140°.

這道題目體現了平行線條件與性質緊密聯系，第一步推出的結論a∥b，成了第二步證明的原因.

例5 （蘇科版數學教材七年級下冊第40頁第6題改編）如圖13，點D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因為AF∥BC，所以∠2=∠C，理由是兩直線平行內錯角相等；

又因為∠1=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等兩直線平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因為∠3=60°，所以∠ADE=120°，理由是兩直線平行同旁內角互補.

這個題目很好地反映了平行線的判定條件與性質既有著本質的區別，也有著密切的聯系.

（作者單位：青島市嶗山區第三中學）