辨析平行線的條件與性質(zhì)

王昌濤

平行線的條件及性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，常常由于內(nèi)容的相似出現(xiàn)混淆錯(cuò)用的現(xiàn)象，今天王老師就帶領(lǐng)大家一起走進(jìn)“平行線”，細(xì)致辨析平行線的條件及性質(zhì)，以期達(dá)到不犯錯(cuò)誤或少犯錯(cuò)誤的目的.

一、 明確“三線八角”這一前提

平行線的條件與性質(zhì)都依托于“兩條直線被第三條直線所截”（三線八角）這一基本圖形，因此要掌握平行線條件及性質(zhì)，必須先弄清楚圖1：直線AB、CD被第三條直線EF所截，形成“三線八角”.

同位角：相同位置的兩個(gè)角. 如∠1與∠5分別在交點(diǎn)的左上方，位置相同，所以∠1與∠5是同位角；同理：∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8都是同位角.

內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線內(nèi)部，被截線錯(cuò)開的兩個(gè)角. 如∠3與∠5在AB與CD兩條直線的內(nèi)部，被截線EF錯(cuò)開，所以∠3與∠5是內(nèi)錯(cuò)角；同理：∠4與∠6也是內(nèi)錯(cuò)角.

同旁內(nèi)角：在兩條直線內(nèi)部，且在截線同一邊的兩個(gè)角. 如∠3與∠6在AB與CD兩條直線的內(nèi)部，且在截線EF的同一邊，則∠3與∠6是同旁內(nèi)角；同理：∠4與∠5也是同旁內(nèi)角.

例1 （課本第7頁練一練1改編）

如圖2所示，∠1的同位角有________，

∠1的內(nèi)錯(cuò)角有

___________，

∠1的同旁內(nèi)角有

_________.

【解析】∠1的兩邊分別是線段DF與BC，若形成“三線八角”，可以抽象出以下圖形：

通過以上圖形可以很清楚地發(fā)現(xiàn)：在圖3中∠C是∠1的同位角；圖4中∠EDF是∠1的內(nèi)錯(cuò)角；圖5中∠ADF是∠1的內(nèi)錯(cuò)角，此時(shí)若DF是截線，則∠BDF是∠1的同旁內(nèi)角，若BC是截線，則∠B是∠1的同旁內(nèi)角.

二、 分清條件與性質(zhì)的本質(zhì)區(qū)別

何謂條件？一般地說，圖形滿足這一內(nèi)容，即可肯定它是什么樣的圖形，叫做圖形的判別條件. 如：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么直線平行. 同樣，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)都是判定兩條直線平行的條件. 這其中同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是“前提”，兩直線平行是“結(jié)論”. 通過以上分析得出：平行線的判定條件是通過角的數(shù)量關(guān)系得到兩直線平行的位置關(guān)系，可以形象地用圖6表示：

例2 （2013·湖南永州）如圖7，下列條件中能判斷l(xiāng)1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本題考查了平行線的判定條件，要判斷l(xiāng)1∥l2，首先我們確定截線，若截線為l3，則圖中∠1與∠3是同旁內(nèi)角，它們互補(bǔ)即∠1+∠3=180°時(shí)l1∥l2，所以C選項(xiàng)正確，又因?yàn)椤?=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以證明l1∥l2；若截線為l4，圖中∠2與∠4是同旁內(nèi)角，∠2+∠4=180°時(shí)也可判斷l(xiāng)1∥l2.

何謂性質(zhì)？某個(gè)圖形所具有的特征就是圖形的性質(zhì). 例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 這就是平行線的一條性質(zhì). 同樣，我們還可以得到另外兩條性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ). 這其中兩條直線平行是“前提”，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是“結(jié)論”. 通過以上分析得出：平行線的性質(zhì)是由兩直線平行的位置關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，可以形象地用圖8表示：

例3 （2013·湖北十堰）如圖9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可知，因?yàn)锳B∥CD，所以∠B=∠BCD，又因?yàn)镃E平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行線的判定條件和性質(zhì)看起來差不多，實(shí)際上卻有著本質(zhì)的區(qū)別，判定條件是由角的關(guān)系得到平行，而性質(zhì)是由平行得到角的關(guān)系，實(shí)際它們之間是互逆的，可以形象地用圖10表示為：

為了方便使用可以簡單概括為：要證平行用條件，已知平行用性質(zhì).

三、 靈活運(yùn)用平行線的條件及性質(zhì)

在運(yùn)用平行線的條件及性質(zhì)證明同一問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)前一步的結(jié)論會(huì)變成后一步的原因，對這種因果變化，做題時(shí)應(yīng)注意靈活應(yīng)對，做到以不變應(yīng)萬變.

例4 （2013·湖北孝感）如圖11，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如圖12，因?yàn)椤?=∠2，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行），這是判定平行的條件的應(yīng)用.

因?yàn)閍∥b，所以∠3=∠5=40°（兩直線平行，同位角相等），這是平行線的性質(zhì)的應(yīng)用.

又因?yàn)椤?+∠5=180°，所以∠4=140°.

這道題目體現(xiàn)了平行線條件與性質(zhì)緊密聯(lián)系，第一步推出的結(jié)論a∥b，成了第二步證明的原因.

例5 （蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊第40頁第6題改編）如圖13，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因?yàn)锳F∥BC，所以∠2=∠C，理由是兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；

又因?yàn)椤?=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等兩直線平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因?yàn)椤?=60°，所以∠ADE=120°，理由是兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

這個(gè)題目很好地反映了平行線的判定條件與性質(zhì)既有著本質(zhì)的區(qū)別，也有著密切的聯(lián)系.

（作者單位：青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)）

平行線的條件及性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，常常由于內(nèi)容的相似出現(xiàn)混淆錯(cuò)用的現(xiàn)象，今天王老師就帶領(lǐng)大家一起走進(jìn)“平行線”，細(xì)致辨析平行線的條件及性質(zhì)，以期達(dá)到不犯錯(cuò)誤或少犯錯(cuò)誤的目的.

一、 明確“三線八角”這一前提

平行線的條件與性質(zhì)都依托于“兩條直線被第三條直線所截”（三線八角）這一基本圖形，因此要掌握平行線條件及性質(zhì)，必須先弄清楚圖1：直線AB、CD被第三條直線EF所截，形成“三線八角”.

同位角：相同位置的兩個(gè)角. 如∠1與∠5分別在交點(diǎn)的左上方，位置相同，所以∠1與∠5是同位角；同理：∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8都是同位角.

內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線內(nèi)部，被截線錯(cuò)開的兩個(gè)角. 如∠3與∠5在AB與CD兩條直線的內(nèi)部，被截線EF錯(cuò)開，所以∠3與∠5是內(nèi)錯(cuò)角；同理：∠4與∠6也是內(nèi)錯(cuò)角.

同旁內(nèi)角：在兩條直線內(nèi)部，且在截線同一邊的兩個(gè)角. 如∠3與∠6在AB與CD兩條直線的內(nèi)部，且在截線EF的同一邊，則∠3與∠6是同旁內(nèi)角；同理：∠4與∠5也是同旁內(nèi)角.

例1 （課本第7頁練一練1改編）

如圖2所示，∠1的同位角有________，

∠1的內(nèi)錯(cuò)角有

___________，

∠1的同旁內(nèi)角有

_________.

【解析】∠1的兩邊分別是線段DF與BC，若形成“三線八角”，可以抽象出以下圖形：

通過以上圖形可以很清楚地發(fā)現(xiàn)：在圖3中∠C是∠1的同位角；圖4中∠EDF是∠1的內(nèi)錯(cuò)角；圖5中∠ADF是∠1的內(nèi)錯(cuò)角，此時(shí)若DF是截線，則∠BDF是∠1的同旁內(nèi)角，若BC是截線，則∠B是∠1的同旁內(nèi)角.

二、 分清條件與性質(zhì)的本質(zhì)區(qū)別

何謂條件？一般地說，圖形滿足這一內(nèi)容，即可肯定它是什么樣的圖形，叫做圖形的判別條件. 如：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么直線平行. 同樣，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)都是判定兩條直線平行的條件. 這其中同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是“前提”，兩直線平行是“結(jié)論”. 通過以上分析得出：平行線的判定條件是通過角的數(shù)量關(guān)系得到兩直線平行的位置關(guān)系，可以形象地用圖6表示：

例2 （2013·湖南永州）如圖7，下列條件中能判斷l(xiāng)1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本題考查了平行線的判定條件，要判斷l(xiāng)1∥l2，首先我們確定截線，若截線為l3，則圖中∠1與∠3是同旁內(nèi)角，它們互補(bǔ)即∠1+∠3=180°時(shí)l1∥l2，所以C選項(xiàng)正確，又因?yàn)椤?=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以證明l1∥l2；若截線為l4，圖中∠2與∠4是同旁內(nèi)角，∠2+∠4=180°時(shí)也可判斷l(xiāng)1∥l2.

何謂性質(zhì)？某個(gè)圖形所具有的特征就是圖形的性質(zhì). 例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 這就是平行線的一條性質(zhì). 同樣，我們還可以得到另外兩條性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ). 這其中兩條直線平行是“前提”，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是“結(jié)論”. 通過以上分析得出：平行線的性質(zhì)是由兩直線平行的位置關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，可以形象地用圖8表示：

例3 （2013·湖北十堰）如圖9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可知，因?yàn)锳B∥CD，所以∠B=∠BCD，又因?yàn)镃E平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行線的判定條件和性質(zhì)看起來差不多，實(shí)際上卻有著本質(zhì)的區(qū)別，判定條件是由角的關(guān)系得到平行，而性質(zhì)是由平行得到角的關(guān)系，實(shí)際它們之間是互逆的，可以形象地用圖10表示為：

為了方便使用可以簡單概括為：要證平行用條件，已知平行用性質(zhì).

三、 靈活運(yùn)用平行線的條件及性質(zhì)

在運(yùn)用平行線的條件及性質(zhì)證明同一問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)前一步的結(jié)論會(huì)變成后一步的原因，對這種因果變化，做題時(shí)應(yīng)注意靈活應(yīng)對，做到以不變應(yīng)萬變.

例4 （2013·湖北孝感）如圖11，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如圖12，因?yàn)椤?=∠2，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行），這是判定平行的條件的應(yīng)用.

因?yàn)閍∥b，所以∠3=∠5=40°（兩直線平行，同位角相等），這是平行線的性質(zhì)的應(yīng)用.

又因?yàn)椤?+∠5=180°，所以∠4=140°.

這道題目體現(xiàn)了平行線條件與性質(zhì)緊密聯(lián)系，第一步推出的結(jié)論a∥b，成了第二步證明的原因.

例5 （蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊第40頁第6題改編）如圖13，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因?yàn)锳F∥BC，所以∠2=∠C，理由是兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；

又因?yàn)椤?=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等兩直線平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因?yàn)椤?=60°，所以∠ADE=120°，理由是兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

這個(gè)題目很好地反映了平行線的判定條件與性質(zhì)既有著本質(zhì)的區(qū)別，也有著密切的聯(lián)系.

（作者單位：青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)）

平行線的條件及性質(zhì)是學(xué)習(xí)幾何知識(shí)的基礎(chǔ)，初學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，常常由于內(nèi)容的相似出現(xiàn)混淆錯(cuò)用的現(xiàn)象，今天王老師就帶領(lǐng)大家一起走進(jìn)“平行線”，細(xì)致辨析平行線的條件及性質(zhì)，以期達(dá)到不犯錯(cuò)誤或少犯錯(cuò)誤的目的.

一、 明確“三線八角”這一前提

平行線的條件與性質(zhì)都依托于“兩條直線被第三條直線所截”（三線八角）這一基本圖形，因此要掌握平行線條件及性質(zhì)，必須先弄清楚圖1：直線AB、CD被第三條直線EF所截，形成“三線八角”.

同位角：相同位置的兩個(gè)角. 如∠1與∠5分別在交點(diǎn)的左上方，位置相同，所以∠1與∠5是同位角；同理：∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8都是同位角.

內(nèi)錯(cuò)角：在兩條直線內(nèi)部，被截線錯(cuò)開的兩個(gè)角. 如∠3與∠5在AB與CD兩條直線的內(nèi)部，被截線EF錯(cuò)開，所以∠3與∠5是內(nèi)錯(cuò)角；同理：∠4與∠6也是內(nèi)錯(cuò)角.

同旁內(nèi)角：在兩條直線內(nèi)部，且在截線同一邊的兩個(gè)角. 如∠3與∠6在AB與CD兩條直線的內(nèi)部，且在截線EF的同一邊，則∠3與∠6是同旁內(nèi)角；同理：∠4與∠5也是同旁內(nèi)角.

例1 （課本第7頁練一練1改編）

如圖2所示，∠1的同位角有________，

∠1的內(nèi)錯(cuò)角有

___________，

∠1的同旁內(nèi)角有

_________.

【解析】∠1的兩邊分別是線段DF與BC，若形成“三線八角”，可以抽象出以下圖形：

通過以上圖形可以很清楚地發(fā)現(xiàn)：在圖3中∠C是∠1的同位角；圖4中∠EDF是∠1的內(nèi)錯(cuò)角；圖5中∠ADF是∠1的內(nèi)錯(cuò)角，此時(shí)若DF是截線，則∠BDF是∠1的同旁內(nèi)角，若BC是截線，則∠B是∠1的同旁內(nèi)角.

二、 分清條件與性質(zhì)的本質(zhì)區(qū)別

何謂條件？一般地說，圖形滿足這一內(nèi)容，即可肯定它是什么樣的圖形，叫做圖形的判別條件. 如：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么直線平行. 同樣，內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)都是判定兩條直線平行的條件. 這其中同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是“前提”，兩直線平行是“結(jié)論”. 通過以上分析得出：平行線的判定條件是通過角的數(shù)量關(guān)系得到兩直線平行的位置關(guān)系，可以形象地用圖6表示：

例2 （2013·湖南永州）如圖7，下列條件中能判斷l(xiāng)1∥l2的是（ ）.

A. ∠1=∠2

B. ∠1=∠5

C. ∠1+∠3=180°

D. ∠3=∠5

【解析】本題考查了平行線的判定條件，要判斷l(xiāng)1∥l2，首先我們確定截線，若截線為l3，則圖中∠1與∠3是同旁內(nèi)角，它們互補(bǔ)即∠1+∠3=180°時(shí)l1∥l2，所以C選項(xiàng)正確，又因?yàn)椤?=∠5，所以∠1+∠5=180°也可以證明l1∥l2；若截線為l4，圖中∠2與∠4是同旁內(nèi)角，∠2+∠4=180°時(shí)也可判斷l(xiāng)1∥l2.

何謂性質(zhì)？某個(gè)圖形所具有的特征就是圖形的性質(zhì). 例如：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等. 這就是平行線的一條性質(zhì). 同樣，我們還可以得到另外兩條性質(zhì)：內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ). 這其中兩條直線平行是“前提”，同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)是“結(jié)論”. 通過以上分析得出：平行線的性質(zhì)是由兩直線平行的位置關(guān)系得到角之間的數(shù)量關(guān)系，可以形象地用圖8表示：

例3 （2013·湖北十堰）如圖9，AB∥CD，CE平分∠BCD，∠DCE=18°，則∠B等于（ ）.

A. 18° B. 36° C. 45° D. 54°

【解析】由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可知，因?yàn)锳B∥CD，所以∠B=∠BCD，又因?yàn)镃E平分∠BCD，所以∠BCD=2∠DCE=36°，所以∠B=36°.

基于以上分析可以看出平行線的判定條件和性質(zhì)看起來差不多，實(shí)際上卻有著本質(zhì)的區(qū)別，判定條件是由角的關(guān)系得到平行，而性質(zhì)是由平行得到角的關(guān)系，實(shí)際它們之間是互逆的，可以形象地用圖10表示為：

為了方便使用可以簡單概括為：要證平行用條件，已知平行用性質(zhì).

三、 靈活運(yùn)用平行線的條件及性質(zhì)

在運(yùn)用平行線的條件及性質(zhì)證明同一問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)前一步的結(jié)論會(huì)變成后一步的原因，對這種因果變化，做題時(shí)應(yīng)注意靈活應(yīng)對，做到以不變應(yīng)萬變.

例4 （2013·湖北孝感）如圖11，∠1=∠2，∠3=40°，則∠4等于（ ）.

A. 120° B. 130°

C. 140° D. 40°

【解析】如圖12，因?yàn)椤?=∠2，所以a∥b（同位角相等，兩直線平行），這是判定平行的條件的應(yīng)用.

因?yàn)閍∥b，所以∠3=∠5=40°（兩直線平行，同位角相等），這是平行線的性質(zhì)的應(yīng)用.

又因?yàn)椤?+∠5=180°，所以∠4=140°.

這道題目體現(xiàn)了平行線條件與性質(zhì)緊密聯(lián)系，第一步推出的結(jié)論a∥b，成了第二步證明的原因.

例5 （蘇科版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊第40頁第6題改編）如圖13，點(diǎn)D、E分別在AB、BC上，AF∥BC，∠1=∠2，∠3= 60°，求∠ADE的大小.

【解析】因?yàn)锳F∥BC，所以∠2=∠C，理由是兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等；

又因?yàn)椤?=∠2，所以∠1=∠C，所以DE∥AC，理由是同位角相等兩直線平行；

所以∠3+∠ADE=180°，因?yàn)椤?=60°，所以∠ADE=120°，理由是兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ).

這個(gè)題目很好地反映了平行線的判定條件與性質(zhì)既有著本質(zhì)的區(qū)別，也有著密切的聯(lián)系.

（作者單位：青島市嶗山區(qū)第三中學(xué)）