多元角度 尋求巧解

徐秀峰

數學能力的提高離不開做題，但當做的題目達到一定的數量之后，決定做題效果的關鍵因素就不再是題目的數量，而在于題目的質量和處理水平. 在復習中，解題時要注意從多角度思考，尋找問題的多種解法，并進行總結反思，形成解題活動經驗，這樣在中考中就可以運用這些解題活動經驗指導我們的解題活動，進而快速地尋找到解決有關問題的最佳途徑.這樣的復習才是高效的.

例1 （2013·江蘇南京）已知，如圖1所示的圖形的面積為24，根據圖中的條件，可列出方程：______.

【解析】本題盡管是一道“小題”，但它“小題大做”，能充分考查不同層次考生的思維水平和數學思想方法的應用能力. 事實上，題目給出已知圖形的面積為24，這使許多考生想到的是如何把這個圖形分割為幾個規則圖形來計算，于是得到了圖2-圖4的分割方法，應該說這是一般層次的思路；也有考生考慮到計算的簡捷性，采用先割后補的做法，得到圖5和圖6，應該說這是較高層次的思路；如果考生具有較強的數感和符號意識，有一定的幾何直觀能力，就會由殘缺的大正方形想到補“殘”，“無中生有”，補出一個小正方形，從而得到圖7，應該說這是一種創造性的思路. 在每一種思路下得到的方程的簡繁程度是一目了然的，因此給出的眾多答案可以把不同層次考生的思維層次充分地映射出來，所以說，本題是題目小，功能大.

例2 （2013·四川樂山）已知關于x、y的方程組x-2y=m，

2x+3y=2m+4 ①

②的解滿足不等式組3x+y≤0，

x+5y>0，求滿足條件的m的整數值.

【解析】看到這個題目，你怎么想？解方程組求出x和y（用m表示），再代入不等式組得到關于m的不等式組，求出m的取值范圍，得到滿足條件的m的整數值——太煩了！若能注意到3x+y可以由①+②得到，x+5y可以由②-①得到，解題過程就十分簡捷了！事實上，由①+②得3x+y=3m+4，由②-①得x+5y=m+4，代入不等式組有3m+4≤0，

m+4>0.解得-4

例3 （2012·湖北孝感）已知關于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 若x1+x2=x1x2-1，求k的值.

【解析】（1） 由方程有兩個實數根，可得Δ≥0，即[-2（k-1）]2-4k2≥0，進而求出k≤.

（2） 已知條件中含有絕對值，因此要根據絕對值的意義，通過分類去掉絕對值符號，再根據一元二次方程根與系數的關系，將兩根和x1+x2與兩根積x1x2用含有k的代數式表示出來，將其代入即可求得k的取值范圍. 依題意，x1+x2=2（k-1），x1x2=k2. ①當x1+x2≥0時，有x1+x2=x1x2-1，即2（k-1）=k2-1，解得k1=k2=1，∵k≤，∴k1=k2=1不合題意，舍去；②x1+x2<0時，則有x1+x2=-（x1x2-1），即2（k-1）=-（k2-1），解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3. 綜合①、②可知k=-3. 其實，從避免分類的角度思考，可以簡化解題過程. 結合（1）可知x1+x2=2（k-1）<0，所以可以直接應用絕對值的性質去掉絕對值符號，而不需要分類討論，進而：由（1）可知k≤，∴2（k-1）<0，即x1+x2<0，∴-2（k-1）=k2-1，解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3.

例4 （2013·山東日照）甲計劃用若干個工作日完成某項工作，從第三個工作日起，乙加入此項工作，且甲、乙兩人工作效率相同，結果提前3天完成任務，則甲計劃完成此項工作的天數是（ ）.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【解析】常規解法是設甲計劃完成此項工作的天數為x，由題意可得+=1，經檢驗x=8是原方程的根，且符合題意，所以選A. 如果你注意到“甲、乙兩人工效相同”，甲少做3天的工作量等于乙做（x-5）天的工作量，就會發現有更簡捷的方程：3=x

-5，答案便唾手可得.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）

數學能力的提高離不開做題，但當做的題目達到一定的數量之后，決定做題效果的關鍵因素就不再是題目的數量，而在于題目的質量和處理水平. 在復習中，解題時要注意從多角度思考，尋找問題的多種解法，并進行總結反思，形成解題活動經驗，這樣在中考中就可以運用這些解題活動經驗指導我們的解題活動，進而快速地尋找到解決有關問題的最佳途徑.這樣的復習才是高效的.

例1 （2013·江蘇南京）已知，如圖1所示的圖形的面積為24，根據圖中的條件，可列出方程：______.

【解析】本題盡管是一道“小題”，但它“小題大做”，能充分考查不同層次考生的思維水平和數學思想方法的應用能力. 事實上，題目給出已知圖形的面積為24，這使許多考生想到的是如何把這個圖形分割為幾個規則圖形來計算，于是得到了圖2-圖4的分割方法，應該說這是一般層次的思路；也有考生考慮到計算的簡捷性，采用先割后補的做法，得到圖5和圖6，應該說這是較高層次的思路；如果考生具有較強的數感和符號意識，有一定的幾何直觀能力，就會由殘缺的大正方形想到補“殘”，“無中生有”，補出一個小正方形，從而得到圖7，應該說這是一種創造性的思路. 在每一種思路下得到的方程的簡繁程度是一目了然的，因此給出的眾多答案可以把不同層次考生的思維層次充分地映射出來，所以說，本題是題目小，功能大.

例2 （2013·四川樂山）已知關于x、y的方程組x-2y=m，

2x+3y=2m+4 ①

②的解滿足不等式組3x+y≤0，

x+5y>0，求滿足條件的m的整數值.

【解析】看到這個題目，你怎么想？解方程組求出x和y（用m表示），再代入不等式組得到關于m的不等式組，求出m的取值范圍，得到滿足條件的m的整數值——太煩了！若能注意到3x+y可以由①+②得到，x+5y可以由②-①得到，解題過程就十分簡捷了！事實上，由①+②得3x+y=3m+4，由②-①得x+5y=m+4，代入不等式組有3m+4≤0，

m+4>0.解得-4

例3 （2012·湖北孝感）已知關于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 若x1+x2=x1x2-1，求k的值.

【解析】（1） 由方程有兩個實數根，可得Δ≥0，即[-2（k-1）]2-4k2≥0，進而求出k≤.

（2） 已知條件中含有絕對值，因此要根據絕對值的意義，通過分類去掉絕對值符號，再根據一元二次方程根與系數的關系，將兩根和x1+x2與兩根積x1x2用含有k的代數式表示出來，將其代入即可求得k的取值范圍. 依題意，x1+x2=2（k-1），x1x2=k2. ①當x1+x2≥0時，有x1+x2=x1x2-1，即2（k-1）=k2-1，解得k1=k2=1，∵k≤，∴k1=k2=1不合題意，舍去；②x1+x2<0時，則有x1+x2=-（x1x2-1），即2（k-1）=-（k2-1），解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3. 綜合①、②可知k=-3. 其實，從避免分類的角度思考，可以簡化解題過程. 結合（1）可知x1+x2=2（k-1）<0，所以可以直接應用絕對值的性質去掉絕對值符號，而不需要分類討論，進而：由（1）可知k≤，∴2（k-1）<0，即x1+x2<0，∴-2（k-1）=k2-1，解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3.

例4 （2013·山東日照）甲計劃用若干個工作日完成某項工作，從第三個工作日起，乙加入此項工作，且甲、乙兩人工作效率相同，結果提前3天完成任務，則甲計劃完成此項工作的天數是（ ）.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【解析】常規解法是設甲計劃完成此項工作的天數為x，由題意可得+=1，經檢驗x=8是原方程的根，且符合題意，所以選A. 如果你注意到“甲、乙兩人工效相同”，甲少做3天的工作量等于乙做（x-5）天的工作量，就會發現有更簡捷的方程：3=x

-5，答案便唾手可得.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）

數學能力的提高離不開做題，但當做的題目達到一定的數量之后，決定做題效果的關鍵因素就不再是題目的數量，而在于題目的質量和處理水平. 在復習中，解題時要注意從多角度思考，尋找問題的多種解法，并進行總結反思，形成解題活動經驗，這樣在中考中就可以運用這些解題活動經驗指導我們的解題活動，進而快速地尋找到解決有關問題的最佳途徑.這樣的復習才是高效的.

例1 （2013·江蘇南京）已知，如圖1所示的圖形的面積為24，根據圖中的條件，可列出方程：______.

【解析】本題盡管是一道“小題”，但它“小題大做”，能充分考查不同層次考生的思維水平和數學思想方法的應用能力. 事實上，題目給出已知圖形的面積為24，這使許多考生想到的是如何把這個圖形分割為幾個規則圖形來計算，于是得到了圖2-圖4的分割方法，應該說這是一般層次的思路；也有考生考慮到計算的簡捷性，采用先割后補的做法，得到圖5和圖6，應該說這是較高層次的思路；如果考生具有較強的數感和符號意識，有一定的幾何直觀能力，就會由殘缺的大正方形想到補“殘”，“無中生有”，補出一個小正方形，從而得到圖7，應該說這是一種創造性的思路. 在每一種思路下得到的方程的簡繁程度是一目了然的，因此給出的眾多答案可以把不同層次考生的思維層次充分地映射出來，所以說，本題是題目小，功能大.

例2 （2013·四川樂山）已知關于x、y的方程組x-2y=m，

2x+3y=2m+4 ①

②的解滿足不等式組3x+y≤0，

x+5y>0，求滿足條件的m的整數值.

【解析】看到這個題目，你怎么想？解方程組求出x和y（用m表示），再代入不等式組得到關于m的不等式組，求出m的取值范圍，得到滿足條件的m的整數值——太煩了！若能注意到3x+y可以由①+②得到，x+5y可以由②-①得到，解題過程就十分簡捷了！事實上，由①+②得3x+y=3m+4，由②-①得x+5y=m+4，代入不等式組有3m+4≤0，

m+4>0.解得-4

例3 （2012·湖北孝感）已知關于x的方程x2-2（k-1）x+k2=0有兩個實數根x1，x2.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 若x1+x2=x1x2-1，求k的值.

【解析】（1） 由方程有兩個實數根，可得Δ≥0，即[-2（k-1）]2-4k2≥0，進而求出k≤.

（2） 已知條件中含有絕對值，因此要根據絕對值的意義，通過分類去掉絕對值符號，再根據一元二次方程根與系數的關系，將兩根和x1+x2與兩根積x1x2用含有k的代數式表示出來，將其代入即可求得k的取值范圍. 依題意，x1+x2=2（k-1），x1x2=k2. ①當x1+x2≥0時，有x1+x2=x1x2-1，即2（k-1）=k2-1，解得k1=k2=1，∵k≤，∴k1=k2=1不合題意，舍去；②x1+x2<0時，則有x1+x2=-（x1x2-1），即2（k-1）=-（k2-1），解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3. 綜合①、②可知k=-3. 其實，從避免分類的角度思考，可以簡化解題過程. 結合（1）可知x1+x2=2（k-1）<0，所以可以直接應用絕對值的性質去掉絕對值符號，而不需要分類討論，進而：由（1）可知k≤，∴2（k-1）<0，即x1+x2<0，∴-2（k-1）=k2-1，解得k1=1，k2=-3. ∵k≤，∴k=-3.

例4 （2013·山東日照）甲計劃用若干個工作日完成某項工作，從第三個工作日起，乙加入此項工作，且甲、乙兩人工作效率相同，結果提前3天完成任務，則甲計劃完成此項工作的天數是（ ）.

A. 8 B. 7 C. 6 D. 5

【解析】常規解法是設甲計劃完成此項工作的天數為x，由題意可得+=1，經檢驗x=8是原方程的根，且符合題意，所以選A. 如果你注意到“甲、乙兩人工效相同”，甲少做3天的工作量等于乙做（x-5）天的工作量，就會發現有更簡捷的方程：3=x

-5，答案便唾手可得.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）