巧用數(shù)學(xué)思想確定不等式（組）中的字母系數(shù)

杭永根

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是解題的銳利武器.在解決不等式（組）的有關(guān)問題時，常需要應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，主要歸納為以下幾類.

一、 轉(zhuǎn)化思想

例1 （2013·山東濟寧）已知ab=4，若

-2≤b≤-1，則a的取值范圍是（ ）.

A. a≥-4 B. a≥-2

C. -4≤a≤-1 D. -4≤a≤-2

【解析】已知條件可以轉(zhuǎn)化為b=，將它代入不等式-2≤b≤-1，有-2≤≤-1，解這個不等式得-4≤a≤-2，∴選D.

二、 方程思想

例2 （2013·湖北鄂州）若不等式組2x-b≥0

x+a≤0，①

②的解集為3≤x≤4，則不等式ax+b<0的解集為______.

【解析】解①得x≥，解②得x≤-a，所以這個不等式組的解集為≤x≤-a. 而這個解集就是3≤x≤4，∴=3，-a=4，∴b=6，a=-4，∴-4x+6<0，∴x>.

三、 分類思想

例3 已知不等式（x-5）-1>（ax+2）的解集是x>，求a的取值范圍.

【解析】原不等式可轉(zhuǎn)化為（1-a）x>9. 由于x的系數(shù)（1-a）的正負性不確定，所以要分類討論：當(dāng)1-a=0時，不等式無解；當(dāng)1-a<0時，不等式的解集為x<，但不等式的解集為x>，矛盾；當(dāng)1-a>0時，不等式的解集為x>，而不等式的解集是x>，所以=，解得a=-17.

四、 逆向思想

例4 已知關(guān)于x的不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰好是1，2，3，那么a的取值范圍是__________.

【解析】由3x-a≤0，得x≤，其正整數(shù)解恰好是1、2、3，直接思考較困難，從反面思考：當(dāng)≥4時，它的正整數(shù)解為1，2，3，4，…，不符合要求；當(dāng)<3時，它的正整數(shù)解為1，2，也不符合要求；由此3≤<4，解得9≤a<12.

五、 數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2011·山東聊城）已知關(guān)于x的不等式組x-a>0，

1-x>0的整數(shù)解共有3個，則a的取值范圍是______.

【解析】解x-a>0，

1-x>0.得x<1，

x>a .由于它有解，所以必可寫成a

數(shù)學(xué)思想方法能有效地幫助你解決問題，所以在復(fù)習(xí)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)、提煉與應(yīng)用，不斷提高自己的思維水平.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是解題的銳利武器.在解決不等式（組）的有關(guān)問題時，常需要應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，主要歸納為以下幾類.

一、 轉(zhuǎn)化思想

例1 （2013·山東濟寧）已知ab=4，若

-2≤b≤-1，則a的取值范圍是（ ）.

A. a≥-4 B. a≥-2

C. -4≤a≤-1 D. -4≤a≤-2

【解析】已知條件可以轉(zhuǎn)化為b=，將它代入不等式-2≤b≤-1，有-2≤≤-1，解這個不等式得-4≤a≤-2，∴選D.

二、 方程思想

例2 （2013·湖北鄂州）若不等式組2x-b≥0

x+a≤0，①

②的解集為3≤x≤4，則不等式ax+b<0的解集為______.

【解析】解①得x≥，解②得x≤-a，所以這個不等式組的解集為≤x≤-a. 而這個解集就是3≤x≤4，∴=3，-a=4，∴b=6，a=-4，∴-4x+6<0，∴x>.

三、 分類思想

例3 已知不等式（x-5）-1>（ax+2）的解集是x>，求a的取值范圍.

【解析】原不等式可轉(zhuǎn)化為（1-a）x>9. 由于x的系數(shù)（1-a）的正負性不確定，所以要分類討論：當(dāng)1-a=0時，不等式無解；當(dāng)1-a<0時，不等式的解集為x<，但不等式的解集為x>，矛盾；當(dāng)1-a>0時，不等式的解集為x>，而不等式的解集是x>，所以=，解得a=-17.

四、 逆向思想

例4 已知關(guān)于x的不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰好是1，2，3，那么a的取值范圍是__________.

【解析】由3x-a≤0，得x≤，其正整數(shù)解恰好是1、2、3，直接思考較困難，從反面思考：當(dāng)≥4時，它的正整數(shù)解為1，2，3，4，…，不符合要求；當(dāng)<3時，它的正整數(shù)解為1，2，也不符合要求；由此3≤<4，解得9≤a<12.

五、 數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2011·山東聊城）已知關(guān)于x的不等式組x-a>0，

1-x>0的整數(shù)解共有3個，則a的取值范圍是______.

【解析】解x-a>0，

1-x>0.得x<1，

x>a .由于它有解，所以必可寫成a

數(shù)學(xué)思想方法能有效地幫助你解決問題，所以在復(fù)習(xí)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)、提煉與應(yīng)用，不斷提高自己的思維水平.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)）

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，是解題的銳利武器.在解決不等式（組）的有關(guān)問題時，常需要應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，主要歸納為以下幾類.

一、 轉(zhuǎn)化思想

例1 （2013·山東濟寧）已知ab=4，若

-2≤b≤-1，則a的取值范圍是（ ）.

A. a≥-4 B. a≥-2

C. -4≤a≤-1 D. -4≤a≤-2

【解析】已知條件可以轉(zhuǎn)化為b=，將它代入不等式-2≤b≤-1，有-2≤≤-1，解這個不等式得-4≤a≤-2，∴選D.

二、 方程思想

例2 （2013·湖北鄂州）若不等式組2x-b≥0

x+a≤0，①

②的解集為3≤x≤4，則不等式ax+b<0的解集為______.

【解析】解①得x≥，解②得x≤-a，所以這個不等式組的解集為≤x≤-a. 而這個解集就是3≤x≤4，∴=3，-a=4，∴b=6，a=-4，∴-4x+6<0，∴x>.

三、 分類思想

例3 已知不等式（x-5）-1>（ax+2）的解集是x>，求a的取值范圍.

【解析】原不等式可轉(zhuǎn)化為（1-a）x>9. 由于x的系數(shù)（1-a）的正負性不確定，所以要分類討論：當(dāng)1-a=0時，不等式無解；當(dāng)1-a<0時，不等式的解集為x<，但不等式的解集為x>，矛盾；當(dāng)1-a>0時，不等式的解集為x>，而不等式的解集是x>，所以=，解得a=-17.

四、 逆向思想

例4 已知關(guān)于x的不等式3x-a≤0的正整數(shù)解恰好是1，2，3，那么a的取值范圍是__________.

【解析】由3x-a≤0，得x≤，其正整數(shù)解恰好是1、2、3，直接思考較困難，從反面思考：當(dāng)≥4時，它的正整數(shù)解為1，2，3，4，…，不符合要求；當(dāng)<3時，它的正整數(shù)解為1，2，也不符合要求；由此3≤<4，解得9≤a<12.

五、 數(shù)形結(jié)合思想

例5 （2011·山東聊城）已知關(guān)于x的不等式組x-a>0，

1-x>0的整數(shù)解共有3個，則a的取值范圍是______.

【解析】解x-a>0，

1-x>0.得x<1，

x>a .由于它有解，所以必可寫成a

數(shù)學(xué)思想方法能有效地幫助你解決問題，所以在復(fù)習(xí)中要重視數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)、提煉與應(yīng)用，不斷提高自己的思維水平.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學(xué)）