一道課本習題的演變與拓展

王華君

【課本原題】學校生物課外活動小組要在兔舍外面開辟一個面積為20 m2的長方形活動場地. 它的一邊靠墻，其余三邊利用長13 m的舊圍欄. 已知兔舍墻面寬6 m. 問圍成長方形的長和寬各是多少？（蘇科版數學教材九年級上冊第102頁第9題）

這個問題的解答比較容易，請自己完成.

【演變過程】將課本中的這道習題變換一下情境，即將“在兔舍外面開辟一個長方形活動場地”置換為“在校園里利用圍墻的一段圍成一個矩形花園”，將“兔舍墻面寬6 m”改為“校園圍墻最長可利用25 m”，將“長13 m的舊圍欄”置換為“50 m長的墻的材料”，面積由“20 m2”改為“300 m2”，即可得到下列中考題.

【考題在線】（2012·湖南湘潭）如圖1，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25 m），現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2.

【思路分析】根據可以砌50 m長的墻的材料，即總長度是50 m，設AB=x m，則BC=（50-2x） m，再根據矩形面積公式列一元二次方程求解即可.

【滿分解答】設AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當x1=10時，BC=50-2x=30>25（舍去）；當x2=15時，BC=50-2x=20<25（符合要求）. 故可圍成AB長為15米，BC為20米的矩形.

【拓展變式】對上述問題中長方形的個數、形狀和可利用的墻長進行變換，可得到許多新問題：

變式1：某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD，現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2. 如果圍墻MN最長可利用a m，圍成長方形的長和寬各是多少？

【思路點撥】先用上述試題的解法求出AB和BC的長，再結合圍墻MN最長可利用的長度a m的變化來確定問題的解的情況：當a≥30時，問題有兩解；當20≤a<30時，問題只有一解；當a<20時，問題無解.

變式2：如圖2，要建一個長方形養雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養雞場，設它的長度為x m.

（1） 要使雞場面積最大，雞場長度應為多少？

（2） 如果中間有n（n是大于1的整數）道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場長應為多少？

比較（1）（2）的結果，你能得到什么結論？

【思路點撥】（1） 設雞場的長為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構造二次函數，再用配方法求出二次函數取最大值時雞場的長度；（2） 設雞場的長為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構造二次函數，再用配方法求出二次函數取最大值時雞場的長度. 觀察（1）、（2）可知，要使雞場面積最大，它的長與n無關，總等于籬笆總長的一半.

變式3：如圖3，有一面積為150 m2的半圓形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），半圓弧用竹籬笆圍成，問竹籬笆的長度是多少m？

【思路點撥】設半圓的半徑為r米，可用半圓的面積公式求出r，檢驗2r是否小于18，再求出半圓周長，即得竹籬笆的長度.

【參考答案】

變式1：設AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當x=10時，BC=30；當x=15時，BC=20. 所以，當a≥30時有兩解，即可圍成AB長為10米，BC為30米或AB長為15米，BC為20米的矩形；當20≤a<30時，只有一解：可圍成AB長為15米，BC為20米的矩形；當a<20時，問題無解.

變式2：（1） 設雞場的長為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當x=25 m時，雞場面積最大；（2） 設雞場的長為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當x=25 m時，雞場面積最大. 由（1）、（2）的結果可以得出結論：不論雞場中間有幾道隔墻，要使雞場面積最大，它的長總等于籬笆總長的一半.

變式3：設半圓的半徑為r米，則有πr2=150，解得r=，故竹籬笆的長度為πr=10（m）.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）

【課本原題】學校生物課外活動小組要在兔舍外面開辟一個面積為20 m2的長方形活動場地. 它的一邊靠墻，其余三邊利用長13 m的舊圍欄. 已知兔舍墻面寬6 m. 問圍成長方形的長和寬各是多少？（蘇科版數學教材九年級上冊第102頁第9題）

這個問題的解答比較容易，請自己完成.

【演變過程】將課本中的這道習題變換一下情境，即將“在兔舍外面開辟一個長方形活動場地”置換為“在校園里利用圍墻的一段圍成一個矩形花園”，將“兔舍墻面寬6 m”改為“校園圍墻最長可利用25 m”，將“長13 m的舊圍欄”置換為“50 m長的墻的材料”，面積由“20 m2”改為“300 m2”，即可得到下列中考題.

【考題在線】（2012·湖南湘潭）如圖1，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25 m），現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2.

【思路分析】根據可以砌50 m長的墻的材料，即總長度是50 m，設AB=x m，則BC=（50-2x） m，再根據矩形面積公式列一元二次方程求解即可.

【滿分解答】設AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當x1=10時，BC=50-2x=30>25（舍去）；當x2=15時，BC=50-2x=20<25（符合要求）. 故可圍成AB長為15米，BC為20米的矩形.

【拓展變式】對上述問題中長方形的個數、形狀和可利用的墻長進行變換，可得到許多新問題：

變式1：某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD，現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2. 如果圍墻MN最長可利用a m，圍成長方形的長和寬各是多少？

【思路點撥】先用上述試題的解法求出AB和BC的長，再結合圍墻MN最長可利用的長度a m的變化來確定問題的解的情況：當a≥30時，問題有兩解；當20≤a<30時，問題只有一解；當a<20時，問題無解.

變式2：如圖2，要建一個長方形養雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養雞場，設它的長度為x m.

（1） 要使雞場面積最大，雞場長度應為多少？

（2） 如果中間有n（n是大于1的整數）道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場長應為多少？

比較（1）（2）的結果，你能得到什么結論？

【思路點撥】（1） 設雞場的長為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構造二次函數，再用配方法求出二次函數取最大值時雞場的長度；（2） 設雞場的長為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構造二次函數，再用配方法求出二次函數取最大值時雞場的長度. 觀察（1）、（2）可知，要使雞場面積最大，它的長與n無關，總等于籬笆總長的一半.

變式3：如圖3，有一面積為150 m2的半圓形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），半圓弧用竹籬笆圍成，問竹籬笆的長度是多少m？

【思路點撥】設半圓的半徑為r米，可用半圓的面積公式求出r，檢驗2r是否小于18，再求出半圓周長，即得竹籬笆的長度.

【參考答案】

變式1：設AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當x=10時，BC=30；當x=15時，BC=20. 所以，當a≥30時有兩解，即可圍成AB長為10米，BC為30米或AB長為15米，BC為20米的矩形；當20≤a<30時，只有一解：可圍成AB長為15米，BC為20米的矩形；當a<20時，問題無解.

變式2：（1） 設雞場的長為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當x=25 m時，雞場面積最大；（2） 設雞場的長為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當x=25 m時，雞場面積最大. 由（1）、（2）的結果可以得出結論：不論雞場中間有幾道隔墻，要使雞場面積最大，它的長總等于籬笆總長的一半.

變式3：設半圓的半徑為r米，則有πr2=150，解得r=，故竹籬笆的長度為πr=10（m）.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）

【課本原題】學校生物課外活動小組要在兔舍外面開辟一個面積為20 m2的長方形活動場地. 它的一邊靠墻，其余三邊利用長13 m的舊圍欄. 已知兔舍墻面寬6 m. 問圍成長方形的長和寬各是多少？（蘇科版數學教材九年級上冊第102頁第9題）

這個問題的解答比較容易，請自己完成.

【演變過程】將課本中的這道習題變換一下情境，即將“在兔舍外面開辟一個長方形活動場地”置換為“在校園里利用圍墻的一段圍成一個矩形花園”，將“兔舍墻面寬6 m”改為“校園圍墻最長可利用25 m”，將“長13 m的舊圍欄”置換為“50 m長的墻的材料”，面積由“20 m2”改為“300 m2”，即可得到下列中考題.

【考題在線】（2012·湖南湘潭）如圖1，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25 m），現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2.

【思路分析】根據可以砌50 m長的墻的材料，即總長度是50 m，設AB=x m，則BC=（50-2x） m，再根據矩形面積公式列一元二次方程求解即可.

【滿分解答】設AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當x1=10時，BC=50-2x=30>25（舍去）；當x2=15時，BC=50-2x=20<25（符合要求）. 故可圍成AB長為15米，BC為20米的矩形.

【拓展變式】對上述問題中長方形的個數、形狀和可利用的墻長進行變換，可得到許多新問題：

變式1：某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD，現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，試設計一種砌法，使矩形花園的面積為300 m2. 如果圍墻MN最長可利用a m，圍成長方形的長和寬各是多少？

【思路點撥】先用上述試題的解法求出AB和BC的長，再結合圍墻MN最長可利用的長度a m的變化來確定問題的解的情況：當a≥30時，問題有兩解；當20≤a<30時，問題只有一解；當a<20時，問題無解.

變式2：如圖2，要建一個長方形養雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養雞場，設它的長度為x m.

（1） 要使雞場面積最大，雞場長度應為多少？

（2） 如果中間有n（n是大于1的整數）道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場長應為多少？

比較（1）（2）的結果，你能得到什么結論？

【思路點撥】（1） 設雞場的長為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構造二次函數，再用配方法求出二次函數取最大值時雞場的長度；（2） 設雞場的長為x m，則寬為（50-x） m，利用矩形面積公式構造二次函數，再用配方法求出二次函數取最大值時雞場的長度. 觀察（1）、（2）可知，要使雞場面積最大，它的長與n無關，總等于籬笆總長的一半.

變式3：如圖3，有一面積為150 m2的半圓形雞場，雞場的一邊靠墻（墻長18 m），半圓弧用竹籬笆圍成，問竹籬笆的長度是多少m？

【思路點撥】設半圓的半徑為r米，可用半圓的面積公式求出r，檢驗2r是否小于18，再求出半圓周長，即得竹籬笆的長度.

【參考答案】

變式1：設AB=x m，則BC=（50-2x） m. 根據題意可得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15. 當x=10時，BC=30；當x=15時，BC=20. 所以，當a≥30時有兩解，即可圍成AB長為10米，BC為30米或AB長為15米，BC為20米的矩形；當20≤a<30時，只有一解：可圍成AB長為15米，BC為20米的矩形；當a<20時，問題無解.

變式2：（1） 設雞場的長為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當x=25 m時，雞場面積最大；（2） 設雞場的長為x m，面積為y m2，則寬為（50-x） m，y=x×（50-x）=-（x-25）2+，所以當x=25 m時，雞場面積最大. 由（1）、（2）的結果可以得出結論：不論雞場中間有幾道隔墻，要使雞場面積最大，它的長總等于籬笆總長的一半.

變式3：設半圓的半徑為r米，則有πr2=150，解得r=，故竹籬笆的長度為πr=10（m）.

（作者單位：江蘇省興化市戴澤初級中學）