“方程（組）與不等式（組）”復習專題

王曉蘭

1. 設A=，B=+1，當x為何值時，A與B的值相等？

2. 解不等式組

+6≥x， ①

4-5（x-2）<8-2x. ②

并用數軸表示出不等式組的解集，寫出該不等式組的整數解.

3. 若0是關于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求實數m的值，并求此方程的解.

4. 試確定實數a的取值范圍，使不等式組

+>0，

x

+

>（x+1）+a恰有兩個整數解.

5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值.

6. 小林準備進行如下操作實驗：把一根長為40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形.

（1） 要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2，小林該怎么剪？

（2） 小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2.”他的說法對嗎？請說明理由.

7. 某街道改建工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的；若由甲隊先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.

（1） 求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？

（2） 已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元，乙隊每天的施工費用為0.56萬元.工程預算的施工費用為50萬元.為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程，則工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由.

8. 某市一班級到畢業時共結余經費1 800元，班委會決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀念品，其余資金用于在畢業晚會上給50位同學每人購買一件文化衫或一本相冊作為紀念品. 已知每件文化衫比每本相冊貴9元，用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊.

（1） 求每件文化衫和每本相冊的價格分別為多少元？

（2） 有幾種購買文化衫和相冊的方案？哪種方案用于購買老師紀念品的資金更充足？

參考答案

1. 當A=B時，=+1，方程兩邊同時乘（x+1）（x-1），得x（x+1）=3+（x+1）（x-1），解得x=2. 檢驗：當x=2時，（x+1）（x-1）=3≠0，∴x=2是分式方程的根.

2. 由①式得x≤7，由②式得x>2，∴原不等式組的解集為2

3. 將x=0代入已知方程有m2+2m-8=0，解這個一元二次方程得：m1=2，m2=-4. 當m=2時，原方程為3x=0，此時方程只有一個解，解為x=0；當m=-4時，原方程為-6x2+3x=0，解此方程得：x1=0，x2=，即此時方程有兩個解，解為x1=0，x2=.

4. 由不等式+>0兩邊同乘6得3x+2（x+1）>0，可以求出x>-，由不等式x+>（x+1）+a兩邊都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a，可以解出x<2a，所以不等式組的解集為-

5. （1） k<4；（2） m=0或-. 提示：（1） 由Δ>0求出k<4；（2） 滿足k<4的最大整數是3，解方程x2-4x+3=0得x1=1，x2=3，分別代入x2+mx-1=0得m=0或-.

6. （1） 設其中一個正方形的邊長為x cm，則另一個正方形的邊長為（10-x） cm. 由題意得x2+（10-x）2=58. 解得x1=3，x2=7. 則周長分別為4×3=12，4×7=28. 所以小林應把繩子剪成12 cm和28 cm的兩段；（2） 假設能圍成. 由（1）得，x2+（10-x）2=48. 化簡得x2-10x+26=0. 因為b2-4ac=（-10）2-4×1×26 =-4<0，此方程沒有實數根，所以小峰的說法是對的.

7. （1） 設乙隊單獨完成這項工程需要x天，則甲隊單獨完成這項工程需要x天. 根據題意，得+30

+=1. 解得x=90. 經檢驗，x=90是原方程的根. ∴x=60. 答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需要60天和90天. （2） 設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要y天，則有y

+=1. 解得y=36. 需要施工費用36×（0.84+0.56）=50.4（萬元）. ∵50.4>50，∴工程預算的施工費用不夠用，需追加預算0.4萬元.

8. （1） 設文化衫和相冊的價格分別為x元和y元，則x-y=9，

2x+5y=200.解得x=35，

y=26.答：文化衫和相冊的價格分別為35元和26元. （2） 設購買文化衫t件，則購買相冊（50-t）本，依題意有1 500≤35t+26（50-t）≤1 530，解不等式組得≤t≤. ∵t為正整數，∴t=23，24，25，即有三種方案. 第一種方案：購文化衫23件，相冊27本，此時余下資金293元；第二種方案：購文化衫24件，相冊26本，此時余下資金284元；第三種方案：購文化衫25件，相冊25本，此時余下資金275元. 所以第一種方案用于購買教師紀念品的資金更充足.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）

1. 設A=，B=+1，當x為何值時，A與B的值相等？

2. 解不等式組

+6≥x， ①

4-5（x-2）<8-2x. ②

并用數軸表示出不等式組的解集，寫出該不等式組的整數解.

3. 若0是關于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求實數m的值，并求此方程的解.

4. 試確定實數a的取值范圍，使不等式組

+>0，

x

+

>（x+1）+a恰有兩個整數解.

5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值.

6. 小林準備進行如下操作實驗：把一根長為40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形.

（1） 要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2，小林該怎么剪？

（2） 小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2.”他的說法對嗎？請說明理由.

7. 某街道改建工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的；若由甲隊先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.

（1） 求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？

（2） 已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元，乙隊每天的施工費用為0.56萬元.工程預算的施工費用為50萬元.為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程，則工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由.

8. 某市一班級到畢業時共結余經費1 800元，班委會決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀念品，其余資金用于在畢業晚會上給50位同學每人購買一件文化衫或一本相冊作為紀念品. 已知每件文化衫比每本相冊貴9元，用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊.

（1） 求每件文化衫和每本相冊的價格分別為多少元？

（2） 有幾種購買文化衫和相冊的方案？哪種方案用于購買老師紀念品的資金更充足？

參考答案

1. 當A=B時，=+1，方程兩邊同時乘（x+1）（x-1），得x（x+1）=3+（x+1）（x-1），解得x=2. 檢驗：當x=2時，（x+1）（x-1）=3≠0，∴x=2是分式方程的根.

2. 由①式得x≤7，由②式得x>2，∴原不等式組的解集為2

3. 將x=0代入已知方程有m2+2m-8=0，解這個一元二次方程得：m1=2，m2=-4. 當m=2時，原方程為3x=0，此時方程只有一個解，解為x=0；當m=-4時，原方程為-6x2+3x=0，解此方程得：x1=0，x2=，即此時方程有兩個解，解為x1=0，x2=.

4. 由不等式+>0兩邊同乘6得3x+2（x+1）>0，可以求出x>-，由不等式x+>（x+1）+a兩邊都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a，可以解出x<2a，所以不等式組的解集為-

5. （1） k<4；（2） m=0或-. 提示：（1） 由Δ>0求出k<4；（2） 滿足k<4的最大整數是3，解方程x2-4x+3=0得x1=1，x2=3，分別代入x2+mx-1=0得m=0或-.

6. （1） 設其中一個正方形的邊長為x cm，則另一個正方形的邊長為（10-x） cm. 由題意得x2+（10-x）2=58. 解得x1=3，x2=7. 則周長分別為4×3=12，4×7=28. 所以小林應把繩子剪成12 cm和28 cm的兩段；（2） 假設能圍成. 由（1）得，x2+（10-x）2=48. 化簡得x2-10x+26=0. 因為b2-4ac=（-10）2-4×1×26 =-4<0，此方程沒有實數根，所以小峰的說法是對的.

7. （1） 設乙隊單獨完成這項工程需要x天，則甲隊單獨完成這項工程需要x天. 根據題意，得+30

+=1. 解得x=90. 經檢驗，x=90是原方程的根. ∴x=60. 答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需要60天和90天. （2） 設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要y天，則有y

+=1. 解得y=36. 需要施工費用36×（0.84+0.56）=50.4（萬元）. ∵50.4>50，∴工程預算的施工費用不夠用，需追加預算0.4萬元.

8. （1） 設文化衫和相冊的價格分別為x元和y元，則x-y=9，

2x+5y=200.解得x=35，

y=26.答：文化衫和相冊的價格分別為35元和26元. （2） 設購買文化衫t件，則購買相冊（50-t）本，依題意有1 500≤35t+26（50-t）≤1 530，解不等式組得≤t≤. ∵t為正整數，∴t=23，24，25，即有三種方案. 第一種方案：購文化衫23件，相冊27本，此時余下資金293元；第二種方案：購文化衫24件，相冊26本，此時余下資金284元；第三種方案：購文化衫25件，相冊25本，此時余下資金275元. 所以第一種方案用于購買教師紀念品的資金更充足.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）

1. 設A=，B=+1，當x為何值時，A與B的值相等？

2. 解不等式組

+6≥x， ①

4-5（x-2）<8-2x. ②

并用數軸表示出不等式組的解集，寫出該不等式組的整數解.

3. 若0是關于x的方程（m-2）x2+3x+m2+2m-8=0的解，求實數m的值，并求此方程的解.

4. 試確定實數a的取值范圍，使不等式組

+>0，

x

+

>（x+1）+a恰有兩個整數解.

5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有兩個不相等的實數根.

（1） 求k的取值范圍；

（2） 如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程x2-4x+k=0與x2+mx-1=0有一個相同的根，求此時m的值.

6. 小林準備進行如下操作實驗：把一根長為40 cm的鐵絲剪成兩段，并把每一段各圍成一個正方形.

（1） 要使這兩個正方形的面積之和等于58 cm2，小林該怎么剪？

（2） 小峰對小林說：“這兩個正方形的面積之和不可能等于48 cm2.”他的說法對嗎？請說明理由.

7. 某街道改建工程指揮部，要對某路段工程進行招標，接到了甲、乙兩個工程隊的投標書.從投標書中得知：甲隊單獨完成這項工程所需天數是乙隊單獨完成這項工程所需天數的；若由甲隊先做10天，剩下的工程再由甲、乙兩隊合作30天可以完成.

（1） 求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？

（2） 已知甲隊每天的施工費用為0.84萬元，乙隊每天的施工費用為0.56萬元.工程預算的施工費用為50萬元.為縮短工期以減少對住戶的影響，擬安排甲、乙兩隊合作完成這項工程，則工程預算的施工費用是否夠用？若不夠用，需追加預算多少萬元？請給出你的判斷并說明理由.

8. 某市一班級到畢業時共結余經費1 800元，班委會決定拿出不少于270元但不超過300元的資金為老師購買紀念品，其余資金用于在畢業晚會上給50位同學每人購買一件文化衫或一本相冊作為紀念品. 已知每件文化衫比每本相冊貴9元，用200元恰好可以買到2件文化衫和5本相冊.

（1） 求每件文化衫和每本相冊的價格分別為多少元？

（2） 有幾種購買文化衫和相冊的方案？哪種方案用于購買老師紀念品的資金更充足？

參考答案

1. 當A=B時，=+1，方程兩邊同時乘（x+1）（x-1），得x（x+1）=3+（x+1）（x-1），解得x=2. 檢驗：當x=2時，（x+1）（x-1）=3≠0，∴x=2是分式方程的根.

2. 由①式得x≤7，由②式得x>2，∴原不等式組的解集為2

3. 將x=0代入已知方程有m2+2m-8=0，解這個一元二次方程得：m1=2，m2=-4. 當m=2時，原方程為3x=0，此時方程只有一個解，解為x=0；當m=-4時，原方程為-6x2+3x=0，解此方程得：x1=0，x2=，即此時方程有兩個解，解為x1=0，x2=.

4. 由不等式+>0兩邊同乘6得3x+2（x+1）>0，可以求出x>-，由不等式x+>（x+1）+a兩邊都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a，可以解出x<2a，所以不等式組的解集為-

5. （1） k<4；（2） m=0或-. 提示：（1） 由Δ>0求出k<4；（2） 滿足k<4的最大整數是3，解方程x2-4x+3=0得x1=1，x2=3，分別代入x2+mx-1=0得m=0或-.

6. （1） 設其中一個正方形的邊長為x cm，則另一個正方形的邊長為（10-x） cm. 由題意得x2+（10-x）2=58. 解得x1=3，x2=7. 則周長分別為4×3=12，4×7=28. 所以小林應把繩子剪成12 cm和28 cm的兩段；（2） 假設能圍成. 由（1）得，x2+（10-x）2=48. 化簡得x2-10x+26=0. 因為b2-4ac=（-10）2-4×1×26 =-4<0，此方程沒有實數根，所以小峰的說法是對的.

7. （1） 設乙隊單獨完成這項工程需要x天，則甲隊單獨完成這項工程需要x天. 根據題意，得+30

+=1. 解得x=90. 經檢驗，x=90是原方程的根. ∴x=60. 答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需要60天和90天. （2） 設甲、乙兩隊合作完成這項工程需要y天，則有y

+=1. 解得y=36. 需要施工費用36×（0.84+0.56）=50.4（萬元）. ∵50.4>50，∴工程預算的施工費用不夠用，需追加預算0.4萬元.

8. （1） 設文化衫和相冊的價格分別為x元和y元，則x-y=9，

2x+5y=200.解得x=35，

y=26.答：文化衫和相冊的價格分別為35元和26元. （2） 設購買文化衫t件，則購買相冊（50-t）本，依題意有1 500≤35t+26（50-t）≤1 530，解不等式組得≤t≤. ∵t為正整數，∴t=23，24，25，即有三種方案. 第一種方案：購文化衫23件，相冊27本，此時余下資金293元；第二種方案：購文化衫24件，相冊26本，此時余下資金284元；第三種方案：購文化衫25件，相冊25本，此時余下資金275元. 所以第一種方案用于購買教師紀念品的資金更充足.

（作者單位：江蘇省興化市板橋初級中學）