“函數”考點梳理

渠英

函數是初中數學的重要內容之一，也是中考的重點. 近幾年，各地中考試題中出現了大量的函數與幾何知識相結合的壓軸試題. 此類題目設計新穎、貼近生活，不但考查了同學們對函數的基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的掌握程度，還檢驗了同學們靈活運用知識技能技巧探索創新的能力和實踐操作的能力. 下表是徐州市近三年中考數學試題中對函數有關知識點的考查情況.

通過統計可以發現：試卷中有關函數的題目少則4題，多則達7題，分值占總分20%以上，重點為一次函數和二次函數. 由于此部分試題具有一定的綜合性，對同學們數形結合和函數方程等重要數學思想方法的培養、解題思路的拓寬以及綜合能力的提升具有十分重要的意義，因而備受命題者的青睞. 同學們要總結解題規律，掌握函數的基本技能和方法，強化數形結合意識、分類討論思想、滲透模型思想以及配方法、公式法、待定系數法等重要方法的應用，注意觀察、歸納、分析、比較，把重點放在落實基礎知識和基本技能及通性、通法的掌握上，從而提高復習效率和效果.

函數常考知識點

一、 平面直角坐標系

1. 坐標平面內點的對稱性、點所在的象限、坐標軸上點的坐標特點等. 坐標平面內點的對稱性，主要以填空題、選擇題形式出現.

2. 自變量的取值范圍的確定：

①當函數關系式為分式形式時，其自變量的取值范圍必須使分母不為零；

②函數關系式為二次根式形式時，其自變量的取值范圍必須使被開方數為非負數；

③函數關系式為整式形式時，其自變量的取值范圍為任意實數；

④還應注意要使實際問題有意義. 自變量的取值范圍主要以填空題、選擇題形式出現.

二、 一次函數

一次函數考點包括一次函數、正比例函數表達式，一次函數與坐標軸的交點坐標（一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交于-

，0，與y軸交于（0，b）），一次函數與兩坐標軸圍成三角形的面積，一次函數的性質（當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小），k、b符號與一次函數經過象限的關系，由坐標利用待定系數法求一次函數的解析式等. 知道兩點的坐標求函數解析式，知增減性求k的值，知k、b符號以確定一次函數所經過的象限等，常以填空題、選擇題形式出現，如2012年徐州中考第6題和第13題、2013年徐州中考第6題；利用一次函數解決實際問題常以解答題的形式出現，如2012年徐州中考第25題、2013年徐州中考第27題.

三、 反比例函數

反比例函數考點包括反比例函數的表達形式和性質（當k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖像的兩個分支分別在第二、四象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而增大）. 特別注意：反比例函數的增、減問題的討論范圍是在每一個象限內或在每一分支上. 與反比例函數相關的面積問題也是常見的中考題. 其中給出圖像上幾個點，求相關坐標、面積和解析式等常以填空題、選擇題形式出現，如2012年徐州中考第13題、2013年徐州中考第13題.

四、 二次函數

二次函數主要考查表達式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值以及用二次函數模型解決生活實際問題. 其中頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值、圖像與坐標軸的交點等主要以填空題、選擇題形式出現. 有關二次函數的解答題主要有三種類型：一類是有關二次函數圖像及性質的純數學問題，如2012年徐州中考第24題；一類是利用二次函數性質結合其他知識解決實際問題的題目，如2011年徐州中考第25題 ；再一類是二次函數與幾何知識結合的綜合題，如2013年徐州中考第28題、2012年徐州中考第27題、2011年徐州中考第28題.

如何將中考壓軸題化難為易，在有限的時間內取得更高的分值是同學們關心的問題，下面以2013年徐州中考壓軸題為例，說明解決此類問題的方法、思路及對策.

如圖1，二次函數y=x2+bx-的圖像與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

（1） 請直接寫出點D的坐標：_______；

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3） 是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 要求D點的坐標，知A、D兩點的橫坐標相同為-3，關鍵是求點D的縱坐標，也就是求出AB的長度，就可確定點D的坐標了. 根據點A（-3，0）在二次函數y=x2+bx-的圖像上，可求出b=1，繼而求出點B的坐標為（1，0），從而可求出AB=4，所以點D（-3，4）.

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動時，說明0

-2+，t=，即P為OA的中點時，OE有最大值，最大值為.

（3） 要使△PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同學們遇到此類題目不妨動手操作一下，這樣可以幫助我們全面考慮問題. 如用兩支筆垂直放置且一支筆始終過點D進行旋轉，便可得出下面的兩種符合條件的圖形.

①如圖2，點P點在y軸左側時，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函數的定義求PO的長度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，∴PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，∴重疊部分的面積S△DAG=×4×=.

②如圖3，當P點在y軸右側時，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，∴重疊部分的面積S四邊形DGBF=4×4-××4-××4=.

【點評】本題綜合性很強，涉及函數、方程、幾何知識的綜合應用，考查了同學們綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，體現了數學知識的綜合性，具有一定的難度和區分度. 利用三角形全等求出PO長度、利用相似三角形或三角函數的定義求出AG長度是解決本題的關鍵. 第（2）小題考查了同學們構建基本圖形Rt△APD、Rt△OPE的能力，利用相似三角形或三角函數的定義求出OE關于PA的函數關系式，利用配方法求最大值；第（3）小題先根據點P在對稱軸的左、右進行分類討論，從而得出兩種不同點的坐標，再利用割補求出相應重疊部分的面積，在解題過程中較好地滲透了數形結合和分類討論的思想. 解題時考慮三角函數的定義有時比利用三角形相似、三角形全等解題更方便.

（作者單位：江蘇豐縣歡口初級中學）

函數是初中數學的重要內容之一，也是中考的重點. 近幾年，各地中考試題中出現了大量的函數與幾何知識相結合的壓軸試題. 此類題目設計新穎、貼近生活，不但考查了同學們對函數的基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的掌握程度，還檢驗了同學們靈活運用知識技能技巧探索創新的能力和實踐操作的能力. 下表是徐州市近三年中考數學試題中對函數有關知識點的考查情況.

通過統計可以發現：試卷中有關函數的題目少則4題，多則達7題，分值占總分20%以上，重點為一次函數和二次函數. 由于此部分試題具有一定的綜合性，對同學們數形結合和函數方程等重要數學思想方法的培養、解題思路的拓寬以及綜合能力的提升具有十分重要的意義，因而備受命題者的青睞. 同學們要總結解題規律，掌握函數的基本技能和方法，強化數形結合意識、分類討論思想、滲透模型思想以及配方法、公式法、待定系數法等重要方法的應用，注意觀察、歸納、分析、比較，把重點放在落實基礎知識和基本技能及通性、通法的掌握上，從而提高復習效率和效果.

函數常考知識點

一、 平面直角坐標系

1. 坐標平面內點的對稱性、點所在的象限、坐標軸上點的坐標特點等. 坐標平面內點的對稱性，主要以填空題、選擇題形式出現.

2. 自變量的取值范圍的確定：

①當函數關系式為分式形式時，其自變量的取值范圍必須使分母不為零；

②函數關系式為二次根式形式時，其自變量的取值范圍必須使被開方數為非負數；

③函數關系式為整式形式時，其自變量的取值范圍為任意實數；

④還應注意要使實際問題有意義. 自變量的取值范圍主要以填空題、選擇題形式出現.

二、 一次函數

一次函數考點包括一次函數、正比例函數表達式，一次函數與坐標軸的交點坐標（一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交于-

，0，與y軸交于（0，b）），一次函數與兩坐標軸圍成三角形的面積，一次函數的性質（當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小），k、b符號與一次函數經過象限的關系，由坐標利用待定系數法求一次函數的解析式等. 知道兩點的坐標求函數解析式，知增減性求k的值，知k、b符號以確定一次函數所經過的象限等，常以填空題、選擇題形式出現，如2012年徐州中考第6題和第13題、2013年徐州中考第6題；利用一次函數解決實際問題常以解答題的形式出現，如2012年徐州中考第25題、2013年徐州中考第27題.

三、 反比例函數

反比例函數考點包括反比例函數的表達形式和性質（當k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖像的兩個分支分別在第二、四象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而增大）. 特別注意：反比例函數的增、減問題的討論范圍是在每一個象限內或在每一分支上. 與反比例函數相關的面積問題也是常見的中考題. 其中給出圖像上幾個點，求相關坐標、面積和解析式等常以填空題、選擇題形式出現，如2012年徐州中考第13題、2013年徐州中考第13題.

四、 二次函數

二次函數主要考查表達式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值以及用二次函數模型解決生活實際問題. 其中頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值、圖像與坐標軸的交點等主要以填空題、選擇題形式出現. 有關二次函數的解答題主要有三種類型：一類是有關二次函數圖像及性質的純數學問題，如2012年徐州中考第24題；一類是利用二次函數性質結合其他知識解決實際問題的題目，如2011年徐州中考第25題 ；再一類是二次函數與幾何知識結合的綜合題，如2013年徐州中考第28題、2012年徐州中考第27題、2011年徐州中考第28題.

如何將中考壓軸題化難為易，在有限的時間內取得更高的分值是同學們關心的問題，下面以2013年徐州中考壓軸題為例，說明解決此類問題的方法、思路及對策.

如圖1，二次函數y=x2+bx-的圖像與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

（1） 請直接寫出點D的坐標：_______；

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3） 是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 要求D點的坐標，知A、D兩點的橫坐標相同為-3，關鍵是求點D的縱坐標，也就是求出AB的長度，就可確定點D的坐標了. 根據點A（-3，0）在二次函數y=x2+bx-的圖像上，可求出b=1，繼而求出點B的坐標為（1，0），從而可求出AB=4，所以點D（-3，4）.

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動時，說明0

-2+，t=，即P為OA的中點時，OE有最大值，最大值為.

（3） 要使△PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同學們遇到此類題目不妨動手操作一下，這樣可以幫助我們全面考慮問題. 如用兩支筆垂直放置且一支筆始終過點D進行旋轉，便可得出下面的兩種符合條件的圖形.

①如圖2，點P點在y軸左側時，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函數的定義求PO的長度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，∴PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，∴重疊部分的面積S△DAG=×4×=.

②如圖3，當P點在y軸右側時，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，∴重疊部分的面積S四邊形DGBF=4×4-××4-××4=.

【點評】本題綜合性很強，涉及函數、方程、幾何知識的綜合應用，考查了同學們綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，體現了數學知識的綜合性，具有一定的難度和區分度. 利用三角形全等求出PO長度、利用相似三角形或三角函數的定義求出AG長度是解決本題的關鍵. 第（2）小題考查了同學們構建基本圖形Rt△APD、Rt△OPE的能力，利用相似三角形或三角函數的定義求出OE關于PA的函數關系式，利用配方法求最大值；第（3）小題先根據點P在對稱軸的左、右進行分類討論，從而得出兩種不同點的坐標，再利用割補求出相應重疊部分的面積，在解題過程中較好地滲透了數形結合和分類討論的思想. 解題時考慮三角函數的定義有時比利用三角形相似、三角形全等解題更方便.

（作者單位：江蘇豐縣歡口初級中學）

函數是初中數學的重要內容之一，也是中考的重點. 近幾年，各地中考試題中出現了大量的函數與幾何知識相結合的壓軸試題. 此類題目設計新穎、貼近生活，不但考查了同學們對函數的基礎知識、基本技能和基本數學思想方法的掌握程度，還檢驗了同學們靈活運用知識技能技巧探索創新的能力和實踐操作的能力. 下表是徐州市近三年中考數學試題中對函數有關知識點的考查情況.

通過統計可以發現：試卷中有關函數的題目少則4題，多則達7題，分值占總分20%以上，重點為一次函數和二次函數. 由于此部分試題具有一定的綜合性，對同學們數形結合和函數方程等重要數學思想方法的培養、解題思路的拓寬以及綜合能力的提升具有十分重要的意義，因而備受命題者的青睞. 同學們要總結解題規律，掌握函數的基本技能和方法，強化數形結合意識、分類討論思想、滲透模型思想以及配方法、公式法、待定系數法等重要方法的應用，注意觀察、歸納、分析、比較，把重點放在落實基礎知識和基本技能及通性、通法的掌握上，從而提高復習效率和效果.

函數常考知識點

一、 平面直角坐標系

1. 坐標平面內點的對稱性、點所在的象限、坐標軸上點的坐標特點等. 坐標平面內點的對稱性，主要以填空題、選擇題形式出現.

2. 自變量的取值范圍的確定：

①當函數關系式為分式形式時，其自變量的取值范圍必須使分母不為零；

②函數關系式為二次根式形式時，其自變量的取值范圍必須使被開方數為非負數；

③函數關系式為整式形式時，其自變量的取值范圍為任意實數；

④還應注意要使實際問題有意義. 自變量的取值范圍主要以填空題、選擇題形式出現.

二、 一次函數

一次函數考點包括一次函數、正比例函數表達式，一次函數與坐標軸的交點坐標（一次函數y=kx+b（k≠0）的圖像與x軸交于-

，0，與y軸交于（0，b）），一次函數與兩坐標軸圍成三角形的面積，一次函數的性質（當k>0時，y隨x的增大而增大；當k<0時，y隨x的增大而減小），k、b符號與一次函數經過象限的關系，由坐標利用待定系數法求一次函數的解析式等. 知道兩點的坐標求函數解析式，知增減性求k的值，知k、b符號以確定一次函數所經過的象限等，常以填空題、選擇題形式出現，如2012年徐州中考第6題和第13題、2013年徐州中考第6題；利用一次函數解決實際問題常以解答題的形式出現，如2012年徐州中考第25題、2013年徐州中考第27題.

三、 反比例函數

反比例函數考點包括反比例函數的表達形式和性質（當k>0時，圖像的兩個分支分別在第一、三象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而減小；當k<0時，圖像的兩個分支分別在第二、四象限內，且在每一個象限內，y隨x的增大而增大）. 特別注意：反比例函數的增、減問題的討論范圍是在每一個象限內或在每一分支上. 與反比例函數相關的面積問題也是常見的中考題. 其中給出圖像上幾個點，求相關坐標、面積和解析式等常以填空題、選擇題形式出現，如2012年徐州中考第13題、2013年徐州中考第13題.

四、 二次函數

二次函數主要考查表達式（一般式：y=ax2+bx+c（a≠0），頂點式：y=a（x-h）2+k（a≠0），交點式y=a（x-x1）（x-x2）（a≠0））、頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值以及用二次函數模型解決生活實際問題. 其中頂點坐標、開口方向、對稱軸、最大（小）值、圖像與坐標軸的交點等主要以填空題、選擇題形式出現. 有關二次函數的解答題主要有三種類型：一類是有關二次函數圖像及性質的純數學問題，如2012年徐州中考第24題；一類是利用二次函數性質結合其他知識解決實際問題的題目，如2011年徐州中考第25題 ；再一類是二次函數與幾何知識結合的綜合題，如2013年徐州中考第28題、2012年徐州中考第27題、2011年徐州中考第28題.

如何將中考壓軸題化難為易，在有限的時間內取得更高的分值是同學們關心的問題，下面以2013年徐州中考壓軸題為例，說明解決此類問題的方法、思路及對策.

如圖1，二次函數y=x2+bx-的圖像與x軸交于點A（-3，0）和點B，以AB為邊在x軸上方作正方形ABCD，點P是x軸上一動點，連接DP，過點P作DP的垂線與y軸交于點E.

（1） 請直接寫出點D的坐標：_______；

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動至何處時，線段OE的長有最大值，求出這個最大值；

（3） 是否存在這樣的點P，使△PED是等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標及此時△PED與正方形ABCD重疊部分的面積；若不存在，請說明理由.

【解析】（1） 要求D點的坐標，知A、D兩點的橫坐標相同為-3，關鍵是求點D的縱坐標，也就是求出AB的長度，就可確定點D的坐標了. 根據點A（-3，0）在二次函數y=x2+bx-的圖像上，可求出b=1，繼而求出點B的坐標為（1，0），從而可求出AB=4，所以點D（-3，4）.

（2） 當點P在線段AO（點P不與A、O重合）上運動時，說明0

-2+，t=，即P為OA的中點時，OE有最大值，最大值為.

（3） 要使△PED是等腰三角形，由于∠DPE=90°，只能是PD=PE. 同學們遇到此類題目不妨動手操作一下，這樣可以幫助我們全面考慮問題. 如用兩支筆垂直放置且一支筆始終過點D進行旋轉，便可得出下面的兩種符合條件的圖形.

①如圖2，點P點在y軸左側時，由于PD=PE，再抓住∠PAD=∠POE=90°，便可想到三角形全等. 即△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，也可以由三角函數的定義求PO的長度，即cos∠PDA=cos∠EPO，=，且PD=PE，∴PO=4，PA=OE=4-3=1，由tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，∴重疊部分的面積S△DAG=×4×=.

②如圖3，當P點在y軸右側時，由于PD=PE，仍抓住∠PAD=∠POE=90°，△PAD≌△EOP，所以PO=AD=4，PA=OE=4+3=7，tan∠DGA=tan∠EGO，即=，AG=，同理tan∠DFC=tan∠PFB，即=，CF=，∴重疊部分的面積S四邊形DGBF=4×4-××4-××4=.

【點評】本題綜合性很強，涉及函數、方程、幾何知識的綜合應用，考查了同學們綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力，體現了數學知識的綜合性，具有一定的難度和區分度. 利用三角形全等求出PO長度、利用相似三角形或三角函數的定義求出AG長度是解決本題的關鍵. 第（2）小題考查了同學們構建基本圖形Rt△APD、Rt△OPE的能力，利用相似三角形或三角函數的定義求出OE關于PA的函數關系式，利用配方法求最大值；第（3）小題先根據點P在對稱軸的左、右進行分類討論，從而得出兩種不同點的坐標，再利用割補求出相應重疊部分的面積，在解題過程中較好地滲透了數形結合和分類討論的思想. 解題時考慮三角函數的定義有時比利用三角形相似、三角形全等解題更方便.

（作者單位：江蘇豐縣歡口初級中學）