二級供應鏈系統的三階段協同訂貨模型

熊 浩，鄢慧麗

（1.海南大學經濟與管理學院，海南海口 570228；2.中南大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410083；3.海南大學旅游學院，海南海口 570228）

二級供應鏈系統的三階段協同訂貨模型

熊 浩1，2，鄢慧麗3

（1.海南大學經濟與管理學院，海南?？?570228；2.中南大學交通運輸工程學院，湖南長沙 410083；3.海南大學旅游學院，海南?？?570228）

生產商-銷售商聯合生產庫存系統是供應鏈的一個重要組成部分。但是目前協同條件下的相關訂貨策略具有明顯的局限性，容易丟失真正的最優策略。本文利用邊際分析法，通過改變銷售商相鄰兩次訂貨量的大小來分析生產商和銷售商庫存費用的變化，發現銷售商的訂貨量與系統庫存費用變化量的確存在一定的規律。并且，進一步可以推導出該類系統的最優訂貨策略的訂貨量必須符合“三階段”規律。根據該特點，只需設置各個階段的初始訂貨量和訂貨次數等6個決策變量就可以構建訂貨策略的數學模型。該模型與直接求解的數學模型相比，不僅變量減少，而且其求解也相對簡單。最后，利用各個文獻中常用的兩個實例仿真進行對比分析，驗證了該策略確實能夠找出其他策略丟失的最優解。

二級供應鏈；生產商-銷售商；聯合系統；三階段協同訂貨

1 引言

生產商-銷售商聯合生產庫存（Vendor-Buyer integrated Production-Inventory，VBPI）問題較早由Banerjee［1］于1986年提出，越來越受到關注和重視，并逐漸延伸到多種復雜的情況：一方面是對不確定情況下的庫存控制策略研究，如：隨機前置期和隨機需求［2］；另一方面是對不同的買賣雙方合作關系下庫存控制策略研究，如：寄售托銷關系［3］、有數量折扣條件［4］、商業信用條件［5］、主從關系［6］等。

但是，對于確定需求協同條件下的庫存控制策略仍然具有改進空間。Banerjee對于協同策略率先給出了批對批（Lot-for-Lot）的聯合經濟批量JELS（Joint Economic-lot Size）供貨模型。后來，Goyal［7-10］對聯合經濟批量模型進行了多次改進，提出了供貨周期“n次等量訂貨”的訂貨策略，接著又提出“按比例P/D多次遞增訂貨量”的訂貨策略，后來又提出“第一次小批量訂貨，后面的等批量訂貨”的訂貨策略，最后還提出“等比例修正訂貨量”的訂貨策略；Hill［11］認為如果VBPI系統按固定比例遞增訂貨量的訂貨策略，則該比例應該在1到P/D之間。以上這些研究都在試圖探尋在VBPI系統中周期內訂貨量之間的關系，但是在研究這種關系時都假設先生產后供貨，而實際上企業運營也存在一邊生產一邊供貨的情況。

因此，Lu Lu［12］對VBPI系統庫存問題的前提假設進行了改進，由“先生產后供貨”變成了更接近現實的“邊生產邊供貨”。這時VBPI系統的訂貨策略可能就會更加復雜一些。學者王圣東［13］和周永務［14］都認為這種條件下的VBPI系統中，其最優訂貨策略中不一定存在訂貨比例關系，而是需要直接應用數學算法進行求解。本文作者在最近的研究中也給出了更一般化的策略研究［15-16］。

并且，當在一個周期內訂貨次數增加時，其數學模型中的變量數將會成倍增加。因此，有必要研究VBPI系統中最優訂貨策略的一些規律，來減少模型的復雜性。本文通過對銷售商的邊際訂貨量與系統庫存費用變化關系的分析，發現系統銷售商訂貨量與系統庫存變化存在一定的機理，并利用該機理推導出系統庫存費用變化機理，從而得到了VBPI最優訂貨策略的“三階段”規律，然后利用該規律構建“三階段”訂貨策略及其數學模型。另外，本文還分析了“三階段”訂貨策略與其他策略之間的關系，表明“三階段”訂貨策略相比其他策略具有更加廣泛的應用范圍。最后，利用兩個具有代表性的實例對這些訂貨策略進行了驗證，結果證明了“三階段”策略確實能夠找到被其他策略丟失的最優解。

2 問題描述

本文的二級供應鏈系統是指由生產商和銷售商構成的系統。其中，銷售商依據其面臨的顧客需求向生產商訂貨；生產商負責產品的生產，并按照銷售商的訂貨進行發貨；系統運行時，要求銷售商的訂貨策略在滿足顧客需求條件下使整體庫存成本最低。該系統一般假定：（1）銷售商面臨的是確定性需求；（2）系統運行在無限時間水平上且不允許缺貨，所以一般假定生產率大于銷售率；（3）前置期為零，且不單獨考慮運輸費用（可以包含在訂貨費之中）；（4）系統策略具有周期性，且供貨商在策略周期只生產一次，即生產商在供貨期間可能存在兩種狀態：生產階段和停產階段。

該類問題的基本參數設置如下：P表示生產商的生產率；D銷售商的需求率；A1、A2分別表示生產商的生產調整費用、銷售商的訂貨費；h1、h2分別表示生產商的庫存費率、銷售商的庫存費率；qj、qj+1表示銷售商相鄰兩次訂貨的訂貨量；Δqj、Δqj+1表示銷售商相鄰兩次訂貨量的變化量；ΔQb、ΔQv銷售商、生產商的庫存變化量；HB分別表示銷售商平均庫存。

3 訂貨策略對系統庫存費用的影響分析

3.1 分析的原理及步驟

在VBPI系統中，對于銷售商自身而言，各次的訂貨量相等時其庫存費用最少；而對于生產商來說，此時其庫存費用并不是最優。所以，對整個系統而言，有必要分析銷售商訂貨量不相等時銷售商和生產商的庫存費用變化情況。具體的分析步驟為：

首先，在任意給定的初始策略中，隨機抽取相鄰的前后2次訂貨。

然后，在保持這2次訂貨的訂貨量之和不變的前提下，對2次訂貨的訂貨量進行改變。前后2次訂貨的訂貨量之和不變，是為了不改變原訂貨策略的訂貨次數。所以，當一次訂貨增加時，則另一次訂貨就減少相同的量。

接著，根據這種增加和減少來分析生產商的庫存時間量變化情況。

最后，根據銷售商的庫存時間量和生產商的庫存時間量來分析系統的庫存費用變化。庫存時間量是指庫存量與其相應的庫存時間的乘積。因此，庫存成本可以由庫存時間量與庫存費率的乘積表示。

需要注意，銷售商相鄰兩次訂貨的訂貨時間，可能都處于生產商的生產階段或停產階段，也有可能前次訂貨處于生產階段而后次訂貨處于停產階段。這兩種情況下生產商的庫存時間量隨訂貨量的變化所發生的變化不一樣，下面將分別對其進行分析。

3.2 相鄰2次訂貨同時發生在生產階段或停產階段

首先，從原始訂貨策略中選中銷售商的2次訂貨為第j和j+1次訂貨，其訂貨量分別為的關系為qj和qj+1。為了分析的方便，假設qj＜qj+1。然后，對這2次訂貨的訂貨量進行調整：前次訂貨增加量Δqj，后次訂貨量減少Δqj。則此時銷售商的庫存時間量（庫存量乘以時間）的增加值為（如圖1所示，點紋陰影面積減去橫紋陰影面積）：

若銷售商的這2次訂貨發生的時間都在生產商的生產期間或停產期間時，生產商的庫存時間量的減少值為（如圖2、圖3所示，點紋陰影面積減去橫紋陰影面積）：

由式（1）和式（2）可得ΔQv=ΔQb，說明銷售商的庫存變化與生產商的變化方向相反，且數量相等。這表明，在生產商的生產期間或停產期間，訂貨策略的改變對系統總的庫存時間量沒有影響。但是，如果生產商和銷售商的單位庫存費用不同，則訂貨策略應該使庫存更多的存放到單位庫存費用較少的一方。比如：如果生產商處的單位庫存費更低，則銷售商盡可能采用等量訂貨，這時產品庫存將更多的偏向生產商一方，雖然整體庫存不變，但是庫存費用降低了。

3.3 相鄰2次訂貨的前次在生產階段后次在停產階段

對于VBPI系統，其訂貨策略可能出現這樣一個種情況：銷售商的前次訂貨發生在生產商的生產階段而后次訂貨發生在生產商的停產階段（如圖4）。在這種情況下，生產商的庫存時間量增加值ΔQ+和庫存時間量減少值ΔQ-分別如圖4中的點陰影區和橫線陰影區所示，可以推導出：ΔQ+＞（qj+1-。則生產商庫存時間量的減少值為：

圖1 銷售商的庫存變化

圖2 生產期間生產商的庫存變化

圖3 停產期間生產商的庫存變化

圖4 交界期間生產商的庫存變化

式（3）結合式（1）可推導出不等式：ΔQv＞ΔQb，即生產商的庫存時間量減少值大于銷售商的庫存時間量增加值。由此可知，當銷售商采用非等量訂貨策略時，銷售商庫存時間量會增加，而生產商的庫存時間量會減少，且減少量比增加量大，所以系統的庫存時間量也會減少；反之，當銷售商等量訂貨時，系統的庫存時間量會增大。但是，需要注意，雖然庫存時間量變化情況弄清楚了，但庫存費用的變化還與生產商和銷售商的庫存費率有關。

4 “三階段”訂貨策略

4.1 “三階段”訂貨策略的推導

為了分析的方便，假設生產商單位庫存費率低于銷售商單位庫存費率。隨機給定一個銷售商訂貨量遞增的初始訂貨策略，然后對該策略進行調整來減少庫存成本。調整的方法就是根據第2節的分析，盡可能的縮小前后兩次訂貨量差距，使銷售商庫存減少、生產商的庫存增加，從而減少總體庫存成本。調整后的策略不僅降低了庫存成本，而且呈現出具有三個不同階段的訂貨量規律。

（1）生產階段。對于初始策略中，在生產商生產階段選取銷售商的第j次和j+1次訂貨。Ij是生產商在訂貨點j的庫存剩余量，不能為負。所以Ij是可以對銷售商第j次訂貨量的最大增加量，即Δqj≤Ij。

①當兩次訂貨量的差距大于2Ij，即：（qj+1-qj）＞Ij。為了縮小第j次和第j+1次的訂貨量差距，第j次訂貨的訂貨量能夠增加的最大量為Ij，第j+1次減少同樣的量。此時，第j次仍然小于或等于第j+1次訂貨量，即：

②當兩次訂貨量的差距小于2Ij，即：（qj+1-qj）＞Ij。此時，通過調整可以使前后的兩次訂貨量達到相等，從而使庫存發生最大偏移（銷售商庫存降最低，生產商庫存增加）。

（2）停產階段。如果第j次訂貨時，生產商已經停止生產，此時第j次訂貨后的庫存剩余量能用來滿足所有后面的訂貨，所以一定有：Ij≥qj+1＞qj+1-qj≥2Δqj，滿足（qj+1-qj）≤Ij，則前次的訂貨量最多能增加（qj+1-qj），此時是本次和其相鄰的下次訂貨量相等。

由以上分析可知，由于在生產商處于生產階段的時候庫存量較少，此時若要減少兩次訂貨的差距只有使前幾次訂貨的訂貨量盡可能的大，即前幾次訂貨后的生產商剩余庫存為零；而這之后就可能等量訂貨了。所以，訂貨量隨著生產的進行會不斷增加，增加到一定程度之后不能再增加，進行等量訂貨。等量訂貨的過程中生產商的剩余庫存會增加（因為生產率大于需求率），這時候可以實現較長時間的等量訂貨；但是由于生產時間的因素使得訂貨策略可能存在交界階段，交界階段的前后兩次訂貨的訂貨量大小對庫存偏移（使更多的庫存存放到生產商處）具有不確定性，所以銷售商在生產商生產階段的訂貨量與在生產商停產之后的訂貨量不一定相等。

綜上所述，供貨周期開始時的生產商的初始庫存q0量給定時，可以將生產商-銷售商聯合庫存模型的訂貨策略分成三個不同的階段構成：（1）第一個階段：使生產商庫存為零的遞增訂貨，可以計算出這時的遞增比例為生產率和需求率之比P/D；（2）第二階段：按照相等的訂貨量訂貨。（3）第三階段：停產之后的訂貨，采用相等的訂貨策略。

4.2 “三階段”訂貨策略的數學模型

依據前面的“三階段”訂貨策略，進一步構建數學模型來確定具體的訂貨方案。構建數學模型需要的參數設置如下：k1、k2分別表示生產階段按P/D增量訂貨的訂貨次數、生產階段等量訂貨的訂貨次數；k3表示停產階段等量訂貨的訂貨次數；q0表示周期開始時生產商的初始庫存；q3表示第3階段（停產期內的等量訂貨階段）的單次訂貨量；λ1表示第一階段增量訂貨的遞增比例，λ=P/D；λ2表示第二階段的各次訂貨的訂貨量與第一階段的最后一次訂貨的訂貨量比例；Q表示銷售商在整個供貨周期的訂貨量之和。

綜合上節的論述，可以將VBPI系統訂貨策略的數學模型［10］簡化為僅包含6個變量。簡化的數學模型如下：

其中：

上述公式中，式（4）表示系統訂貨相關的總平均費用；式（5）表示銷售商在供貨周期內的訂貨量；式（6）表示銷售商的平均庫存量；式（7）表示了第三階段訂貨與其前面的各次訂貨之間的關系：供貨周期的長度不小于前兩個階段訂貨時間之和；停產之后的訂貨量總和應該小于第二階段結束時生產商庫存量的最大值；式（8）是基本的約束條件。

可見，無論訂貨次數是多少，“三階段”訂貨數學模型只需要6個變量，從而降低了求解的難度，更容易獲得最優解。

5 策略的對比分析及實例演算

5.1 策略的對比分析

“三階段”策略與目前已有文獻中的相關策略相比較，“三階段”策略適用范圍更廣，更具有一般性（見表1）。

（1）當k1≠0，k2=0，k3=0時，只有第一階段時的訂貨策略就是Goyal的P/D比例遞增訂貨策略；

（2）當k1=0，k2≠0，k3≠0時，沒有第一階段訂貨，如果第二段和第三階段的訂貨批量如果剛好相等，則構成了Lu的等量訂貨策略；

（3）當k1=0，k2=0，k3≠0時，沒有第一階段和第二階段時，就出現了Lu關于VBPI模型的分類的第一種，即先生產再供貨。

表1 “三階段”策略和其他策略之間的關系

5.2 實例計算驗證

例1：我們考慮Goyal［8］的例子1：A1=400，A2=25，h1=4，h2=5，P=3200，D=1000。本文利用“三階段”訂貨策略進行求解，得到的最優解為：q0=7.39、k1=2、k2=1、k3=1、q3=228、λ2=3，因此，周期開始時的原始庫存為7.39，然后按λ1= P/D=3.2的比例遞增訂貨2次（第一階段訂貨量：24、76），然后按照等量λ2qk1=3×76=228訂貨1次（第二階段訂貨量：229），最后按照229訂貨1次（第三階段訂貨：229），總成本為1792。

與其它模型得到的訂貨策略的系統平均成本相比，本文的訂貨策略的平均成本最低（見表2）。

表2 例1中不同策略的結果比較

表3 例2中不同策略的結果比較

例2：我們考慮Goyal［8］的例子2：A1=400，A2=25，h1=4，h2=7，P=3200，D=1000。本文利用“三階段”訂貨策略進行求解，得到的最優解為：q0=9.72、k1=2、k2=1、k3=2、q3=134、λ2= 1.38，因此，周期開始時的原始庫存為9.72，然后按λ1=P/D=3.2的比例遞增訂貨2次（第一階段訂貨量：31、99），然后按照等量λ2qk1=1.38×99= 137訂貨1次（第二階段訂貨量：137），最后按照13訂貨2次（第三階段訂貨：137、137），總成本為193。

與其它模型得到的訂貨策略的系統平均成本相比，本文的訂貨策略的平均成本最低（見表3）。

以上兩個實例中，“三階段”訂貨模型不僅使求解變得相對容易，而且能得到了使成本更低的訂貨策略，說明VBPI系統中的“三階段”訂貨策略確實具有較好的效果。

6 結語

本文通過對銷售商訂貨量與系統庫存時間量的變化關系進行分析，利用訂貨量與庫存費用變化的機理，推導出了生產商-銷售商聯合生產庫存管理最優訂貨策略的“三階段”規律，并依據該規律簡化了VBPI系統的訂貨策略數學模型。與其他策略的相比，“三階段”策略不僅相對簡單，而且適用范圍更廣。最后，通過實例計算的對比分析，驗證了該策略的優化效果。

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A Three-Phase Synchronized Shipment Model of Two-Echelon Supply Chain System

XIONG Hao1，2，YAN Hui-li3
（1.School of Economics and Management，Hainan University，Haikou 570228，China；2.School of Traffic and Transportation Engineering，Central South University，Changsha 410083，China；3.Tounism College，Hainan University，Haikou 570228，China）

The vendor-buyer integrated production-inventory system is an important component of the supply chain operation.So far，more and more literatures have been interested on this theme.However，all the shipment policies hitherto been presented have obviously defects which will lose the optimal order scheme.In this paper，the marginal analysis method is used to analyzed the relationship between the change of order quantity and system inventory cost.Firstly，the buyer's quantities of the twice adjacent orders are adjusted while keeping their whole quantity unchanged.Then，both the producer's and the buyer's inventory and their inventory cost are recalculated.Finally，a＂three phase＂rule of the best order strategy of this system can be deduced.First stage is the increase ordering stage during the first part of the producer's production.And the buyer needs to increase the ordering quantity according to the ratio of the productivity and the demand rate.The second stage is the equal ordering stage during the second part of the producer's production.And the buyer will make several ordering with certain equal ordering quantity in this stage.The third stage is the equal ordering stage after the vendor's production，which means the buyer will make several ordering with equal ordering quantity after production.According to this characteristic，the corresponding mathematical model of ordering strategy can be constructed by only six variables，which include the quantity and the times of ordering during the various stages.Compared with the other direct mathematical model with every possible number of the order and their ordering quantities，not only the variables of the model are reduced，but also the solution process is become relatively simple.Finally，two simulation examples commonly used in many literatures are analyzed.And the result shows that this strategy can actually find the optimal solution while other strategies lost.

two-echelon supply chain；vendor-buyer；integrated system；three-phase synchronized shipment

N945；F406

：A

1003-207（2014）05-0069-06

2012-04-16；

2013-09-02

國家自然科學基金資助項目（71271220，71061005）；中南大學博士后基金資助項目（126227）；中西部高校綜合能力提升計劃項目資助

熊浩（1981-），男（漢族），湖北石首人，海南大學經濟與管理學院，講師，中南大學交通運輸工程學院博士后，研究方向：物流工程、交通運輸規劃與管理.