基于正交多項式法的動力吸振器安裝點的等效質量識別

何 山，楊志堅，2，丁 康，吳欽杰

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州 510640；

2.重慶理工大學汽車零部件先進制造技術教育部重點實驗室，重慶 400054）

基于正交多項式法的動力吸振器安裝點的等效質量識別

何 山1，楊志堅1，2，丁 康1，吳欽杰1

（1.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣州 510640；

2.重慶理工大學汽車零部件先進制造技術教育部重點實驗室，重慶 400054）

在動力吸振器的設計過程中，為方便匹配和尋找動力吸振器的最優參數，需要識別主系統在安裝點的等效質量來將其簡化為單自由度系統。針對傳統質量感應法操作復雜、識別精度低的缺點，采用正交多項式法來識別主系統的等效質量，通過仿真與實驗相結合驗證對比正交多項式法和質量感應法的識別結果。結果表明正交多項式法相對于質量感應法識別精度高，實驗結果和仿真結果較好的吻合，且通過實驗驗證利用正交多項式法匹配的動力吸振器有較優的吸振效果，基本符合不動點理論的最優條件。

動力吸振器；正交多項式法；等效質量

在動力吸振器設計過程中，需要根據其安裝點的特性對主系統作簡化，從而獲得主系統的等效質量，等效剛度以及等效阻尼。對于這三個參數，在原點頻響函數測得的情況下，只要識別出等效質量，能夠方便地推算出等效剛度和等效阻尼。因此，在主系統的簡化過程中，關鍵在于識別等效質量。

等效質量的傳統識別方法有特征向量法［1］、質量感應法［2－3］等。其中特征向量法是利用總能量相等的原則，把離散化之后的主系統所有位置的振動總能量等價到動力吸振器的安裝點上，這種方法的識別精度與離散的點數有關，需要先做模態分析離散系統以及計算振型向量，計算量大、操作復雜，因此使用不廣泛。而質量感應法是目前使用較普遍的一種方法，其原理是在主系統上附加一個質量，改變其固有頻率，通過附加質量前后的固有頻率關系來推算出主系統的等效質量，該方法直觀易懂、原理簡單，操作較特征向量法方便。

近年來，隨著模態參數識別方法的發展，在頻響函數的擬合和參數識別方面有很大進步［4－5］，擬合精度高且穩定性好，有一定的抗噪性。因此，本文選用正交多項式法作為等效質量的識別方法，用以對比傳統的質量感應法，分析該算法的優劣。該方法只需要測得動力吸振器安裝點的原點頻響函數，選定擬合的頻段即可識別出該頻段內主系統的等效質量、等效剛度以及阻尼比。

1 正交多項式法原理

系統頻響函數用正交多項式的形式表示為

其中：N為模態階數；ak和bk（k＝0，1，2，…，2N）為正交多項式系數，均為有理數。pi（jω）和qi（jω）均為第i階正交多項式。

構造正交多項式，通過推導頻響的誤差函數，以其作為目標函數，解方程組即可求出待定系數ak和bk（k＝0，1，2，…，2N），具體步驟見參考文獻［6］。

2 單自由度系統識別

仿真一個質量為m＝1 kg，固有頻率在f＝50 Hz，阻尼比為0.005的單自由度系統，其位移幅頻函數如圖1所示，頻率分辨率為0.1 Hz。通過正交多項式擬合而得的位移幅頻函數（紅色實線）與原始位移幅頻函數（黑色虛線）基本完全重合。擬合所得的等效質量為m1＝0.999 9 kg，誤差為0.01%，與原系統相當接近。

對比質量感應法，在該系統上附加一個0.1 kg的附加質量，由公式

圖1 單自由度系統位移幅頻函數擬合Fig.1 Single degree of freedom system FRF fitting

計算可得m2＝1.012 5 kg，誤差為1.25%，相比正交多項式法誤差較大，而提高頻率分辨率為0.01之后，識別出的等效質量m2＝1.003 2 kg，誤差降低為0.32%。由此可見，在單自由度系統中，正交多項式法和質量感應法的識別效果都較準確，但質量感應法的誤差大小較依賴于頻率分辨率的高低。

3 平面框架仿真與實驗

3.1 平面框架仿真模型的建立與實驗驗證

利用LMSVirtual.Lab按實際尺寸建立平面框架的仿真模型，框架尺寸為800mm×300mm×11.2mm，楊氏模量為2.26×1011N/m2，泊松比為0.291，對有限元模型做自由模態仿真，并與實驗結果做對比。

結果如圖2、3所示，仿真結果和實驗結果的前兩階模態的振型和固有頻率基本吻合，因此，可以使用該有限元模型作為驗證實驗結果的標準。

圖2 第一階振型Fig.2 The first order vibrationmode

3.2 平面框架的等效質量識別

以框架的第一階固有頻率作為吸振頻率，則動力吸振器應安裝在第一階振型的幅值點，即長邊中點處。使用力錘激勵測得該點的原點位移幅頻函數，分別用正交多項式法和質量感應法識別其等效質量。

（1）利用正交多項式法識別等效質量，選取70 Hz～80 Hz作為擬合頻段，擬合結果如圖4所示，擬合頻響和實驗測得頻響完全重合，擬合精度很高。

圖3 第二階振型Fig.3 The second order vibration mode

（2）利用質量感應法識別等效質量，在該點附加一個1 kg的質量塊，如圖5所示，測得附加質量塊前后的固有頻率。

同時，利用LMSVirtual.Lab對上述兩種方法進行仿真，其中質量感應法直接在安裝點附加一個1 kg的集中質量，如圖6所示，仿真安裝位置的原點位移幅頻函數。將實驗結果與仿真結果作對比，結果見表1。

圖4 框架實驗位移幅頻函數擬合Fig.4 Framework experiment FRF fitting

圖5 質量感應法識別等效質量Fig.5 Mass responsemethod estimating equivalentmass

表1 等效質量識別結果Tab.1 Equivalentm ass identification results

圖6 安裝點附加1 kg的集中質量Fig.6 Add 1kg concentrated mass onmounting point

分析表1中數據可知：①若只對比兩種方法的仿真結果，識別出來的等效質量較接近，證明在理論上兩種方法都是可行的；②利用正交多項式法的實驗結果與仿真結果非常接近，識別效果很好。③利用傳統質量感應法的實驗結果與仿真結果相差較大。分析原因可能是由于附加質量增加了主系統在這個位置的局部剛度，修改仿真模型，在附加質量附近利用剛性蜘蛛網約束周圍幾個節點，再進行仿真而得的等效質量是6.6 kg，與實驗結果相接近。因此，證明在實驗中，附加質量會提高安裝點附近的局部剛度，使得固有頻率增大，因此等效質量增加。

3.3 安裝動力吸振器的效果對比

加工一個質量、剛度和阻尼可調的動力吸振器，其結構如圖7所示。質量塊和橡膠之間、橡膠和底座之間均采用過盈配合固定。①通過替換質量塊，可以方便地調整動力吸振器的質量；②改變質量塊與橡膠的接觸深度h，可以在較大范圍內調節動力吸振器的剛度，而擰緊（松）固定橡膠的螺母，則在小范圍內調節其剛度；③通過替換不同的橡膠配方，能夠分級改變其阻尼。

圖7 動力吸振器剖視圖Fig.7 DVA cutaway view

通過上述兩種方法計算出的等效質量，把主系統簡化為單自由度系統。利用無阻尼的不動點理論分別匹配兩組不同的動力吸振器參數［7］，選定動力吸震器質量為0.5 kg，則其他參數匹配結果見表2。

表2 動力吸震器參數匹配Tab.2 DVA parameter matching

根據阻尼比值，選擇45NR＋SBR材料的橡膠，在長邊中點安裝動力吸振器，如圖8所示。將動力吸振器用502膠水粘在鐵地板上，利用錘擊測試并分別調節動力吸振器固有頻率至表中的計算最優固有頻率，測安裝吸振器前后的原點頻響，頻率分辨率設為0.25 Hz。

圖8 安裝動力吸振器后測原點位移幅頻函數Fig.8 Measure FRF aftermounting DVA

圖9 安裝動力吸振器后的原點頻響對比Fig.9 FRF contrast aftermounting DVA

實測位移幅頻函數如圖9所示，可得結論：①對比圖4和圖9可知，由于框架阻尼太小，在未安裝動力吸振器之前位移幅頻函數的峰值達到5×10－4m/N，而安裝動力吸振器能夠把幅值有效抑制在1.2×10－5m/N以內。②對比圖9內的兩條頻響可知，以正交多項式法識別的等效質量來匹配的吸振器最大幅值較小，且出現了較明顯的兩個峰，兩邊的峰值高度很接近，基本符合不動點理論的最優條件；而以質量感應法識別的等效質量來匹配的吸振器最大幅值大一點，左邊的峰值明顯大于右邊的峰值，吸振效果并非最優。

4 結 論

利用正交多項式法識別動力吸振器安裝點的等效質量，并與傳統的質量感應法進行對比，通過仿真與實驗結合驗證了正交多項式法優于質量感應法。

相對于質量感應法，正交多項式法有如下優點：

（1）正交多項式法操作相對方便，只需要測一次安裝點的原點位移幅頻函數即可；而質量感應法則需分別測安裝質量塊前后的原點位移幅頻函數。

（2）質量感應法由于需要直接讀取峰值頻率，因此其受頻率分辨率影響較大，而正交多項式法對頻率分辨率并不敏感。

（3）正交多項式法的實驗結果和仿真結果較好吻合，而質量感應法在實驗中附加質量會增加安裝點的局部剛度，導致固有頻率上升，使得識別的等效質量較真實值大。

（4）利用正交多項式法識別的等效質量來計算匹配的動力吸振器吸振效果較好，基本符合不動點理論的最優條件。

［1］李玩幽，劉妍.動力吸振器優化設計中等效質量的簡化求解法［J］.集美大學學報（自然科學版），2000，5（3）：50－53.

LIWan-you，LIU Yan.Method of estimating equivalentmass in optimum design of vibration absorber［J］.Journal of Jimei University（Natural Science），2000，5（3）：50－53.

［2］背戶一登，任明章譯.動力吸振器及其應用［M］.北京：機械工業出版社，2013.

［3］Kazuto S，Masaaki O，Shigeo Y.Method of estimating equivalentmass ofmulti-degree-of-freedom system［J］.JMSE，1987，30（268）：1638－1644.

［4］傅志方，華宏星.模態分析理論與應用［M］.上海：上海交通大學出版社，2000.

［5］沃德海倫.白化同，郭繼忠譯.模態分析理論與試驗［M］.北京：北京理工大學出版社，2002.

［6］Richardson MH.Fomenti D L.Parameter estimation from frequency response mensurements using rational fraction polynominals［C］.Prosented at1stIMAC Conference.Orlando.FL，Nov.8 10，1982.

［7］王琳.動力吸振器的參數設計和動力學分析［D］.石家莊：石家莊鐵道大學，2012.

Estim ating equivalentmass of a dynamic vibration absorber atm ounting point based on method of orthogonal polynom ials

HE Shan1，YANG Zhi-jian1，2，DINGKang1，WU Qing-jie1
（1.School of Mechanical and Automotive Engineering，South China University of Technology，Guangzhou 510640，China；
2.MOE Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology for Automobile Parts，Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China）

For the convenience ofmatching the optimal parametersof a dynamic vibration absorber，itsmain system needs to be simplified to a 1-DOF system by estimating its equivalentmass atmounting point.As the traditionalmass response method has shortcomings of complex operation and low identification accuracy.Here，the orthogonal polynomials were used to estimate the equivalentmass.Then，the results of the orthogonal polynomialmethod and themass response method were compared through combination of simulation and test.The results showed that the orthogonal polynomial method's identification precision is high，the test results are close to the simulation ones.In addition，through tests，itwas shown that using the method of orthogonal polynomial to match with a dynamic vibration absorber has a better vibration reduction effect being coincidentwith the optimal conditions of the fixed point theory.

dynamic vibration absorber；orthogonal polynomials；equivalentmass

TB535.1

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.24.035

汽車零部件先進制造技術教育部重點實驗室2010年度開放基金資助（2010KLMT04）

2013－08－08 修改稿收到日期：2014－02－20

何山男，碩士生，1988年11月生

楊志堅男，博士生，副教授，1982年1月生