小波閾值法在信號濾波中的應用研究

盛成明，唐鎖夫，劉 超

(1. 海軍702廠，上海 200434；2. 海鷹集團，江蘇無錫 214000)

0 引 言

隨著工程實踐和理論分析的需要，經典傅里葉變換從不同角度衍生了諸如短時傅里葉變換、小波變換、分數傅里葉變換等理論。小波變換以其優越的時-頻局部化分析能力在工程實踐中得到了廣泛應用[1,2]。小波變換通過從粗到細不斷改變尺度，從而將研究對象的任何變換充分展示，近些年在信號濾波方面也取得了許多研究成果。小波域濾波通過小波變換方法對研究對象進行多層分解，由閾值函數對分解后得到的高頻小波系數進行閾值量化，再由量化后的小波系數重構而得到真實信號的逼近。由此易知，閾值函數的選取對濾波效果將會產生直接影響。對于閾值函數的選取，大量研究人員也進行了一定的探索[3]。

本文通過對典型的閾值函數進行理論分析，提出了一種改進型的閾值函數，并和采用傳統閾值函數的濾波效果進行對比。仿真結果表明，本文提出的改進型閾值函數在均方誤差與信噪比方面都有一定改進。

1 小波閾值濾波原理

定義觀測信號

其中：x(n)為原始信號，w(n)為噪聲，且相互統計獨立。

選擇一個合適的小波函數，對y(n)進行N層分解，得到一系列小波系數[4]。由于在某些工程實際中，信號一般表現為頻率較低或是平穩，而噪聲通常表現為較高頻率。通過小波多尺度分解產生的低頻小波系數反映的是信號的逼近部分，高頻系數反映的是信號的細節部分。因此，對第一層到第N層中的各層高頻小波系數進行閾值量化得到估計小波系數，再通過小波逆變換實現信號的濾波，即信號的估計x1(n)[5,6]。具體實現方式如圖1所示。

圖1中，Aj為各層分解的低頻系數，Dj為各層分解的高頻系數。DDj為經過閾值函數量化后得到的高頻系數，由圖1可知，通過式(2)進行信號重構，即可實現信號的濾波。

圖1 小波閾值濾波實現方式Fig.1 Implementation method of wavelet threshold filtering

2 閾值函數的分析和改進

在小波系數閾值量化過程中，最具有代表性的閾值函數是硬閾值函數和軟閾值函數，下面將通過硬閾值函數和軟閾值函數的分析，給出改進型閾值函數。

2.1 硬閾值函數

設閾值為0＞λ，硬閾值函數定義為

即對自變量在閾值以下的函數值直接清零，閾值以上的函數值等于自變量的值。易知，函數在λ處不連續，且出現第一類間斷點。

2.2 軟閾值函數

軟閾值函數定義如下：

其中sign(·)為符號函數，軟閾值函數相當于對硬閾值函數曲線平移了λ個單位，實現了λ處曲線的連續。

2.3 改進型閾值函數

上述定義的軟、硬閾值函數具有如下特點[7]：硬閾值函數在閾值處不連續，重構信號易產生振蕩；軟閾值函數的量化值與原始小波系數有恒定的偏差不能逼近。為了在一定程度上克服上述閾值函數的不足，本文構造一個新的閾值函數如下：

其中0＞α，為可變參數。

且f1(x) = 0 , (x= 0 )。因此，本文提出的新閾值函數既能在λ處連續，又能逼近原始小波系數。

2.4 三種閾值函數特點分析

為了更好地分析三種閾值函數的特點，圖2給出了3種閾值的函數曲線，其中取0.1=α。

圖2 三種閾值函數曲線Fig.2 Three kinds of threshold function curves

由圖2易知，硬閾值函數對閾值以下的數值清零，滿足小波閾值濾波的要求，但是函數在x=λ處不連續，出現了第一類間斷點，因此對小波系數進行閾值處理后再重構的信號易產生振蕩現象[8]，不利于含噪聲信號的重構。

軟閾值函數改善了硬閾值函數在x=λ處不連續、易引起重構信號振蕩的不足，但由于軟閾值函數對在閾值以上的小波系數也同樣做了量化，且量化后的值與原始小波系數有一個恒定的偏差λ，不能夠滿足對小波系數的逼近，因此信號重構效果也并不好。

改進型的閾值函數對硬閾值函數的不連續性和軟閾值函數的不能逼近性都進行了改善，同時，可變參數α可以根據實際情況進行調整，實現比硬閾值函數與軟閾值函數更佳的濾波效果，因此應用將更加靈活。

3 信號濾波仿真分析

本文采用sym4小波，對信噪比為40 dB、幅值為10、頻率為50 Hz的單頻正弦信號進行3層分解，采樣頻率為2 kHz。其中噪聲是方差為1的高斯白噪聲。分別利用硬閾值函數、軟閾值函數和改進型的閾值函數對各層高頻系數進行閾值處理并進行信號重構。其中，α取0.1，閾值λ采用通用閾值[9]。

式中：σ為噪聲的均方差；N為信號長度。三種閾值函數的濾波結果如圖3所示。

圖3 三種閾值函數濾波結果Fig.3 Filtering results of three threshold functions

由圖3可知，三種閾值函數都有一定的濾波效果，但是三種閾值函數的濾波效果無法直觀地進行對比，因此，定義如下參數：

其中：SNR為濾波后的信噪比，MSE為信號濾波后的均方誤差[10]；x(n)為原始信號；x(n)為濾波后的重構信號。

為研究三種閾值函數在不同條件下的濾波效果，因此仿真時通過改變參數α以及信噪比以對比濾波效果，現將20 dB與10 dB時的濾波效果做如下對比，結果分別如表1、2所示。

表1 20 dB條件下濾波效果對比Table 1 MSE and SNR of three threshold functions (20 dB)

表2 10 dB條件下濾波效果對比Table 2 MSE and SNR of three threshold functions (10 dB)

由表1、2可知，改進型的閾值函數無論是從MSE或者SNR都表現了良好的性能，在實際具體應用時，改進型的閾值函數可以靈活地通過改變參數α來改變濾波性能，而硬閾值函數和軟閾值函數一旦確定閾值，便無法進行改變。

4 結 論

本文提出的改進型閾值函數，改善了硬閾值函數與軟閾值函數的不足，通過對可變參數α進行調節，改進型閾值函數總能找到一個合適的α，使其在MSE和SNR方面優于硬閾值函數和軟閾值函數。這對于需要同時考慮濾波效果以及波形失真度的應用場合則顯得尤為有用。然而，由于改進型閾值函數中的參數α需要通過實驗去確定最佳值，因此對于不確知環境的應用則尚有不足，需要進一步深入研究。

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