蒙特卡洛法在位標(biāo)器公差分析中的應(yīng)用

陳振中， 彭思平， 劉元云， 顧網(wǎng)平

（上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海 200090）

蒙特卡洛法在位標(biāo)器公差分析中的應(yīng)用

陳振中， 彭思平， 劉元云， 顧網(wǎng)平

（上海無(wú)線電設(shè)備研究所，上海 200090）

位標(biāo)器作為導(dǎo)引頭的關(guān)鍵組件，對(duì)整個(gè)制導(dǎo)系統(tǒng)精度的提升起著重要作用。以位標(biāo)器的裝配過(guò)程為研究對(duì)象，介紹了蒙特卡洛方法在裝配公差分析中的應(yīng)用；討論了蒙特卡洛方法在位標(biāo)器不同公差特性條件下的適應(yīng)程度；為蒙特卡洛方法在位標(biāo)器公差分析中的應(yīng)用提供了技術(shù)指導(dǎo)，有效地保證了其在公差分析中的精度。

蒙特卡洛；位標(biāo)器；公差分析

0 引言

位標(biāo)器安裝于制導(dǎo)系統(tǒng)的頭部，它是制導(dǎo)系統(tǒng)的關(guān)鍵組件。位標(biāo)器的用途包括：空間穩(wěn)定、角位置預(yù)定、空間角掃描、目標(biāo)角度跟蹤等[1]，它的裝配精度是制約導(dǎo)引頭系統(tǒng)制導(dǎo)精度的關(guān)鍵。

位標(biāo)器具有結(jié)構(gòu)復(fù)雜，零部件較多的特點(diǎn)，因此在其裝配過(guò)程中極易出現(xiàn)累計(jì)裝配誤差較大的情況。當(dāng)封閉環(huán)裝配間隙過(guò)大，則需要加裝墊片；當(dāng)封閉環(huán)裝配過(guò)盈量較大，則需要對(duì)組成環(huán)零件進(jìn)行修磨；為了使位標(biāo)器達(dá)到較高的裝配精度，要求裝配人員必須進(jìn)行反復(fù)修配，因而造成了大量人力物力的浪費(fèi)。

因此，針對(duì)位標(biāo)器的復(fù)雜裝配結(jié)構(gòu)，提出一套準(zhǔn)確的公差分析技術(shù)，可以有效地控制位標(biāo)器累計(jì)裝配誤差，提高位標(biāo)器的裝配效率，降低制造成本。

公差分析方法大致分為兩類：極值法和概率法。極值法要求裝配過(guò)程完全互換，該方法只考慮公差的極限上下偏差，因而對(duì)公差的分析過(guò)于保守。概率法包括方和根法、田口實(shí)驗(yàn)法、卷積法和蒙特卡洛法[2]，其中，蒙特卡洛方法最為精確。

本文將首先介紹蒙特卡洛公差分析方法的基本原理及其在應(yīng)用過(guò)程中的特點(diǎn)，然后將蒙特卡洛方法應(yīng)用于位標(biāo)器公差分析的實(shí)例當(dāng)中，并分別對(duì)不同公差特性的情況進(jìn)行討論，最后給出結(jié)論。

1 蒙特卡洛公差分析

1.1 蒙特卡洛思想

蒙特卡洛方法的思想：通過(guò)隨機(jī)模擬某一不確定性事件，產(chǎn)生大量樣本，然后對(duì)樣本的響應(yīng)值進(jìn)行概率統(tǒng)計(jì)，進(jìn)而獲得該不確定事件的參數(shù)評(píng)價(jià)，如均值、方差、概率等[3]。

蒙特卡洛是以大數(shù)定律為依據(jù)，它的收斂性已經(jīng)得到了證明。蒙特卡洛的應(yīng)用范圍非常廣泛，如數(shù)學(xué)積分、物理過(guò)程模擬、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估等。以求解積分為例，可表示為

式中：f（x）為積分概率；g（x）≥0為積分區(qū)域。

采用蒙特卡洛模擬方法，可通過(guò)隨機(jī)抽樣進(jìn)行求解，可表示為

式中：xi為隨機(jī)樣本；N為隨機(jī)抽樣的數(shù)量；I（xi）為指示函數(shù)，具體計(jì)算如式（3）所示：

從式（2）中可以看出，蒙特卡洛方法需要進(jìn)行大量的隨機(jī)模擬，模擬的精度與樣本數(shù)量N有直接的關(guān)系，所以蒙特卡洛方法的計(jì)算成本較高。然而，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展，蒙特卡洛方法的計(jì)算成本劣勢(shì)逐漸淡化，而其高精度的求解效果逐漸受到重視。

1.2 蒙特卡洛公差分析方法

從上節(jié)內(nèi)容可知，蒙特卡洛方法的核心思想即隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生。在各種計(jì)算機(jī)編程語(yǔ)言中均有隨機(jī)數(shù)或者偽隨機(jī)數(shù)的生成方法，這些方法足以滿足工程的需要，如VB中的Rnd（），Excel中的RAND（），Matlab中的rand（）。

通常在編程語(yǔ)言中，隨機(jī)數(shù)發(fā)生器所產(chǎn)生的樣本RU服從（0，1）區(qū)間上的均勻分布；而在公差分析中，零件的尺寸存在多種分布類型，因而需要將隨機(jī)樣本RU由均勻分布轉(zhuǎn)換為其它類型的分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布RN的轉(zhuǎn)換公式可表示為[4]

由均勻分布隨機(jī)數(shù)RU轉(zhuǎn)換為常見(jiàn)的分布類型隨機(jī)數(shù)的方法如表1所示[5]，其中μ，σ，λ，a，b，c分別是不同分布類型的參數(shù)。

表1 常見(jiàn)隨機(jī)分布類型轉(zhuǎn)換公式

蒙特卡洛公差分析的流程如圖1所示，具體步驟如下所示。

（1）確定各個(gè)組成環(huán)的尺寸和公差

包括公差的上下偏差、分布類型、中心偏移系數(shù)等，對(duì)于不同零部件的公差類型，可以根據(jù)測(cè)試或者歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)價(jià)。然而由于材料、尺寸、加工方式的不同，很難找到一種統(tǒng)一的評(píng)價(jià)方法，在實(shí)際操作中公差分布類型往往依據(jù)經(jīng)驗(yàn)或假設(shè)進(jìn)行選擇。

（2）生成組成環(huán)尺寸的隨機(jī)數(shù)

生成（0，1）上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù)，然后依據(jù)組成環(huán)的公差類型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的轉(zhuǎn)換公式如表1所示。隨機(jī)數(shù)可以逐個(gè)生成，如圖1所示，直至達(dá)到抽樣次數(shù)要求；也可以一次性生成，在Matlab中可以一次性生成106～107個(gè)樣本，而且直接支持各種分布類型的隨機(jī)數(shù)。

圖1 蒙特卡洛公差分析方法流程

（3）分析計(jì)算封閉環(huán)尺寸均值和方差

求解公差分析函數(shù)，并對(duì)封閉環(huán)公差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理。

在蒙特卡洛方法中，封閉環(huán)樣本的均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別等于封閉環(huán)的均值和方差[6]，封閉環(huán)樣本為Ai，i=1，…，N，則封閉環(huán)均值A(chǔ)aυ求解方法：

封閉環(huán)標(biāo)準(zhǔn)差σ求解方法為

封閉環(huán)公差帶T求解方法，如式（7）所示。在公差分析中，公差帶置信水平通常為99.73%，也即6σ區(qū)間。

封閉環(huán)尺寸上下偏差A(yù)min，Amax的求解方法為

1.3 蒙特卡洛公差分析的幾點(diǎn)討論

蒙特卡洛方法通過(guò)大量隨機(jī)抽樣，可以實(shí)現(xiàn)封閉環(huán)尺寸的精確模擬。然而現(xiàn)有方法對(duì)所獲得的封閉環(huán)模擬尺寸的統(tǒng)計(jì)處理過(guò)程存在一定的誤差，從而造成了蒙特卡洛公差分析的結(jié)果缺乏精度，具體體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

（1）隨機(jī)數(shù)設(shè)計(jì)空間的變化

隨機(jī)數(shù)生成器通常建立在（0，1）區(qū)間均勻分布基礎(chǔ)之上，然后再根據(jù)各組成環(huán)的分布類型進(jìn)行轉(zhuǎn)換，具體公式如表1所示。然而經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)換后，個(gè)別分布類型如正態(tài)分布的參數(shù)設(shè)計(jì)空間變?yōu)椋?∝，＋∝），而實(shí)際的組成環(huán)尺寸必須位于公差帶以內(nèi)，即服從截尾分布。所以，必須將位于組成環(huán)公差帶之外的隨機(jī)樣本去除。

（2）組成環(huán)公差中心偏移的影響

現(xiàn)有的方法通常以公差帶、上下偏差以及分布類型等參數(shù)對(duì)組成環(huán)尺寸公差進(jìn)行描述，并假定組成環(huán)的置信水平為99.73%。然而即便上述參數(shù)均為已知的情況下，依然不能確定組成環(huán)公差的具體分布參數(shù)。假設(shè)某服從正態(tài)分布的組成環(huán)公差中心為μA，則依據(jù)公差的置信水平99.73%可知

從式（9）可知，當(dāng)組成環(huán)公差中心發(fā)生偏移時(shí)，組成環(huán)尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差σA也將隨之發(fā)生變化，因而在確定組成環(huán)分布參數(shù)時(shí)，必須考慮公差中心偏移量的影響。

（3）封閉環(huán)公差分布類型的選擇及處理

當(dāng)組成環(huán)尺寸都服從正態(tài)分布，且公差函數(shù)為線性時(shí)，封閉環(huán)尺寸也將服從正態(tài)分布，此時(shí)，封閉環(huán)的公差處理采用式（5）～式（8）是準(zhǔn)確的；當(dāng)組成環(huán)尺寸存在多種分布的情況，且組成環(huán)數(shù)量較多時(shí)，則封閉環(huán)近似服從正態(tài)分布。然而，現(xiàn)有的方法很難判斷組成環(huán)數(shù)量是否足夠多，更無(wú)法判斷假設(shè)封閉環(huán)服從正態(tài)分布所帶來(lái)的具體影響。因此，現(xiàn)有的方法對(duì)封閉環(huán)尺寸均采用正態(tài)分布，上下偏差采用3σ準(zhǔn)則必然存在一定的誤差。

2 位標(biāo)器公差分析

位標(biāo)器某裝配尺寸鏈如圖2所示，其中組成環(huán)為A1，A2，A3，A5，A6，A7，封閉環(huán)為A4。組成環(huán)尺寸及其公差如表2所示。

圖2 位標(biāo)器裝配尺寸鏈

本文將分以下幾種情況采用蒙特卡洛方法進(jìn)行公差分析：

a）情況1：組成環(huán)尺寸均服從正態(tài)分布，且尺寸中心位于公差帶中心無(wú)偏移；

表2 位標(biāo)器組成環(huán)尺寸及其公差

b）情況2：組成環(huán)尺寸均服從截尾正態(tài)分布（將公差帶之外的隨機(jī)樣本進(jìn)行過(guò)濾），且尺寸中心位于公差帶中心無(wú)偏移，組成環(huán)置信水平為99.73%；

c）情況3：組成環(huán)尺寸均服從正態(tài)分布，且尺寸中心存在偏移：μA1=38.206，μA2=2.601，μA3=4.301，μA5=8.706，μA6=13.221，μA7=12.596；

d）情況4：組成環(huán)尺寸均服從均勻分布，且均勻分布上下界分別為公差帶的上下偏差；

e）情況5：組成環(huán)尺寸A1，A2，A7服從截尾正態(tài)分布，置信水平為99.73%，且中心偏移：μA1=38.206，μA2=2.601，μA7=12.596；A3，A5，A6服從均勻分布，且均勻分布上下界分別為公差帶的上下偏差。

本文采用Matlab軟件進(jìn)行仿真模擬，每種情況的抽樣次數(shù)均為109，公差分析結(jié)果如表3所示。采用極值法在以上五種情況中得到的結(jié)果完全一樣，而且過(guò)于保守；蒙特卡洛方法所獲得結(jié)果差異較大，其中，“樣本極限值”表示封閉環(huán)尺寸在所有樣本中出現(xiàn)的最大最小值。

表3 位標(biāo)器封閉環(huán)公差分析結(jié)果對(duì)比

“裝配成功率”定義：在蒙特卡洛法抽取的所有封閉環(huán)樣本中，位于公差帶內(nèi)的樣本出現(xiàn)的頻次。本文中蒙特卡洛方法與現(xiàn)有方法保持一致，即假定封閉環(huán)尺寸服從正態(tài)分布，且公差帶置信水平為99.73%，因而“裝配成功率”越接近“99.73%”，則表示蒙特卡洛方法越精確。

從表3中可以看出，第一種情況，組成環(huán)尺寸均服從正態(tài)分布，它的“裝配成功率”為99.73%。因而對(duì)于該種情況，蒙特卡洛方法假設(shè)封閉環(huán)尺寸服從正態(tài)分布是準(zhǔn)確的，如圖3所示，封閉環(huán)尺寸的隨機(jī)樣本頻次分布圖與正態(tài)分布完全一致。

第二種情況組成環(huán)為截尾正態(tài)分布。它的標(biāo)準(zhǔn)差為0.0156，比第一種情況的標(biāo)準(zhǔn)差略微減小，公差帶也有所縮減；“裝配成功率”為99.76%，較正態(tài)分布有所提高。因此，當(dāng)組成環(huán)尺寸服從截尾正態(tài)分布，則封閉環(huán)尺寸的公差帶將有所縮減，且該公差帶的選取具有保守傾向。如圖4所示，封閉環(huán)尺寸的隨機(jī)樣本頻次分布圖與正態(tài)分布基本一致。

圖3 組成環(huán)為正態(tài)分布

圖4 組成環(huán)為截尾正態(tài)分布

第三種情況組成環(huán)尺寸服從正態(tài)分布，且尺寸中心具有一定的偏移量。從表3中可以看出，封閉環(huán)尺寸均值為1.9830，較第一、二種情況有所偏移，標(biāo)準(zhǔn)差0.156，較第一種情況略微減小，公差帶為[2.0299，1.9361]，有明顯的縮小。該種情況變化的原因是尺寸中心偏移后，尺寸標(biāo)準(zhǔn)差將減小，具體可由式（9）進(jìn)行計(jì)算。然而，尺寸中心偏移并不影響“裝配成功率”，且封閉環(huán)尺寸服從正態(tài)分布，如圖5所示，封閉環(huán)尺寸的隨機(jī)樣本頻次分布圖與正態(tài)分布完全一致。

第四、五種情況，組成環(huán)尺寸分別為均勻分布和混合分布。從表3中可知，該兩種情況封閉環(huán)的標(biāo)準(zhǔn)差明顯增大，公差帶范圍隨之增大，裝配成功率也明顯大于目標(biāo)值99.73%，從圖6、7中可以看出，封閉環(huán)尺寸的隨機(jī)樣本頻次分布圖相對(duì)于正態(tài)分布有明顯的變矮變胖的趨勢(shì)。因此，針對(duì)該兩種情況，采用蒙特卡洛方法所計(jì)算的結(jié)果過(guò)于保守。

圖5 組成環(huán)為正態(tài)分布、且中心偏移

圖6 組成環(huán)為均勻分布

圖7 組成環(huán)為混合分布

3 結(jié)論

本文以位標(biāo)器裝配公差為研究對(duì)象，介紹了蒙特卡洛方法在公差分析中的一般步驟，并探討了蒙特卡洛方法在五種不同情況下的適應(yīng)程度。

蒙特卡洛方法中，組成環(huán)尺寸樣本如果按照無(wú)限區(qū)域的分布類型進(jìn)行抽樣，將與生產(chǎn)實(shí)際不相符；然而如果按照截尾分布類型進(jìn)行抽樣，則封閉環(huán)尺寸將不完全服從正態(tài)分布的假設(shè)。當(dāng)組成環(huán)尺寸的分布類型具有多樣化的情況，且組成環(huán)的個(gè)數(shù)不足夠大時(shí)，封閉環(huán)尺寸公差的選取將會(huì)出現(xiàn)保守的趨勢(shì)。以上這些情況，在位標(biāo)器裝配分析過(guò)程中，應(yīng)該給與充分考慮，避免公差設(shè)計(jì)過(guò)于保守而引起制造成本的浪費(fèi)。

[1] 楊曉東，馬伯淵.雷達(dá)導(dǎo)引頭位標(biāo)器的滑模控制方法研究[D].成都：電子科技大學(xué)，2010.

[2] 王平，沈曉陽(yáng).公差分析中的統(tǒng)計(jì)公差方法綜述[J].工具技術(shù)，2008，4（10）：43-47.

[3] Chen Zhen-zhong，Qiu Hao-bo，Gao Liang，et al. A Local Adaptive Sampling Method for Reliability-Based Design Optimization Using Kriging Model [J].Structural and Multidisciplinary Optimization，2014，49：401-416.

[4] 袁貴星，王平.蒙特卡洛模擬及其在公差設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].天津科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，32（2）：60-64.

[5] 龐曉紅.基于Excel的蒙特卡洛法及其在工程設(shè)計(jì)上的應(yīng)用[J].漳州職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，8（3）：20-23.

[6] 董銀月，邱浩波，蔣平.基于蒙特卡洛方法和改進(jìn)PSO算法的裝配公差優(yōu)化設(shè)計(jì)[D].武漢：華中科技大學(xué)，2011.

Monte Carlo Simulation and its Application in Position Marker Tolerance Analysis

CHEN Zhen-zhong， PENG Si-ping， LIU Yuan-yun， GU Wang-ping
（Shanghai Radio Equipment Research Institute，Shanghai 200090，China）

Position marker is an important component of the seeker；it has a critical impact on the accuracy of the guidance system.Focuses on the assembling process of the coordinator，introduces the application of the Monte Carlo simulation（MCS）method in assembling tolerance analysis and discusses the application of the MCS in several different tolerance conditions.This paper gives the guidance of the using MCSin coordinator tolerance analysis to avoid unnecessary error.

Monte Carlo；position marker；tolerance analysis

TJ765.232

A

1671-0576（2014）03-0055-06

2013-12-05

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)51405302。

陳振中（1986-），男，博士，工程師，主要從事機(jī)械裝配工藝與可靠性工作。