過圓頂點v＝的小球做平拋運動嗎

何勇 高文清

（新疆兵團二中 新疆烏魯木齊 830002）

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何勇 高文清

（新疆兵團二中 新疆烏魯木齊 830002）

【例題】半徑為R的光滑半圓球固定在水平面上，頂部有一小物塊質量為m，如圖1所示．今給小物塊一個水平初速度，則物塊將

A．沿球而滑至M點

B．先沿球面滑至某點N再離開球面做斜下拋運動

C．按半徑大于R的新圓弧軌道運動

D．立即離開半圓球做平拋運動

圖1

分析：這道題是對圓周運動最高點速度v0＝的考查．可以分析出，物塊在最高點當v0＝時，只受重力，對圓球無壓力，故可以認為物塊將做平拋運動．但是，再仔細想想這其中似乎有一定的問題：會不會物塊此時不受壓力，此后會與軌道有擠壓呢？或者，物塊先做一段平拋運動，隨后再沿圓面滑下呢？物塊究竟做什么運動呢？現對物塊的運動進行如下分析．

方法1：利用函數方法求證

建立坐標系，用平拋運動和曲線運動軌跡的函數方程，證明物塊運動軌跡（拋物線）與圓弧無交點（頂點除外）．

證明：以O點原點建立平面直角坐標系，如圖2所示．圓的軌跡方程

圖2

若兩運動軌跡有交點，則有y1＝y2，即

可以推出x＝0．

所以，兩軌跡只于初始點拋物線和圓有交點，即小球在圓頂部v0＝時做平拋運動至落地．

方法2：比較水平位移求證

選取任意相同水平高度，比較“平拋運動的水平位移總大于圓周運動的水平位移”．

證明：選取任意相同水平高度，設圓上A點與坐標原點的連線OA與x軸的夾角為θ，如圖3所示．

圖3

由小物塊做平拋運動，可得

由圓上的A點的幾何關系，可得

所以，小球離開半圓球頂部后做平拋運動至落地．

2014- 03- 12）