借助導數，巧用函數性質證明不等式

溫湖南

不等式證明是高中數學的重點難點之一.不等式的種類繁多，證明的方法也難易懸殊，使用的技巧各異，盡管教材中對不等式的證明給出了系統的總結，但是有很多不等式，我們還是較難快速簡潔地證明它.特別是有些不等式，如果用常用的初等方法去證明，我們會感到無從下手.這時如果我們如果將它作個恒等變形，使它轉化為我們較熟悉的函數不等式，再借助導數，利用函數的相關性質來證明，往往會事半功倍.

一、利用函數單調性證明不等式

函數單調性是函數的重要性質之一，在不等式證明中也扮演著重要的角色.運用函數單調性證明不等式，關鍵在于合理利用題設條件，構造出相應的函數，并將原問題進行等價轉換，通過對函數單調性的討論，從而使問題得到圓滿解決.

1.函數單調性與導數的關系

定理：設函數f（x）在（a，b）內可導，若f ′（x）>0（<0），則f（x）在（a，b）內嚴格遞增（遞減）

2.函數單調性在不等式證明中的應用

利用函數單調性證明不等式是不等式證明中一種較為有效的方法，其基本步驟為：

（1）移項或作簡單的恒等變形，使不等式的一端為零，另一端設為輔助函數f（x），此時問題轉化為證明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函數f（x）的導函數f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分別確定f（x）的增區間和減區間.

（3）利用函數的單調性和端點處的函數值或極限值即可證明原不等式.

例1當x∈（0，π）時，證明不等式sinx

證明設f（x）=sinx-x，則f ′（x）=cosx-1.

因為x∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）內單調遞減.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故當x∈（0，π）時，sinx

點評一般地，證明f（x）

例2已知：a>b>0，求證：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式變形為lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.觀察不等式的特點，構造函數f（x）=lnx-1+11x（x>1），從而問題轉化為證明：當x>1時，f（x）>0.

證明把不等式變形為lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

構造函數f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

從而問題轉化為證明：當x>1時， f（x）>0.

因為f ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上單調遞增.

所以當x>1時， f（x）>f（1）.

又因為 f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命題成立，即：若a>b>0，則lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函數凹凸性證明不等式

有些不等式利用函數的凹凸性可以很簡潔、巧妙地得到證明.利用函數的凹凸性證明不等式關鍵是構造出能夠解決問題的函數.

1.函數凹凸性

定義：設f（x）在（a，b）內連續，如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是（a，b）上的凹函數；如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是f（a，b）上的凸函數.

2.函數凹凸性與導數的關系

定理：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內具有一階導數和二階導數.如果f ″（x）>0在（a，b）內恒成立，則稱f（x）是區間[a，b]上的凹函數；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）內恒成立，則稱f（x）是區間[a，b]上的凸函數.

3.函數凹凸性在不等式證明中的應用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

證明：令f（x）=tanx，則f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因為0

所以f ″（x）>0，所以f（x）的圖象在（0，π12）內是凹的，

從而對x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以當02tanx+y12成立.

不等式證明是高中數學的重點難點之一.不等式的種類繁多，證明的方法也難易懸殊，使用的技巧各異，盡管教材中對不等式的證明給出了系統的總結，但是有很多不等式，我們還是較難快速簡潔地證明它.特別是有些不等式，如果用常用的初等方法去證明，我們會感到無從下手.這時如果我們如果將它作個恒等變形，使它轉化為我們較熟悉的函數不等式，再借助導數，利用函數的相關性質來證明，往往會事半功倍.

一、利用函數單調性證明不等式

函數單調性是函數的重要性質之一，在不等式證明中也扮演著重要的角色.運用函數單調性證明不等式，關鍵在于合理利用題設條件，構造出相應的函數，并將原問題進行等價轉換，通過對函數單調性的討論，從而使問題得到圓滿解決.

1.函數單調性與導數的關系

定理：設函數f（x）在（a，b）內可導，若f ′（x）>0（<0），則f（x）在（a，b）內嚴格遞增（遞減）

2.函數單調性在不等式證明中的應用

利用函數單調性證明不等式是不等式證明中一種較為有效的方法，其基本步驟為：

（1）移項或作簡單的恒等變形，使不等式的一端為零，另一端設為輔助函數f（x），此時問題轉化為證明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函數f（x）的導函數f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分別確定f（x）的增區間和減區間.

（3）利用函數的單調性和端點處的函數值或極限值即可證明原不等式.

例1當x∈（0，π）時，證明不等式sinx

證明設f（x）=sinx-x，則f ′（x）=cosx-1.

因為x∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）內單調遞減.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故當x∈（0，π）時，sinx

點評一般地，證明f（x）

例2已知：a>b>0，求證：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式變形為lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.觀察不等式的特點，構造函數f（x）=lnx-1+11x（x>1），從而問題轉化為證明：當x>1時，f（x）>0.

證明把不等式變形為lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

構造函數f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

從而問題轉化為證明：當x>1時， f（x）>0.

因為f ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上單調遞增.

所以當x>1時， f（x）>f（1）.

又因為 f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命題成立，即：若a>b>0，則lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函數凹凸性證明不等式

有些不等式利用函數的凹凸性可以很簡潔、巧妙地得到證明.利用函數的凹凸性證明不等式關鍵是構造出能夠解決問題的函數.

1.函數凹凸性

定義：設f（x）在（a，b）內連續，如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是（a，b）上的凹函數；如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是f（a，b）上的凸函數.

2.函數凹凸性與導數的關系

定理：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內具有一階導數和二階導數.如果f ″（x）>0在（a，b）內恒成立，則稱f（x）是區間[a，b]上的凹函數；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）內恒成立，則稱f（x）是區間[a，b]上的凸函數.

3.函數凹凸性在不等式證明中的應用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

證明：令f（x）=tanx，則f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因為0

所以f ″（x）>0，所以f（x）的圖象在（0，π12）內是凹的，

從而對x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以當02tanx+y12成立.

不等式證明是高中數學的重點難點之一.不等式的種類繁多，證明的方法也難易懸殊，使用的技巧各異，盡管教材中對不等式的證明給出了系統的總結，但是有很多不等式，我們還是較難快速簡潔地證明它.特別是有些不等式，如果用常用的初等方法去證明，我們會感到無從下手.這時如果我們如果將它作個恒等變形，使它轉化為我們較熟悉的函數不等式，再借助導數，利用函數的相關性質來證明，往往會事半功倍.

一、利用函數單調性證明不等式

函數單調性是函數的重要性質之一，在不等式證明中也扮演著重要的角色.運用函數單調性證明不等式，關鍵在于合理利用題設條件，構造出相應的函數，并將原問題進行等價轉換，通過對函數單調性的討論，從而使問題得到圓滿解決.

1.函數單調性與導數的關系

定理：設函數f（x）在（a，b）內可導，若f ′（x）>0（<0），則f（x）在（a，b）內嚴格遞增（遞減）

2.函數單調性在不等式證明中的應用

利用函數單調性證明不等式是不等式證明中一種較為有效的方法，其基本步驟為：

（1）移項或作簡單的恒等變形，使不等式的一端為零，另一端設為輔助函數f（x），此時問題轉化為證明f（x）>0或f（x）<0.

（2）求函數f（x）的導函數f ′（x），由f ′（x）>0和f ′（x）<0分別確定f（x）的增區間和減區間.

（3）利用函數的單調性和端點處的函數值或極限值即可證明原不等式.

例1當x∈（0，π）時，證明不等式sinx

證明設f（x）=sinx-x，則f ′（x）=cosx-1.

因為x∈（0，π）所以f ′（x）<0.

所以f（x）=sinx-x在x∈（0，π）內單調遞減.

又f（0）=0. 所以f（x）=sinx-x

故當x∈（0，π）時，sinx

點評一般地，證明f（x）

例2已知：a>b>0，求證：lna-lnb>a-b1a.

分析把不等式變形為lna1b>1-b1a即lna1b+b1a-1>0.觀察不等式的特點，構造函數f（x）=lnx-1+11x（x>1），從而問題轉化為證明：當x>1時，f（x）>0.

證明把不等式變形為lna1b+b1a-1>0（a>b>0）.

構造函數f（x）=lnx-1+11x （x≥1）.

從而問題轉化為證明：當x>1時， f（x）>0.

因為f ′（x）=x-11x2≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，

所以f（x）=lnx-1+11x在x∈[1，+∞）上單調遞增.

所以當x>1時， f（x）>f（1）.

又因為 f（1）=0，

所以f（x）>0，在x∈（1，+∞）上恒成立.

所以原命題成立，即：若a>b>0，則lna-lnb>a-b1a成立.

二、利用函數凹凸性證明不等式

有些不等式利用函數的凹凸性可以很簡潔、巧妙地得到證明.利用函數的凹凸性證明不等式關鍵是構造出能夠解決問題的函數.

1.函數凹凸性

定義：設f（x）在（a，b）內連續，如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≤f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是（a，b）上的凹函數；如果對任意的x1，x2∈（a，b），恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）是f（a，b）上的凸函數.

2.函數凹凸性與導數的關系

定理：設f（x）在[a，b]上連續，在（a，b）內具有一階導數和二階導數.如果f ″（x）>0在（a，b）內恒成立，則稱f（x）是區間[a，b]上的凹函數；反之，如果f ″（x）<0在（a，b）內恒成立，則稱f（x）是區間[a，b]上的凸函數.

3.函數凹凸性在不等式證明中的應用

例3已知0

tanx+tany>2tanx+y12.

證明：令f（x）=tanx，則f ′（x）=sec2x，f ″（x）=2sec2x·tanx.

因為0

所以f ″（x）>0，所以f（x）的圖象在（0，π12）內是凹的，

從而對x，y∈（0，π12）都有f（x）+f（y）12>f（x+y12），

即 tanx+tany12>tanx+y12.

所以當02tanx+y12成立.