例析導數(shù)法在高考復習中的嚴謹性的缺失

朱毅

1. “單調(diào)性概念理解”的嚴謹性缺失

書本定義：設定義在某區(qū)間上的函數(shù)y=f（x），如果f ′（x）>0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f ′（x）<0，那么函數(shù)y=f（x）在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

理解這正是我們同學用來解決求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的依據(jù)，但同學們往往忽略了這只是函數(shù)在這個區(qū)間上單調(diào)遞增或遞減的一個充分條件，而并非必要條件.

例1已知函數(shù)f（x）=2x3-ax+c在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，則（ ）.

A.a<0且c∈R B.a≥0且c∈R

C.a<0且c=0 D.a≤0且c∈R

誤區(qū)因為函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，所以在（-∞，+∞）上f ′（x）=6x2-a>0恒成立，故據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，Δ<0即a<0，選A答案.

正確分析選D.當a<0時f ′（x）=6x2-0a>0；當a=0時，函數(shù)的導函數(shù)f ′（x）=6x2≥0，函數(shù)在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增.

2. “求單調(diào)區(qū)間”嚴謹性的缺失

在求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，有些老師在教學中“避重就輕”，只注重導函數(shù)的值是否為正還是為負，經(jīng)常忽略強調(diào)定義域的重要性，要知道一個單調(diào)區(qū)間離開了定義域就可能沒有意義.

例2（2010年重慶卷18）已知函數(shù)f（x）=x-11x+a+ln（x+1），其中實數(shù)a≠-1

（1）若a=2，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）在x=1處取得極值，試討論f（x）的單調(diào)性.

解（1）略.

（2）誤解因a≠-1，由（1）知f ′（1）=11a+1+112.

又因為f（x）在x=1處取得極值，所以f ′（1）=0，

即11a+1+11a=0，解得a=-3.

故 f ′（x）=-21（x-3）2+11x+1=（x-1）（x-7）1（x-3）2（x+1）.

由f ′（x）=0可得x1=1，x2=7.

當x<1或x>7時，f ′（x）>0函數(shù)增區(qū)間為（-∞，1）和

（7，+∞）.

當1

正確分析其實函數(shù)的定義域為：（-1，3）∪（3，+∞），所以增區(qū)間為（-1，1）和（7，+∞），減區(qū)間為（1，7）.

點評《考試說明》在“考試要求”、“考試內(nèi)容”以及對具體知識的考查中突出了對數(shù)學基礎知識的考查.本題作為高考數(shù)學第一道解答題，注重通性通法，淡化特殊技巧，強調(diào)基礎知識.高考試題中大部分知識點都是老師在平時教學中重點講解的.因此，考生在學習過程中，應從基礎抓起，有深厚的基礎知識功底，才能形成良好的數(shù)學思維和數(shù)學能力.

3.“求切線方程”時嚴謹性的缺失

利用導數(shù)幾何意義求解切線方程，是導數(shù)應用的一個重要方面，這部分內(nèi)容雖然比較淺顯，但由于學生認知能力的局限性，知識結(jié)構(gòu)難免會出現(xiàn)盲點，故而在解題時容易走入誤區(qū)，產(chǎn)生“會而不對、對而不全”的現(xiàn)象，形成錯解、漏解.

例3（2009年全國題）已知函數(shù)f（x）=x4-3x2+6.

（1）討論f（x）的單調(diào)性；

（2）設點P在曲線y=f（x）上，若該曲線在點P處的切線通過原點（0，0），求切線方程.

解（1）略；

（2）誤解

由題意可知f ′（x）=4x3-6x.

因為切線過原點（0，0），所以k=f ′（0）=0，切線方程為： y=0.

正確分析因為原點（0，0）不在曲線上，故不是切點而事實上點P才是切點.

設切點P的坐標為（x0，y0），則y0=x40-3x20+6.

k=f ′（x0）=4x30-6x0=x40-3x20+6-01x0-0，

整理得：x40-x20-2=0，

解之得： x0=±2.

P點坐標為（±2，4）.

故切線方程為：y=22x或y=-22x.

點評 利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)切線方程時，注意該點是否是切點.機使用技能的高低是新一代評價個人文化素質(zhì)的標準.計算機信息技術(shù)的飛速發(fā)展對每個人提出了新的要求，作為教師，更應該積極的推動計算機信息技術(shù)的發(fā)展，將多媒體信息技術(shù)用于教學課堂，這樣利人又利己.

六、將多媒體信息技術(shù)融于教學課堂的反思

時代的發(fā)展，要求競爭者提高自身素質(zhì)，也要求學校教育走在發(fā)展的最前端，學校教育的發(fā)展方向又要求教師更新教學手段.教學手段的更新主要受教育觀念的支配，所以我們首先要轉(zhuǎn)變教育觀念，真正把信息技術(shù)運用到教學中來.把信息技術(shù)作為輔助教學的工具，充分發(fā)揮信息技術(shù)在學生自主學習、主動探索、合作交流等的優(yōu)勢，良好的實現(xiàn)教師角色的轉(zhuǎn)變.信息技術(shù)在數(shù)學教學中的作用不可低估，它在輔助學生認知的功能要勝過以往的任何技術(shù)手段.但它僅僅是課堂教學的一個輔助工具.教學活動過程的核心，是師生之間的情感互動交流過程，這個過程信息技術(shù)教育是無法取代的.在師生互動的教與學過程中，信息技術(shù)已經(jīng)成為產(chǎn)生數(shù)學問題、促進學生思維擴散的路標.不過，我們不能盲目地使用信息技術(shù)，用它來取代教師在教學活動中的地位.所以，客觀合理地將多媒體信息技術(shù)用于課堂教學，積極探索多媒體信息技術(shù)與課堂教學整合方法，才是現(xiàn)代教師在教學活動中應轉(zhuǎn)變的觀念.