數(shù)列通項(xiàng)的幾種常見求法

劉義鳳

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的考查重點(diǎn)。而數(shù)列的通項(xiàng)公式，是研究數(shù)列的第一個環(huán)節(jié)，也是最重要的一個環(huán)節(jié)。有了數(shù)列的通項(xiàng)，問題研究起來就方便多了。數(shù)列通項(xiàng)公式的求法也很多，根據(jù)具體的條件，而采用不同的求法。下面筆者通過一些例題來講解數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見求法。

一、觀察歸納法

通過觀察數(shù)列的特征，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)。

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）數(shù)列的前5項(xiàng)有如下規(guī)律：分母2，4，8，16，32與序號的關(guān)系是2的序號次冪，分子1，3，7，15，31與序號的關(guān)系是2的序號次冪減1；（2）不難看出數(shù)列前5項(xiàng)有如下規(guī)律：10-1，100-1，1000-1，10000-1進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考實(shí)例（江蘇高考題）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為 。

解析每行最后一個數(shù)分別為1，3，6，10，…，故可以歸納出第n行最后一個數(shù)為112n（n+1），從而得到第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，當(dāng)然也可以從第n行第一個數(shù)開始?xì)w納。

二、公式法

當(dāng)數(shù)列是等差或等比數(shù)列時，只需確定首項(xiàng)和公差（或公比）代入等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式即可。

例2（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an；（2）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+11an=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解根據(jù)等差數(shù)列的定義可知（1）為首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，故an=2n-1；

根據(jù)等比數(shù)列的定義可知（2）為首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b為常數(shù)，f（n）是可求和的），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常用累加法。

例3已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解當(dāng)n≥2時， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式對a1=1時也成立。所以an=n（n+1）12。

高考實(shí)例（四川高考題）設(shè)數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項(xiàng)an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b為常數(shù)，f（n）是可求積的），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常用累乘法。

例4已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解當(dāng)n≥2時，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1時a1=1，上式也成立。所以an=n

四、構(gòu)造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且為常數(shù)），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常常用構(gòu)造{an+c}為等比數(shù)列求通項(xiàng)，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）來確定。

例5（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求數(shù)列的通項(xiàng)。

略解（1）由an+1=2an+1化為an+1+1=2（an+1）。

故數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化為an+112n+1-an12n=112，

故數(shù)列{an12n}是以112為首項(xiàng)，112為公差的等差數(shù)列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。

略解將an+1=（1+11n）an+n+112n兩側(cè)同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。設(shè)bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下來可以利用累加法解出{bn}的通項(xiàng)，從而得到{an}的通項(xiàng)。

高考實(shí)例（安徽高考題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0，求數(shù)列endprint

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的考查重點(diǎn)。而數(shù)列的通項(xiàng)公式，是研究數(shù)列的第一個環(huán)節(jié)，也是最重要的一個環(huán)節(jié)。有了數(shù)列的通項(xiàng)，問題研究起來就方便多了。數(shù)列通項(xiàng)公式的求法也很多，根據(jù)具體的條件，而采用不同的求法。下面筆者通過一些例題來講解數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見求法。

一、觀察歸納法

通過觀察數(shù)列的特征，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)。

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）數(shù)列的前5項(xiàng)有如下規(guī)律：分母2，4，8，16，32與序號的關(guān)系是2的序號次冪，分子1，3，7，15，31與序號的關(guān)系是2的序號次冪減1；（2）不難看出數(shù)列前5項(xiàng)有如下規(guī)律：10-1，100-1，1000-1，10000-1進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考實(shí)例（江蘇高考題）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為 。

解析每行最后一個數(shù)分別為1，3，6，10，…，故可以歸納出第n行最后一個數(shù)為112n（n+1），從而得到第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，當(dāng)然也可以從第n行第一個數(shù)開始?xì)w納。

二、公式法

當(dāng)數(shù)列是等差或等比數(shù)列時，只需確定首項(xiàng)和公差（或公比）代入等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式即可。

例2（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an；（2）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+11an=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解根據(jù)等差數(shù)列的定義可知（1）為首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，故an=2n-1；

根據(jù)等比數(shù)列的定義可知（2）為首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b為常數(shù)，f（n）是可求和的），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常用累加法。

例3已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解當(dāng)n≥2時， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式對a1=1時也成立。所以an=n（n+1）12。

高考實(shí)例（四川高考題）設(shè)數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項(xiàng)an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b為常數(shù)，f（n）是可求積的），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常用累乘法。

例4已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解當(dāng)n≥2時，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1時a1=1，上式也成立。所以an=n

四、構(gòu)造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且為常數(shù)），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常常用構(gòu)造{an+c}為等比數(shù)列求通項(xiàng)，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）來確定。

例5（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求數(shù)列的通項(xiàng)。

略解（1）由an+1=2an+1化為an+1+1=2（an+1）。

故數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化為an+112n+1-an12n=112，

故數(shù)列{an12n}是以112為首項(xiàng)，112為公差的等差數(shù)列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。

略解將an+1=（1+11n）an+n+112n兩側(cè)同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。設(shè)bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下來可以利用累加法解出{bn}的通項(xiàng)，從而得到{an}的通項(xiàng)。

高考實(shí)例（安徽高考題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0，求數(shù)列endprint

數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的考查重點(diǎn)。而數(shù)列的通項(xiàng)公式，是研究數(shù)列的第一個環(huán)節(jié)，也是最重要的一個環(huán)節(jié)。有了數(shù)列的通項(xiàng)，問題研究起來就方便多了。數(shù)列通項(xiàng)公式的求法也很多，根據(jù)具體的條件，而采用不同的求法。下面筆者通過一些例題來講解數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種常見求法。

一、觀察歸納法

通過觀察數(shù)列的特征，橫向看各項(xiàng)之間的關(guān)系，縱向看各項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，從而歸納出數(shù)列的通項(xiàng)。

例1根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出下列數(shù)列的一個通項(xiàng)公式：

（1）112，314，718，15116，31132，…；

（2）9，99，999，9999，…

分析（1）數(shù)列的前5項(xiàng)有如下規(guī)律：分母2，4，8，16，32與序號的關(guān)系是2的序號次冪，分子1，3，7，15，31與序號的關(guān)系是2的序號次冪減1；（2）不難看出數(shù)列前5項(xiàng)有如下規(guī)律：10-1，100-1，1000-1，10000-1進(jìn)一步可以發(fā)現(xiàn)10′-1，102-1，103-1，104-1。

略解：（1）an=2n-112n。 （2） an=10n-1

高考實(shí)例（江蘇高考題）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：

1

23

456

78910

……

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為 。

解析每行最后一個數(shù)分別為1，3，6，10，…，故可以歸納出第n行最后一個數(shù)為112n（n+1），從而得到第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為112n（n+1）-（n-3）=112n（n-1）+3，當(dāng)然也可以從第n行第一個數(shù)開始?xì)w納。

二、公式法

當(dāng)數(shù)列是等差或等比數(shù)列時，只需確定首項(xiàng)和公差（或公比）代入等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式即可。

例2（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an；（2）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+11an=2，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解根據(jù)等差數(shù)列的定義可知（1）為首項(xiàng)為1公差為2的等差數(shù)列，故an=2n-1；

根據(jù)等比數(shù)列的定義可知（2）為首項(xiàng)為1公比為2的等比數(shù)列，故an=2n-1。

三、累加法、累乘法

形如已知a1=b，an+1-an=f（n） （其中b為常數(shù)，f（n）是可求和的），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常用累加法。

例3已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1-an=n+1，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解當(dāng)n≥2時， an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+2+3+…+n=n（n+1）12。

上式對a1=1時也成立。所以an=n（n+1）12。

高考實(shí)例（四川高考題）設(shè)數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=an+n+1，則通項(xiàng)an=。

形如已知a1=b，an+11an=f（n） （其中b為常數(shù)，f（n）是可求積的），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常用累乘法。

例4已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+11an=n+11n，求數(shù)列的通項(xiàng)an。

略解當(dāng)n≥2時，

an=a1×a21a1…×an1an-1=1×211×312×…×n1n-1=n。

n=1時a1=1，上式也成立。所以an=n

四、構(gòu)造法

形如已知a1=b，an+1=pan+q （其中p≠1、q≠0，且為常數(shù)），求數(shù)列的通項(xiàng)an。這樣類型的問題，常常用構(gòu)造{an+c}為等比數(shù)列求通項(xiàng)，其中c的值需要借助公式an+1+c=p（an+c）來確定。

例5（1）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n求數(shù)列的通項(xiàng)。

略解（1）由an+1=2an+1化為an+1+1=2（an+1）。

故數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，

所以an+1=2·2n-1=2n，即an=2n-1。

（2）由an+1=2an+2n可化為an+112n+1-an12n=112，

故數(shù)列{an12n}是以112為首項(xiàng)，112為公差的等差數(shù)列，

所以an12n=n12，即an=n·2n-1。

例6在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（1+11n）an+n+112n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式。

略解將an+1=（1+11n）an+n+112n兩側(cè)同除以n+1，得an+11n+1=an1n+112n。設(shè)bn=an1n，可得bn+1-bn=112n，接下來可以利用累加法解出{bn}的通項(xiàng)，從而得到{an}的通項(xiàng)。

高考實(shí)例（安徽高考題）設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a，an+1=can+1-c，c∈N*， 其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0，求數(shù)列endprint