極限法在高中物理解題中的應(yīng)用探究

賴曉芳

筆者查閱高中階段的各類物理考試和競賽試題發(fā)現(xiàn)，目前高中物理試題考察的角度已經(jīng)不是簡單的物理定律和理論知識，而是學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力、邏輯思維能力和思變意識。極限法和極限思維本來是一種數(shù)學(xué)思維，在物理學(xué)上近些年開始廣泛地使用。極限法在高中物理中的應(yīng)用主要針對物理對象的過程和狀態(tài)的變化，按照物理過程的變化趨勢合理外推到極端的情況。這種方法的應(yīng)用為物理難題的解決找到了突破口和切入點(diǎn)，一定程度上簡化了解題過程和提高了解題效率。筆者通過大量的案例來詮釋極限法在高中物理試題解答中的具體應(yīng)用。

案例1如圖1中所示，角度數(shù)為OP的斜面上方有一點(diǎn)O，在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道，并且滿足這一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。試問直軌道與豎直方向的夾角β是多少？

圖1試題解析從題干中給出的條件知道質(zhì)點(diǎn)沿OP做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)該和待求的問題β角有一定的關(guān)系，從另外一個(gè)角度分析，只要解答t對于β角的函數(shù)的極值就可以解決問題。

對于學(xué)過的物理知識，需要運(yùn)用的是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。由此可知，這一質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為a=gcosβ，該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t，

則112at2=OP，

解得t=2OOP1gcosβ ①

利用數(shù)學(xué)關(guān)系式，在△OPC中有

OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）

解得OP=OCcosα1cos（α-β） ②

將②式代入①式得

t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos（α-2β）]g

經(jīng)分析得知，當(dāng)cos（α-2β）=1，即β=α12時(shí)，求得t的最小值，即β=α12時(shí)，t最短。

案例2如圖2，底角為θ的斜面頂端，以初速度為v0水平拋出一小球，忽略阻力，則小球被拋出后，求離開斜面的最大距離H？

圖2解析解決此題的關(guān)鍵是分析什么時(shí)間小球距離斜面的距離最大。從圖形可以看出只有當(dāng)所拋物體的速度方向與斜面平行時(shí)，二者的距離最大。解決問題的過程中，首先建立坐標(biāo)系，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由

vy=v0tanθ=gt，

解得t=v01gtanθ，

該點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ）。

由幾何關(guān)系得

H/cosθ+y=xtanθ。

圖3案例3如圖3中所示，一人的質(zhì)量視為m，此人在一個(gè)長是l、重是M的鐵板一端勻加速跑向另一端，且在另一端驟然停止。假如鐵板和水平面間的摩擦因數(shù)是μ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′，且μ′μ。求人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L？

解析題干中告知的是人跑向另一方之后驟然停止，人原有的動(dòng)量就轉(zhuǎn)化成與鐵板一起向前沖的動(dòng)量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度

a1=f1M+m=μ（M+m）g1M+m=μg。

鐵板移動(dòng)距離L=v′212a1越大，L越大。v′是人與鐵板的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí)，人若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力μ（M+m）g，根據(jù)牛頓第二定律得F=ma2+M·0

解得a2=F1m=μM+m1mg ①

設(shè)v、v′分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

因?yàn)閙v=（M+m）v′ ②

且v2=2a2l，v′2=2a1L

將a1、a2代入②式

解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

筆者查閱高中階段的各類物理考試和競賽試題發(fā)現(xiàn)，目前高中物理試題考察的角度已經(jīng)不是簡單的物理定律和理論知識，而是學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力、邏輯思維能力和思變意識。極限法和極限思維本來是一種數(shù)學(xué)思維，在物理學(xué)上近些年開始廣泛地使用。極限法在高中物理中的應(yīng)用主要針對物理對象的過程和狀態(tài)的變化，按照物理過程的變化趨勢合理外推到極端的情況。這種方法的應(yīng)用為物理難題的解決找到了突破口和切入點(diǎn)，一定程度上簡化了解題過程和提高了解題效率。筆者通過大量的案例來詮釋極限法在高中物理試題解答中的具體應(yīng)用。

案例1如圖1中所示，角度數(shù)為OP的斜面上方有一點(diǎn)O，在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道，并且滿足這一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。試問直軌道與豎直方向的夾角β是多少？

圖1試題解析從題干中給出的條件知道質(zhì)點(diǎn)沿OP做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)該和待求的問題β角有一定的關(guān)系，從另外一個(gè)角度分析，只要解答t對于β角的函數(shù)的極值就可以解決問題。

對于學(xué)過的物理知識，需要運(yùn)用的是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。由此可知，這一質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為a=gcosβ，該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t，

則112at2=OP，

解得t=2OOP1gcosβ ①

利用數(shù)學(xué)關(guān)系式，在△OPC中有

OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）

解得OP=OCcosα1cos（α-β） ②

將②式代入①式得

t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos（α-2β）]g

經(jīng)分析得知，當(dāng)cos（α-2β）=1，即β=α12時(shí)，求得t的最小值，即β=α12時(shí)，t最短。

案例2如圖2，底角為θ的斜面頂端，以初速度為v0水平拋出一小球，忽略阻力，則小球被拋出后，求離開斜面的最大距離H？

圖2解析解決此題的關(guān)鍵是分析什么時(shí)間小球距離斜面的距離最大。從圖形可以看出只有當(dāng)所拋物體的速度方向與斜面平行時(shí)，二者的距離最大。解決問題的過程中，首先建立坐標(biāo)系，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由

vy=v0tanθ=gt，

解得t=v01gtanθ，

該點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ）。

由幾何關(guān)系得

H/cosθ+y=xtanθ。

圖3案例3如圖3中所示，一人的質(zhì)量視為m，此人在一個(gè)長是l、重是M的鐵板一端勻加速跑向另一端，且在另一端驟然停止。假如鐵板和水平面間的摩擦因數(shù)是μ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′，且μ′μ。求人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L？

解析題干中告知的是人跑向另一方之后驟然停止，人原有的動(dòng)量就轉(zhuǎn)化成與鐵板一起向前沖的動(dòng)量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度

a1=f1M+m=μ（M+m）g1M+m=μg。

鐵板移動(dòng)距離L=v′212a1越大，L越大。v′是人與鐵板的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí)，人若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力μ（M+m）g，根據(jù)牛頓第二定律得F=ma2+M·0

解得a2=F1m=μM+m1mg ①

設(shè)v、v′分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

因?yàn)閙v=（M+m）v′ ②

且v2=2a2l，v′2=2a1L

將a1、a2代入②式

解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint

筆者查閱高中階段的各類物理考試和競賽試題發(fā)現(xiàn)，目前高中物理試題考察的角度已經(jīng)不是簡單的物理定律和理論知識，而是學(xué)生的實(shí)際應(yīng)用能力、邏輯思維能力和思變意識。極限法和極限思維本來是一種數(shù)學(xué)思維，在物理學(xué)上近些年開始廣泛地使用。極限法在高中物理中的應(yīng)用主要針對物理對象的過程和狀態(tài)的變化，按照物理過程的變化趨勢合理外推到極端的情況。這種方法的應(yīng)用為物理難題的解決找到了突破口和切入點(diǎn)，一定程度上簡化了解題過程和提高了解題效率。筆者通過大量的案例來詮釋極限法在高中物理試題解答中的具體應(yīng)用。

案例1如圖1中所示，角度數(shù)為OP的斜面上方有一點(diǎn)O，在O點(diǎn)放一至斜面的光滑直軌道，并且滿足這一質(zhì)點(diǎn)從O點(diǎn)沿軌道到達(dá)斜面P點(diǎn)的時(shí)間最短。試問直軌道與豎直方向的夾角β是多少？

圖1試題解析從題干中給出的條件知道質(zhì)點(diǎn)沿OP做的是勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)的時(shí)間應(yīng)該和待求的問題β角有一定的關(guān)系，從另外一個(gè)角度分析，只要解答t對于β角的函數(shù)的極值就可以解決問題。

對于學(xué)過的物理知識，需要運(yùn)用的是牛頓運(yùn)動(dòng)定律。由此可知，這一質(zhì)點(diǎn)沿光滑軌道下滑的加速度為a=gcosβ，該質(zhì)點(diǎn)沿軌道由靜止滑到斜面所用的時(shí)間為t，

則112at2=OP，

解得t=2OOP1gcosβ ①

利用數(shù)學(xué)關(guān)系式，在△OPC中有

OP1sin（90°-α）=OC1sin（90°+α-β）

解得OP=OCcosα1cos（α-β） ②

將②式代入①式得

t=2OCcosα1gcosβcos（α-β）=4OC1[cosα+cos（α-2β）]g

經(jīng)分析得知，當(dāng)cos（α-2β）=1，即β=α12時(shí)，求得t的最小值，即β=α12時(shí)，t最短。

案例2如圖2，底角為θ的斜面頂端，以初速度為v0水平拋出一小球，忽略阻力，則小球被拋出后，求離開斜面的最大距離H？

圖2解析解決此題的關(guān)鍵是分析什么時(shí)間小球距離斜面的距離最大。從圖形可以看出只有當(dāng)所拋物體的速度方向與斜面平行時(shí)，二者的距離最大。解決問題的過程中，首先建立坐標(biāo)系，以水平向右為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向，則由

vy=v0tanθ=gt，

解得t=v01gtanθ，

該點(diǎn)的坐標(biāo)為 （x=v0t=v201gtanθy=112gt2=v2012gtan2θ）。

由幾何關(guān)系得

H/cosθ+y=xtanθ。

圖3案例3如圖3中所示，一人的質(zhì)量視為m，此人在一個(gè)長是l、重是M的鐵板一端勻加速跑向另一端，且在另一端驟然停止。假如鐵板和水平面間的摩擦因數(shù)是μ，人和鐵板間摩擦因數(shù)為μ′，且μ′μ。求人能使鐵板朝其跑動(dòng)方向移動(dòng)的最大距離L？

解析題干中告知的是人跑向另一方之后驟然停止，人原有的動(dòng)量就轉(zhuǎn)化成與鐵板一起向前沖的動(dòng)量，此后，地面對載人鐵板的阻力是地面對鐵板的摩擦力f，其加速度

a1=f1M+m=μ（M+m）g1M+m=μg。

鐵板移動(dòng)距離L=v′212a1越大，L越大。v′是人與鐵板的速度，因此人應(yīng)以不會(huì)引起鐵板運(yùn)動(dòng)的最大加速度奔跑。人在鐵板上奔跑但鐵板沒有移動(dòng)時(shí)，人若達(dá)到最大加速度，則地面與鐵板之間的摩擦力達(dá)到最大靜摩擦力μ（M+m）g，根據(jù)牛頓第二定律得F=ma2+M·0

解得a2=F1m=μM+m1mg ①

設(shè)v、v′分別是人奔跑結(jié)束及人和鐵板一起運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度

因?yàn)閙v=（M+m）v′ ②

且v2=2a2l，v′2=2a1L

將a1、a2代入②式

解得L=m1M+mlH=v2012gtanθ·sinθ。endprint