分解速度 簡(jiǎn)化解題

龔志會(huì)

摘 要：速度是矢量，可以進(jìn)行合成與分解。在解決高中物理的很多問(wèn)題時(shí)，分解速度都會(huì)使解題變得簡(jiǎn)單，特別是對(duì)于輕繩連接的物體。選擇了幾個(gè)具體實(shí)例，其中涉及分析物體受力、動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒定律、光學(xué)等知識(shí)，體現(xiàn)了分解速度的思想對(duì)解題的簡(jiǎn)化。

關(guān)鍵詞：速度；矢量；分解；連接體

速度是矢量，所以速度的運(yùn)算應(yīng)該滿足矢量運(yùn)算法則，即速度可以進(jìn)行合成與分解。直接應(yīng)用常見(jiàn)的是“用繩子連接的兩個(gè)物體，由于繩的傾角等因素，求解繩兩端所連接物體速度大小關(guān)系”。其實(shí)不僅限于此，“速度的分解”與物體受力、能量、光學(xué)等知識(shí)都可以聯(lián)系在一起。下面就幾個(gè)具體應(yīng)用進(jìn)行討論。

簡(jiǎn)化解決連接體問(wèn)題：

例1．如圖所示，在離水面高H的岸邊有人以大小為v0的速度勻速收繩使船靠岸。當(dāng)船與岸上的定滑輪水平距離為x時(shí)，船速是多大？

解答：收繩時(shí)使船靠岸，船水平向左運(yùn)動(dòng)（船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向）是合運(yùn)動(dòng)，其速度為v。可看成是由兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)：即一個(gè)分運(yùn)動(dòng)是沿繩收縮方向，速度大小v1=v0；另一個(gè)是垂直于繩使繩擺動(dòng)的方向，設(shè)速度大小為v2。

設(shè)此時(shí)繩與水平面的夾角為θ，則

cosθ=■，由圖可以看出：v=■·v0

本題中，要通過(guò)速度的分解，找到收繩的速度與船實(shí)際速度的關(guān)系式，從而解決問(wèn)題，是速度分解的基本應(yīng)用。

簡(jiǎn)化解決受力分析問(wèn)題：

例2．如圖所示，在不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，小車勻速向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A的受力情況是

A.繩的拉力大于A的重力；

B.繩的拉力等于A的重力；

C.繩的拉力小于A的重力；

D.繩的拉力先大于A的重力，后變?yōu)樾∮贏的重力。

解答：物體A和小車通過(guò)繩子連接，其中，物體A的速度方向沿繩，而小車的實(shí)際速度水平向右，所以，小車的速度可分解為兩個(gè)分速度：其中一個(gè)沿繩收縮的方向，速度大小與A速度大小相同，設(shè)為vA；另一個(gè)是垂直于繩使繩擺動(dòng)的方向，設(shè)為v1.

設(shè)繩與水平方向的夾角為θ，則如右圖所示，

vA=v車cosθ，由于車向右運(yùn)動(dòng)速度v車不變，夾角θ變小，其余弦值變大，所以vA變大，即A物體速度一直增大，所以A物體具有向上的加速度，則繩的拉力大于A的重力。選項(xiàng)A正確。

通過(guò)本題我們不難看出，繩兩端連接的物體，由于繩夾角的變化，可以通過(guò)速度的分解找到一端物體速度的大小變化，根據(jù)這一定性的變化，可以判斷加速度方向，根據(jù)牛頓第二定律，即可判斷物體所受繩子拉力大于物體重力。

簡(jiǎn)化解決動(dòng)能定理問(wèn)題：

例3．一輛汽車用如圖所示的細(xì)繩提起井中質(zhì)量為m的物體，開(kāi)始時(shí)，車在A點(diǎn)，繩子已經(jīng)拉緊且是豎直，左側(cè)繩長(zhǎng)為H，提升時(shí)，車加速向左運(yùn)動(dòng)，沿水平方向從A經(jīng)過(guò)B駛向C。設(shè)A到B的距離也為H，車過(guò)B點(diǎn)時(shí)的速度為v。求車由A移到B的過(guò)程中，繩Q端的拉力對(duì)物體做的功。設(shè)繩和滑輪的質(zhì)量及摩擦不計(jì)，滑輪尺寸不計(jì)。

解答：

由汽車的速度入手分析，汽車運(yùn)動(dòng)的實(shí)際速度為沿水平方向向左，經(jīng)此位置時(shí)速度大小為v，可以分解為兩個(gè)方向分速度。一個(gè)為沿繩方向設(shè)為v1，與物體上升的速度相同；另一個(gè)為垂直于繩的設(shè)為v2。如圖所示：

則：vcos45°=v1

對(duì)m分析，繩Q端的拉力對(duì)物體做正功，物體重力做負(fù)功，物體動(dòng)能增加。

根據(jù)動(dòng)能定理得：W-mg■-H=■mv21

W=mg（■-1）H+■mv2

簡(jiǎn)化解決機(jī)械能守恒定律問(wèn)題：

例4．物體A質(zhì)量為mA=10 kg，置于光滑的水平面上，物體B的質(zhì)量為mB=1 kg，用輕繩通過(guò)兩等高的定滑輪與A連接，如圖所示，h=0.5 m，A、B由圖示位置從靜止開(kāi)始釋放，此時(shí)θ=30°（忽略繩與滑輪間的摩擦及滑輪的質(zhì)量），求（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A物體的最大速度vA的大??；（2）當(dāng)繩與水平方向夾角為60°時(shí)A的速度為多少？

解答：

（１）當(dāng)A物體達(dá)到最大速度時(shí)，連接A的輕繩處于豎直方向，則此過(guò)程中，連接B的繩端點(diǎn)高度下降，B物體重力勢(shì)能減少，A動(dòng)能增大，由能量守恒得：

mBg■-h=■mAv2A

vA=1 m/s

（2）當(dāng)繩與水平方向夾角為60°時(shí)，A、B物體均具有動(dòng)能。此時(shí)，A物體速度沿水平方向向左設(shè)為v，B物體速度沿繩所在方向，設(shè)為vB，則v·cos60°=vB

根據(jù)能量守恒：mBg■-■=■mAv2+■mBvB2

解得：v2=0.82 v≈0.9 m/s

這兩個(gè)例題中，兩物體通過(guò)繩子相連接，組成一個(gè)系統(tǒng)，完成一段運(yùn)動(dòng)過(guò)程。在例3中，要求出繩端點(diǎn)處拉力對(duì)物體做的功，由于題目中沒(méi)有明確拉力是恒力還是變力，所以，應(yīng)選擇用動(dòng)能定理解題。而題目中的已知條件是經(jīng)B位置時(shí)汽車的速度大小，就要把汽車在B點(diǎn)的速度分解，根據(jù)兩速度的關(guān)系，找到物體此時(shí)的速度大小，再結(jié)合動(dòng)能定理，本題不難求解。

在例4中，兩物體和繩組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，但是一個(gè)機(jī)械能守恒的方程不能同時(shí)求解出兩個(gè)物體此時(shí)的速度大小，所以還要分析兩者速度的大小關(guān)系，這就要用到速度的合成與分解。通過(guò)這個(gè)速度關(guān)系的輔助方程，本題不難求解。

簡(jiǎn)化解決光學(xué)問(wèn)題：

例5．如圖所示，點(diǎn)光源S發(fā)出的光通過(guò)光屏AB上的孔Q射到平面鏡M上，光屏與平面鏡初始位置平行，光線SO方向與平面鏡初始位置垂直，且OQ=d，當(dāng)平面鏡繞過(guò)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸以角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)30°時(shí)，光線SO經(jīng)平面鏡反射在光屏AB上的光點(diǎn)P沿AB移動(dòng)的瞬時(shí)速度為.

解答：

平面鏡轉(zhuǎn)過(guò)30°角度，則法線轉(zhuǎn)過(guò)30°角，那么反射光線相對(duì)于原來(lái)位置轉(zhuǎn)過(guò)60°角，所以此時(shí)OP連線與OQ連線夾角為60°。對(duì)于光點(diǎn)P在光屏AB上的運(yùn)動(dòng)實(shí)際在豎直方向上設(shè)為vP，所以P點(diǎn)可以看作兩個(gè)方向分運(yùn)動(dòng)的合成，即一個(gè)是沿OP方向延伸的速度，方向由O指向P，設(shè)為v1；另一個(gè)是光線繞O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，方向垂直于OP指向左上方，設(shè)為v2。如圖所示：

則vPcos60°=v1

根據(jù)光學(xué)知識(shí)v1=2ω·OP，

由幾何知識(shí)，OP=2d

聯(lián)立解得：vP=8ωd

在本題中提到的光點(diǎn)P實(shí)際是光線OP與光屏AB的交點(diǎn)，光線OP隨平面鏡繞O點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，而光屏AB位于豎直面內(nèi)，所以光點(diǎn)實(shí)際運(yùn)動(dòng)沿著豎直方向。由已知條件，可以根據(jù)角速度就得光線OP轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，進(jìn)一步即可求得光線OP上的點(diǎn)繞O轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度，所以，要根據(jù)速度的分解找到P點(diǎn)沿光屏移動(dòng)的實(shí)際速度與繞O逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的線速度之間的關(guān)系，從而解得P點(diǎn)的實(shí)際速度。

綜上，分解速度，不僅是求解“繩連接物體”瞬時(shí)速度關(guān)系的一種方法，還經(jīng)常與其他知識(shí)相結(jié)合用來(lái)解題。在解題時(shí)巧用速度的分解，可以簡(jiǎn)化解題。

以上僅為個(gè)人的一點(diǎn)感受，如有不足之處，歡迎批評(píng)指正。

編輯 李建軍