環(huán)F4+νF4上的二次剩余碼

高 芳

（池州學院 數(shù)學與計算機科學系，安徽 池州 247000）

1 預備知識

2 主要結(jié)論

當P≡-3（mod）8 時，令

當P≡3（mod）8 時，令

當P≡-1（mod）8 時，令

當P≡1（mod）8 時，令

以下結(jié)論成立：

Q1+Q2的冪等生成元為：

[(1+ν)(1+a)+ν(1+b)][(1+ν)(1+b)+ν(1+a)]-[(1+ν)(1+a)+ν(1+b)][(1+ν)(1+b)+ν(1+a)]=1+a+1+b-(1+a)(1+b)=1，即有 Q1+Q2=(F4+νF4)[x]/(xp-1)，

（2） 由（1）可得：

Q1+Q2的冪等生成元為：

(1+ν)a+νb+(1+ν)b+νa-[(1+ν)a+νb][(1+ν)b+νa]=a+b-ab=1，

因此 Q1+Q2=（F4+νF4）[x]/(xp-1)，

（2） 由（1）可得：

[(1+ν)e1+νe2][(1+ν)e2+νe1]=(1+ν)e1e2+νe1e2=e1e2=h，即Q1+Q2的冪等生成元為：

[(1+ν)e1+νe2]+[(1+ν)e2+νe1]-[(1+ν)e1+νe2][(1+ν)e2+νe1]=e1+e2-νe1e2=e1e2=1，

則 Q1+Q2=(F4+νF4)[x]/(xp-1)，

同理

當P≡1（mod）8 時，

[(1+ν)(1+e1)+ν(1+e2)][(1+ν)(1+e2)+ν(1+e1)=(1+ν)(1+e1+e2)+v(1+e1+e2)=1+e1+e2=h，即有

Q1+Q2的冪等生成元為：

[(1+ν)(1+e1)+ν(1+e2)]+[(1+ν)(1+e2)+ν(1+e1)

[(1+ν)(1+e1)+ν (1+e2)][(1+ν)(1+e2)+ν (1+e1)]=e1+e2-（1+e1+e2）=1，

[(1+ν)e2+νe1][(1+ν)e1+νe2]=e1e2=0

（2） 由（1）可得：

[1]Pless V S,Qian Zhong qiang.Cyclic codes and quadratic residue codes over[J].IEEE Trans Inform Theory,1996,42(5):1594-1600.

[2]Jian Gao,Yun Gao.Some Results on Linear Codes over Z4+νZ4[DB/OL].(2014-02-27).http://arxiv.org/abs/1402.6771.

[3]Kaya A,Yildiz B,Siap I.Quadratic Residue Codes over Fp+νFpand their Gray Images[DB/OL].(2013-05-20).http://arxiu.Erg/abs//305.4508.

[4]MacWilliams,F.J.and Sloane,N.J.A.The Theory ofError correcting codes[M].New York:North-Holland,1977.