初中數(shù)學(xué)中的最值問題

毛小霞

求最值問題是常見的題型，沒有固定的公式，應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析，靈活地運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想、方法和解題技巧，找到解題的途徑，達(dá)到解決最值問題的目的。下面，本人根據(jù)平時(shí)的教學(xué)，就這個(gè)問題中的常見的類型和常用的方法思路列舉出來跟大家一起學(xué)習(xí)。

一、利用對稱性

利用軸對稱性求最短距離是近幾年中考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)考題，因此成為我們研究的重點(diǎn)。下面，就初中數(shù)學(xué)中利用軸對稱性來解決最值問題作歸納、分析。基本模型：如圖1，點(diǎn)A、B分別表示兩個(gè)居民小區(qū)，若直線 L 表示燃?xì)夤艿溃谄渑越ㄒ粋€(gè)泵站，使從該站向兩個(gè)小區(qū)輸氣的管道總長最短，應(yīng)如何確定泵站的位置？請?jiān)趫D中畫出。

如圖2，作點(diǎn)A 關(guān)于直線L 的對稱點(diǎn)A'，連接A'B與直線L 交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C為求泵站位置。

例1：如圖3，已知點(diǎn)P是邊長為2的正三角形ABC的中線AD上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊的中點(diǎn)，則PC+PE的最小值是____。分析與解：根據(jù)基本模型，點(diǎn)C、點(diǎn)E是定點(diǎn)，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，而C點(diǎn)關(guān)于直線AD對稱點(diǎn)就是B點(diǎn)，連結(jié)BE交AD于P'，則PC+PE的最小值為BE的長，而BE是正三角形的高。∵BE= ，∴PC+PE的最小值為 。

例2：如圖4，點(diǎn)A是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)B是弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是半徑ON上的動(dòng)點(diǎn)，若圓 O的半徑為2，則AP+BP的最小值是____。

圖4 圖5 圖6

分析與解：根據(jù)基本模型，先找出其中一個(gè)定點(diǎn)關(guān)于定直線的對稱點(diǎn)，然后該對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)的連線與定直線的交點(diǎn)就是所要確定的點(diǎn)，這樣問題就解決了。由題意知： ∠AON=60O，∠BON=30O，取點(diǎn)B關(guān)于ON的對稱點(diǎn)B'則∠B'ON=30O，則AP+BP的最小值為AB'，∵∠AOB'=90O，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB' =2 ，∴AP+BP的最小值2 。

從上面不難看出，利用軸對稱性求線段之和的最小值時(shí)，常把某些定點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)軸對稱變換，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短或三角形三邊的關(guān)系，將問題歸類，舉一反三、觸類旁通，問題就迎刃而解了。

二、運(yùn)用基本不等式a+b≥2 （a，b均為正實(shí)數(shù)）

常利用基本不等式：a+b≥2 ，ab≤（ ）2，a2+b2≥2ab， + ≥2。

例3：在凸四邊形ABCD 中，對角線AC、BD 交于O 點(diǎn)，若

S△OAD = 9，S△OBC = 25，則凸四邊形ABCD 面積的最小值是多少？

分析與解法： 如圖5，設(shè)S△OAB=a，S△OCD=b，因?yàn)楦呦嗤膬蓚€(gè)三角形的面積之比等于底之比， = = ，∴ = ，∴ab=225，∴a+b≥2 =2 =30，∴凸四邊形ABCD 面積的最小值是9+25+30=64。

分析與解法二：如圖6，作AE⊥BD，CF⊥BD垂足為E、F，設(shè)AE=x，CF=y，∵S△OAD=9，S△OBC=25，∴ OD·x=9， OB·y=25，∴ OD= ， OB= ，S△OAB+S△OCD= OB·x+ OD·y≥2 =30，∴凸四邊形ABCD 面積的最小值是9+25+30=64。

上面例題中的兩種解法雖說設(shè)法不同，但都離不開基本不等式a+b≥2 的應(yīng)用。

三、利用圓中弦心距的性質(zhì)

經(jīng)過一點(diǎn)的弦中，弦心距越大，弦長越小，弓形面積越小；弦心距越小，弦長越大，弓形面積越大。求弓形面積的最值。

例4：如圖7，在半徑為2的圓中，圓內(nèi)的一點(diǎn)P到圓心O的距離為1，過P點(diǎn)的弦AB與劣弧AB 組成弓形面積的最小值為多少？

分析與解：作OQ⊥AB垂足為Q，若點(diǎn)Q與點(diǎn)P不重合，連接OP， 過點(diǎn)P作弦A'B'⊥OP，在Rt△OQP中，弦心距OQ

四、利用一元二次方程的根的判別式

在求與一元二次方程有關(guān)的問題時(shí)，常利用一元二次方程根的判別式求最值。下面舉例分析：

例5：實(shí)數(shù)x，y滿足x2-2x-4y=5，則x-3y的最大值是多少？

分析與解：設(shè)t=x-3y得y= ，代入x2-2x-4y=5中有x2-2x-

4× =5， 整理有：3x2-10x+4t-15=0。∵方程3x2-10x+4t-15=0有實(shí)數(shù)根，∴△=102-4×3×（4t-15）≥0，∴t≤ ，即t=x-3y的最大值為 。

在代數(shù)中利用一元二次方程的判別式求最值是初中數(shù)學(xué)常用的方法，化成所含未知數(shù)的一元二次方程，用判別式來求是解決這類問題的基本思路。

以上是求最值問題的一些心得，與大家一起學(xué)習(xí)。最值問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯思維性，通過對稱性、不等式、弓形中的弦心距、一元二次方程中根的判別式等特征的認(rèn)識(shí)，能讓學(xué)生開拓思維，提高分析能力，找到適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，激發(fā)他們對探索數(shù)學(xué)的向往和追求。

（江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué)校）