初中數(shù)學(xué)中的最值問題

毛小霞

求最值問題是常見的題型，沒有固定的公式，應(yīng)結(jié)合圖形進行分析，靈活地運用各種數(shù)學(xué)思想、方法和解題技巧，找到解題的途徑，達到解決最值問題的目的。下面，本人根據(jù)平時的教學(xué)，就這個問題中的常見的類型和常用的方法思路列舉出來跟大家一起學(xué)習(xí)。

一、利用對稱性

利用軸對稱性求最短距離是近幾年中考數(shù)學(xué)中的熱點考題，因此成為我們研究的重點。下面，就初中數(shù)學(xué)中利用軸對稱性來解決最值問題作歸納、分析。基本模型：如圖1，點A、B分別表示兩個居民小區(qū)，若直線 L 表示燃氣管道，欲在其旁建一個泵站，使從該站向兩個小區(qū)輸氣的管道總長最短，應(yīng)如何確定泵站的位置？請在圖中畫出。

如圖2，作點A 關(guān)于直線L 的對稱點A'，連接A'B與直線L 交于點C，則點C為求泵站位置。

例1：如圖3，已知點P是邊長為2的正三角形ABC的中線AD上的動點，E是AC邊的中點，則PC+PE的最小值是____。分析與解：根據(jù)基本模型，點C、點E是定點，點P是動點，而C點關(guān)于直線AD對稱點就是B點，連結(jié)BE交AD于P'，則PC+PE的最小值為BE的長，而BE是正三角形的高。∵BE= ，∴PC+PE的最小值為 。

例2：如圖4，點A是半圓上一個三等分點，點B是弧AN的中點，點P是半徑ON上的動點，若圓 O的半徑為2，則AP+BP的最小值是____。

圖4 圖5 圖6

分析與解：根據(jù)基本模型，先找出其中一個定點關(guān)于定直線的對稱點，然后該對稱點與另一定點的連線與定直線的交點就是所要確定的點，這樣問題就解決了。由題意知： ∠AON=60O，∠BON=30O，取點B關(guān)于ON的對稱點B'則∠B'ON=30O，則AP+BP的最小值為AB'，∵∠AOB'=90O，∴△AOB為等腰直角三角形，∴AB' =2 ，∴AP+BP的最小值2 。

從上面不難看出，利用軸對稱性求線段之和的最小值時，常把某些定點進行適當(dāng)軸對稱變換，根據(jù)兩點之間線段最短或三角形三邊的關(guān)系，將問題歸類，舉一反三、觸類旁通，問題就迎刃而解了。

二、運用基本不等式a+b≥2 （a，b均為正實數(shù)）

常利用基本不等式：a+b≥2 ，ab≤（ ）2，a2+b2≥2ab， + ≥2。

例3：在凸四邊形ABCD 中，對角線AC、BD 交于O 點，若

S△OAD = 9，S△OBC = 25，則凸四邊形ABCD 面積的最小值是多少？

分析與解法： 如圖5，設(shè)S△OAB=a，S△OCD=b，因為高相同的兩個三角形的面積之比等于底之比， = = ，∴ = ，∴ab=225，∴a+b≥2 =2 =30，∴凸四邊形ABCD 面積的最小值是9+25+30=64。

分析與解法二：如圖6，作AE⊥BD，CF⊥BD垂足為E、F，設(shè)AE=x，CF=y，∵S△OAD=9，S△OBC=25，∴ OD·x=9， OB·y=25，∴ OD= ， OB= ，S△OAB+S△OCD= OB·x+ OD·y≥2 =30，∴凸四邊形ABCD 面積的最小值是9+25+30=64。

上面例題中的兩種解法雖說設(shè)法不同，但都離不開基本不等式a+b≥2 的應(yīng)用。

三、利用圓中弦心距的性質(zhì)

經(jīng)過一點的弦中，弦心距越大，弦長越小，弓形面積越小；弦心距越小，弦長越大，弓形面積越大。求弓形面積的最值。

例4：如圖7，在半徑為2的圓中，圓內(nèi)的一點P到圓心O的距離為1，過P點的弦AB與劣弧AB 組成弓形面積的最小值為多少？

分析與解：作OQ⊥AB垂足為Q，若點Q與點P不重合，連接OP， 過點P作弦A'B'⊥OP，在Rt△OQP中，弦心距OQ

四、利用一元二次方程的根的判別式

在求與一元二次方程有關(guān)的問題時，常利用一元二次方程根的判別式求最值。下面舉例分析：

例5：實數(shù)x，y滿足x2-2x-4y=5，則x-3y的最大值是多少？

分析與解：設(shè)t=x-3y得y= ，代入x2-2x-4y=5中有x2-2x-

4× =5， 整理有：3x2-10x+4t-15=0。∵方程3x2-10x+4t-15=0有實數(shù)根，∴△=102-4×3×（4t-15）≥0，∴t≤ ，即t=x-3y的最大值為 。

在代數(shù)中利用一元二次方程的判別式求最值是初中數(shù)學(xué)常用的方法，化成所含未知數(shù)的一元二次方程，用判別式來求是解決這類問題的基本思路。

以上是求最值問題的一些心得，與大家一起學(xué)習(xí)。最值問題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的嚴謹性和邏輯思維性，通過對稱性、不等式、弓形中的弦心距、一元二次方程中根的判別式等特征的認識，能讓學(xué)生開拓思維，提高分析能力，找到適當(dāng)?shù)那腥朦c，激發(fā)他們對探索數(shù)學(xué)的向往和追求。

（江蘇省蘇州市吳江區(qū)松陵第一中學(xué)校）