雙列圓錐滾子軸承動力學分析

胡廣存，魏鐵建，鄧四二，賈永川，張 雪

（1.河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.許昌職業技術學院機電工程汽車系，河南 許昌 461000；3.南京林業大學機械電子工程學院，江蘇 南京 210037）

雙列圓錐滾子軸承動力學分析

胡廣存1，魏鐵建2，鄧四二1，賈永川1，張 雪3

（1.河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽 471003；2.許昌職業技術學院機電工程汽車系，河南 許昌 461000；3.南京林業大學機械電子工程學院，江蘇 南京 210037）

基于滾動軸承動力學理論，建立了雙列圓錐滾子軸承動力學分析模型。采用精細積分法和預估 －校正Adams-Bashforth-Moulton多步法相結合的方法，對軸承非線性動力學微分方程進行求解。研究了雙列圓錐滾子軸承的最大接觸壓力、滾子打滑率、滾子歪斜角以及軸承疲勞壽命等動態性能。分析結果表明：軸承的最大接觸壓力隨軸向預緊量的增加呈先減小后增大的趨勢，最佳預緊量隨外載荷的增加而變大；滾子歪斜角隨徑向載荷的增加而變大，“壓緊”側的滾子歪斜角略微大于“放松”側；軸承疲勞壽命隨軸向預緊量的增加而增大直至最大值，隨后迅速下降。

軸承動力學；雙列圓錐滾子軸承；軸向預緊量；疲勞壽命

0 引言

雙列圓錐滾子軸承具有承載能力大，可同時承受徑向和軸向聯合載荷以及壽命長等性能，被廣泛應用于汽車、機床、機車、軋機等重型機械行業。作為重要的動力傳動部件，雙列圓錐滾子軸承的動態性能直接影響到整機的正常運行。

文獻［1］首先提出了動力學分析模型，研究了4個自由度滾動體和6個自由度保持架的位移、速度以及軸承內部的打滑等，但是沒有考慮軸承受力不平衡時所產生的慣性力和慣性力矩的影響。隨后，文獻［2］根據動力學微分方程建立了滾動軸承動力學分析模型，對包括圓錐滾子軸承在內的各類軸承進行了全面的動態分析，但該分析模型十分復雜，未能在實際中得到應用。文獻［3］利用數值計算方法對雙列圓錐滾子軸承動力學微分方程進行求解，提出了雙列圓錐滾子軸承的綜合模型，研究了軸承在非New ton流變模型下的拖動等性能，但忽略了保持架的平移運動。國內學者也對軸承力學性能進行了研究。文獻［4］對彈性接觸問題的基本方程進行了研究，給出了圓錐滾子軸承接觸應力的簡化算法和步驟。文獻［5］研究了圓錐滾子軸承負荷分布并給出了相應的計算方法，建立了軸承系統承載運行時的平衡方程。

目前，國內外對圓錐滾子軸承的研究大多以單列為主，對雙列圓錐滾子軸承的動力學分析較少。鑒于此，針對某一型號雙列圓錐滾子軸承，利用滾動軸承動力學理論［6］，結合圓柱滾子軸承仿真分析［7］，建立雙列圓錐滾子軸承動力學分析模型，采用精細積分法和預估－校正Adams-Bashforth-Moulton多步相結合的方法，對軸承非線性動力學微分方程進行求解，并開發了雙列圓錐滾子軸承動力學分析軟件DTRB／HKD。在此基礎上，研究了雙列圓錐滾子軸承滾子與滾道、大擋邊間的最大接觸壓力，滾子打滑率、滾子歪斜角以及軸承疲勞壽命等動態性能，為今后軸承的優化分析提供了理論性指導。

1 軸承動力學模型

圖1為雙列圓錐滾子軸承幾何模型示意圖。雙列圓錐滾子軸承的兩個內圈通過鎖扣連結在一起，并進行固定，外圈以角速度ωe帶動保持架與滾動體一起旋轉。為了便于分析，引入以下主要坐標系：原點在軸承中間橫截面上的空間慣性坐標系（X，Y，Z），外圈坐標系（Xe，Ye，Ze）以及滾子坐標系（Xrm，Yrm，Zrm）。下標m表示軸承列數，m＝1，2（表示軸承列1和列2，下同）。

1.1 滾動體與滾道間的接觸載荷

雙列圓錐滾子軸承會受到軸向載荷、徑向載荷以及傾覆力矩的綜合作用，滾動體發生傾斜、歪斜，使軸承內部相互作用變得更為復雜。針對上述問題，本文采用“切片法”［8］計算滾子與滾道間的接觸載荷，如圖2所示。根據經典Hertz彈性線接觸理論，每一切片上滾動體與滾道間的接觸壓力為：

式中，qi（e）jk是第j個滾子第k個切片與內外滾道的法向接觸壓力；Ki（e）是滾子與內外滾道接觸處的負荷－變形常數；δi（e）jk是第j個滾子第k個切片與滾道間的彈性變形量；i、e分別表示內、外滾道（下同）。

滾子與滾道間的總接觸載荷，可由滾動體有效接觸長度Ls上每一片與滾道的接觸壓力沿滾動體軸線方向進行積分求和得到：

圖2 滾子與滾道間作用力

1.2 滾動體與滾道間的拖動力

滾動體與滾道間的潤滑劑在擠壓過程中會在接觸表面形成潤滑油膜。滾動體與內外滾道接觸處由于相對滑動引起的摩擦力可根據潤滑劑的拖動力來計算。圖2為滾子與滾道間作用力，沿著滾動體軸線方向對滾動體進行切片，則滾子與滾道間的拖動力為每一片上拖動力的總和：

每一切片上的拖動力可表示為：

式中，qi（e）jk是第j個滾子第k個切片與內外滾道的法向接觸壓力；μi（e）jk是第j個滾子第k個切片的潤滑油膜拖動系數，見參考文獻［9］。

1.3 滾動體與內圈大擋邊間的接觸載荷

軸承在運轉過程中，滾動體通常與內圈大擋邊接觸。此處假設圓錐滾子大端面為球形基面，內圈大擋邊為錐形面。滾子與大擋邊間接觸處表面上會產生一接觸橢圓區，如圖3所示。在接觸橢圓區域上，假設滾動體與大擋邊間的作用力作用在最大彈性變形點處，則根據文獻［10］的研究成果可得到滾子端部與大擋邊間接觸力為：

圖3 滾動體與大擋邊間作用力

式中，k0＝1．033 9（Rη／Rξ）0．636；Rη、Rξ為兩物體接觸點處的等效曲率半徑；E′為滾動體與軸承內圈大擋邊的當量彈性模量

滾子大端端面與大擋邊間的摩擦力為：

滾子大端端面與大擋邊間的摩擦力矩為：

式中，μfj為滾子大端球基面與擋邊間接觸點的摩擦因數［11］；h為滾子大端球基面與擋邊接觸點的高度；L1為滾子偏斜中心距滾子大端的距離；αzj、αyj分別為滾子的傾斜角及歪斜角。

1.4 滾動體與保持架間的接觸載荷

滾動體在滾道上滾動，同時又在保持架兜孔內繞自身軸線進行轉動。當滾子公轉速度大于保持架公轉速度時，滾子推動保持架向前運動；滾子公轉速度小于保持架公轉速度時，滾子阻礙保持架向前運動。滾動體與保持架兜孔之間既存在法向接觸載荷，也存在著切向摩擦力，如圖4所示。滾動體與保持架兜孔間的法向接觸載荷計算，可采用滾動體與滾道間接觸載荷的“切片法”，滾子與保持架兜孔間的接觸載荷計算如下：

圖4 滾動體與保持架兜孔間作用力

式中，Qcj1（2）為滾子與保持架兜孔間的法向接觸載荷；A為彈性變形量與外部載荷之間的系數，A＝1.36η0．9，η為兩接觸物體的綜合彈性常數；Ls為滾子有效接觸長度。

滾子與保持架兜孔間的摩擦力和力矩分別為：

式中，μcj為滾子與保持架兜孔間的摩擦因數［10］為潤滑劑動力黏度，nrol為滾子自轉角速度；Qcj1（2）為滾子與保持架兜孔間的法向接觸載荷。

1.5 軸承動力學微分方程

根據軸承內部間的相互作用，得出軸承各個部件在平動和轉動方向上的動力學微分方程，本文以軸承動圈（外圈）為例，列出雙列圓錐滾子軸承的外圈動力學微分方程：

軸承外圈質心在平動方向上的動力學微分方程，

軸承外圈圍繞自身軸線旋轉的動力學微分方程，

式中，列1取上面的符號，列2取下面的符號；Ge為外圈質量為外圈質心沿著慣性坐標系（X，Y， Z）的位移加速度分別為外圈繞慣性坐標系（X，Y，Z）的轉動慣量；φj為雙列圓錐滾子軸承第j個滾動體在慣性坐標系下的方位角；αi、αe為內外滾道接觸角，γ為平均接觸角，γ＝（αe＋αi）／2。

2 軸承動態性能分析

本文以某型號雙列圓錐滾子軸承為例，軸承主參數見表1。結合雙列圓錐滾子軸承動力學模型，采用精細積分法和預估－校正Adams-Bashforth-Mouhon多步法相結合的算法，對雙列圓錐滾子軸承動力學微分方程進行積分求解，在此基礎上，開發了雙列圓錐滾子軸承動力學分析軟件DTRB／HKD。

分析軟件DTRB／HKD是以多體動力學軟件ADAMS為平臺，利用其自身宏命令對軸承建模進行的二次開發，并采用計算機編程語言編寫軸承內部元件間的相互作用力子程序，實現程序與軸承實體模型的動態鏈接，進而對軸承進行動力學分析。圖5是DTRB／HKD分析軟件的軸承實體建模的部分界面。

假設軸承運行溫度為 80℃，處于完全彈流油潤滑狀態。本文采用所開發的動力學分析軟件DTRB／HKD，在轉速為1 000 r／min，不同軸向預緊量△0，不同徑向載荷Fr下，對雙列圓錐滾子軸承進行動力學分析，可得到軸承內滾動體與內外滾道及大擋邊間的最大接觸壓力、滾子打滑率、滾子歪斜角和軸承疲勞壽命等力學性能。

表1 軸承主參數

圖5 軟件DTRB／HKD的軸承實體建模界面

2.1 最大接觸壓力

圖6和圖7為滾子與滾道間的最大接觸壓力。從圖6和圖7中可以看出：隨著軸向預緊量的增加，滾子與滾道間的最大接觸壓力呈先減小后增大的趨勢；隨著徑向載荷的增加，最大接觸壓力隨之增加，但是小軸向預緊量時，最大接觸壓力增大的幅度較大，大軸向預緊量時，最大接觸壓力增大幅度較小；最大接觸壓力取得最小值時，軸向預緊量隨著徑向載荷的增加而增大。這是由于隨著軸向預緊量的增加，軸承受載區的滾子數不斷增加，最大接觸壓力減小，軸承承載能力增大；當軸向預緊量增加到一定程度時，軸承的所有滾子受載，此時最大接觸壓力隨軸向預緊量的增加就會不斷增加。當軸向預緊量較小時，徑向載荷的增加對軸承載荷分布影響較大，最大接觸壓力的增大幅度較大，而在大軸向預緊量時，結果反之。

圖7 滾子與內滾道間的最大接觸壓力

圖6 滾子與外滾道間的最大接觸壓力

圖8為滾子與大擋邊間的最大接觸壓力。從圖8中可以得到：隨著軸向預緊量的增加，滾子與大擋邊間的最大接觸壓力先減小后增大；在小軸向預緊量時，隨徑向載荷的增加最大接觸壓力不斷增加，且增加幅度較大；大軸向預緊量時，隨徑向載荷的增加，最大接觸壓力增加不明顯。這是由于軸向預緊量的增加，使滾子與大擋邊接觸的受載區增加，承載的滾子個數增加，滾子與大擋邊間的最大接觸壓力減小；當軸向預緊量增加到一定程度，所有滾子與大擋邊接觸，最大接觸壓力隨軸向預緊量的增加而增加。

2.2 滾子打滑率

圖9為滾子打滑率隨軸向預緊量及徑向載荷的變化曲線。從圖9中可以看出：雙列圓錐滾子軸承滾子打滑率很小，基本在0.05%左右。在小軸向預緊量時，隨著徑向載荷的增加，滾子打滑率降低。這是由于滾子在滾道上運動時，滾子的線速度與滾道的線速度基本一致，使滾子在滾道上進行純滾動運動。這也符合圓錐滾子軸承設計時，內外滾道延長線與滾子軸線相交于軸承軸線上點A（如圖1所示），以實現純滾動的目的。徑向載荷的增加使滾子與滾道間的接觸壓力增加，滾子與滾道的摩擦增大，滾子打滑率降低。

圖8 滾子與大擋邊間的最大接觸壓力

圖9 滾子打滑率

2.3 滾子歪斜角

圖10為軸承滾子歪斜角隨徑向載荷的變化規律。軸承運行過程中，會受到聯合載荷的作用以及應用過程中內外圈軸線發生傾斜，這些都會導致摩擦力沿滾子長度分布不均勻，從而產生一個力矩使滾子發生歪斜，而滾子的歪斜角可以從所開發的仿真軟件中測量得到。

從圖10中可以看出：滾子歪斜角隨著徑向載荷的增加而增加，列1滾子的歪斜角略微大于列2滾子的歪斜角。這是由于徑向載荷的增加，加劇了滾子所受的歪斜力矩，使滾子歪斜角增加。此分析中，軸承外圈承受一軸向載荷Fa＝1 kN，沿X軸負方向，使列1滾子處于“壓緊”狀態，列2滾子相比列1滾子處于“放松”狀態，所以列1滾子上所受的歪斜力矩大于列2滾子，致使列1滾子歪斜角大于列2滾子歪斜角。

2.4 軸承疲勞壽命

圖11為雙列圓錐滾子軸承疲勞壽命曲線。軸承的疲勞壽命是軸承重要的性能，軸承的設計與應用都需要分析計算軸承的疲勞壽命。根據Lundberg和Plamgren的壽命計算方法得到雙列圓錐滾子軸承的疲勞壽命計算公式：

式中，L10為軸承使用概率為90%時的疲勞壽命；a1為可靠性系數；a23為壽命修正系數；Qc為套圈額定滾動體負荷；Qe為套圈當量滾動體負荷。各參數的具體計算過程見文獻［6］。

圖10 滾子歪斜角

從圖11可以看出：軸承疲勞壽命隨著軸向預緊量的增加而增加直至達到最大值，隨后迅速下降。軸承疲勞壽命取得最大值時最大接觸壓力取得最小值；軸向預緊量的最佳值隨著徑向載荷的增加而變大。當軸向預緊量取得過大（如0.04 mm）時，不僅不能增加軸承的承載能力，反而嚴重降低了軸承疲勞壽命。這可以為雙列圓錐滾子軸承在實際使用過程中提供理論性指導，不同工況下雙列圓錐滾子軸承的初始軸向預緊量都有一個最佳預緊量。

3 結論

圖11 軸承疲勞壽命

本文在滾動軸承動力學理論基礎上，建立了雙列圓錐滾子軸承動力學分析模型，采用精細積分法和預估－校正Adams-Bashforth-Mouhon多步法相結合的算法，求解軸承非線性動力學微分方程，針對雙列圓錐滾子軸承的最大接觸壓力、滾子打滑率、滾子歪斜角以及軸承疲勞壽命等動態性能進行了研究，得出以下結論：

（1）軸承所受的最大接觸壓力隨初始軸向預緊量的增加呈先減小后增大的趨勢，最佳預緊量隨外載荷的增加而變大。

（2）雙列圓錐滾子軸承滾子打滑率較小，滾子運動基本處于純滾動狀態，這也符合圓錐滾子軸承設計的目的。

（3）滾子歪斜角隨著徑向載荷的增加而變大，并且“壓緊”側的滾子歪斜角略微大于“放松”側。

（4）軸承疲勞壽命隨軸向預緊量的增加先增大后減小。軸承疲勞壽命取得最大值時對應初始軸向預緊量有一最佳值，此結果與軸承最大接觸壓力特性相符合。

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TH133.33

A

1672－6871（2014）06－0014－06

國家“十二五”科技攻關基金項目（JPPT-ZCGX1-1）；河南省科技創新杰出人才計劃基金項目

胡廣存（1989－），男，河南舞鋼人，碩士生；鄧四二（1963－），男，江蘇丹陽人，教授，博士，博士生導師，主要研究方向為滾動軸承設計及理論.

2014－01－23