一類線性方程組奇異邊值問題的譜配置方法

蔡偉云，王天軍，殷艷紅

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471023）

一類線性方程組奇異邊值問題的譜配置方法

蔡偉云，王天軍，殷艷紅

（河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 洛陽 471023）

對常微分方程組奇異邊值問題進(jìn)行了正則化處理，利用Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點為配置點，用Legendre譜配置法求其數(shù)值解，逼近方程組的正確解。數(shù)值例子說明求解該類問題的具體方法和步驟。數(shù)值實驗結(jié)果證明了所提算法格式的有效性和高精度。

常微分方程組；奇異邊值問題；Legendre配點法；Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點

0 引言

常微分方程（組）奇異邊值問題是在多個科學(xué)領(lǐng)域經(jīng)常出現(xiàn)的一類情況［1－3］。最近，一些作者針對不同類型方程（組）的奇異邊值問題提出了不同的數(shù)值方法［4－10］。文獻(xiàn)［5］給出了單個方程具有正則型奇異點邊值問題的譜配置方法。而文獻(xiàn)［4］考慮如下方程組奇異邊值問題

的分段m次插值多項式逼近，其中，z為n維列向量，A（t）為已知n×n矩陣函數(shù)，f（t）為已知n維列向量，且可有正則型奇點。然而，目前針對方程組奇異問題的Legendre譜配置法的相關(guān)文獻(xiàn)鮮見。另一方面，高階方程可通過降階方法化為一階方程組求解。所以，研究方程組的譜配置法是非常有意義的。本文考慮上述模型問題的譜配置法，以期獲得高精度的數(shù)值解，也為高階方程的求解提供高精度數(shù)值方法。

1 線性方程組奇異邊值問題的數(shù)值方法

1.1 一階微分矩陣

記LN（x）（－1≤x≤1）為N次Legendre多項式。x0＝－1；xN＝1；xm（1≤m≤N－1）是N（x）＝0的根［11］。以xi為節(jié)點的Lagrange插值基函數(shù)為：

滿足：

引理 令D＝（dkj）（N＋1）×（N＋1），稱D為一階微分矩陣。則有［11－13］：

1.2 線性方程組奇異邊值問題的算法格式

為方便起見，記?tz1＝d z1／d t。考慮如下方程組邊界奇點情形：

其中，a＝80；k＝16；c＝（a／k）kek；z＝（z1（t），z2（t））T。問題（4）可化為下面等價問題：

為利用Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點為配置點求式（5）的數(shù)值解，作變換問題（5）化為：

由式（3），式（7）等價的表示為：

2 數(shù)值結(jié)果

圖1 問題（6）的兩個分量的近似解、正確解及其數(shù)值誤差

3 結(jié)論

由于p-階微分算子的條件數(shù)為O（N2p）（N為配點個數(shù)）［14］，所以，可以將高階方程通過降階方法降為一階微分方程組求解。本文針對一類線性常微分方程組奇異邊值問題用Legendre-譜配置方法數(shù)值求解，為高階方程的求解提供方便。比如只需要計算一階微分矩陣，避免計算高階微分矩陣，這樣就改善了微分矩陣的條件數(shù)，在實際計算中節(jié)省大量工作，充分體現(xiàn)了所提算法的優(yōu)勢。盡管本文僅考慮了一個線性模型問題，但所用方法與不動點迭代等方法結(jié)合，對非線性方程組的求解同樣適用。另外，這里所用方法適用于正則型邊界奇點情形，對于非正則型奇點的常微分方程組奇異邊值問題數(shù)值方法有待今后進(jìn)一步探討。

［1］ O’Regan D.Theory of Singular Boundary Value Problems［M］.Singapore：World Scientific Press，1994.

［2］ Zhang Y.Positive Solutions of Singular Sub-linear Emden-Fowler Boundary Value Problems［J］.JMath Anal App l，1994，185：215－222.

［3］ Wei Z L.A Class of Fourth Order Singular Boundary Value Problems［J］.Appl Math Comput V，2004，153（3）：865－884.

［4］ 陳誌敏.常微分方程組奇異邊值問題的數(shù)值方法［J］.湖北工業(yè)大學(xué)學(xué)報，2008，23（4）：81－83.

［5］ 王天軍.一類線性奇異邊值問題的譜配置方法［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2013，34（6）：75－78.

［6］ A lipanah A，Razzaghi M，Dehghan M.The Pseudospectral Legendre Method for a Class of Singular Boundary Value Problems Arising in Physiology［J］.Journal of Vibration and Control，2010，16（1）：3－10.

［7］ Temsah R S.Spectral for Some Singularly Perturbed Third Order Ordinary Differential Equations［J］.Numer Algor，2008，47：63－80.

［8］ 阮宗利，李維國.一類線性奇異邊值問題的區(qū)間分段求解［J］.科學(xué)技術(shù)與工程，2010，10（20）：4896－4899.

［9］ Knmar M.A Second Order Spline Finite Difference Method for Singular Two Point Boundary Value Problems［J］.Appl Math and Comput，2003，142：283－290.

［10］ Ravi A S V，Reddy K Y N.The Method of Inner Boundary Condition for Singular Boundary Value Problems［J］.Appl Math and Comput，2003，139：429－436.

［11］ Shen J，Tang T，Wang L L.Spectral Methods：A lgorithms，Analysis and Applications［M］.Berlin Heidelberg：Springer-Verlag，2011.

［12］ 王天軍，殷政偉.Legendre-Gauss-Lobatto節(jié)點的一個注記［J］.河南科技大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，33（1）：71－74.

［13］ Yin Y H，Sun A，Wang T J.Spectral Collocation Methods for a Class Of Nonlinear Singular Boundary Value Problems［C］／／Proceedings of the 2013 International Conference on Advanced Mechatronic Systems.Luoyang，2013.

［14］ Wang L L，M ichael D S，Zhao X D.AWell-conditioned Collocation Method Using Pseudospectral Integeration Matrix［J］. Numerical Analysis，2013，arXiv：1305.2041.

O241.81

A

1672－6871（2014）05－0087－03

國家自然科學(xué)基金項目（11371123，11171227）；河南省教育廳自然科學(xué)基金項目（14B11021）；河南科技大學(xué)博士基金項目（09001263）

蔡偉云（1982－），女，河南滎陽人，碩士生；王天軍（1963－），男，河南息縣人，副教授，博士，碩士生導(dǎo)師，研究方向為偏微分方程數(shù)值解.

2014－03－21