圓環形活塞聲源的輻射阻抗

曹 輝，張吉偉，白鈞元

(陜西師范大學陜西省超聲重點實驗室，陜西西安 710100)

超聲聚焦技術在超聲診斷、超聲探傷以及超聲檢測中的應用已受到人們的廣泛關注[1]。在超聲聚焦技術中，若沿著一條直線實現點的聚焦，就可以采用由同心圓環形活塞聲源構成的聚焦陣，因此對同心圓環形活塞聲源的輻射聲場特性的研究就不可避免。在一個聲學振動系統中，對聲源輻射聲場的研究主要有輻射聲壓指向特性和輻射阻抗特性兩方面的內容。對于圓環形活塞輻射聲源來說，文獻[2－3]已經對其聲場的指向特性做了詳細的研究。另外，輻射阻抗是評價一個振動系統聲學特性的重要參量，常被用來評價聲學系統對外界的輻射聲功率和估計聲源的同振質量等[4]，因此研究同心圓環形活塞聲源的輻射阻抗在實際中具有重要意義。

本文以同心圓環形活塞聲源為研究對象，根據同心圓環形活塞聲源表面的幾何關系，利用微元法計算出了一定尺寸圓環形活塞聲源振動時的輻射阻抗的理論值。并分析了在ω＜8.5kHz范圍內活塞聲源的各參量與圓環形活塞聲源的輻射阻抗之間的關系，得出了一定尺寸同心圓環形活塞聲源的同振質量和平均輻射聲功率。為進一步研究圓環形活塞聲源聚焦技術奠定了理論基礎。

1 輻射阻抗

如圖1所示，同心圓環形活塞聲源的內徑為a，外徑為b，圓心都為o。圓環形活塞聲源振動時會向周圍的媒質輻射聲波，從而在周圍的媒質中就會產生輻射聲場。由于圓環形活塞聲源本身也處于自身所輻射的聲場之中，所以圓環形活塞聲源本身就必然受到輻射聲場的反作用。圓環形活塞聲源振動時，表面附近各處的聲壓是不均勻的，因此活塞表面各處所受到輻射聲場的作用也不相等。根據輻射阻抗的定義

可知，只需求得輻射聲場的反作用力就可計算出圓環形活塞聲源的輻射阻抗的大小。式(1)中Zr為輻射阻抗，F為輻射聲場的反作用力，u=uaejωt為振元的振速。將圓環形活塞表面分割成無限多個小面元，如圖1所示。

圖1 圓環形活塞積分示意圖Fig.1 The integral schematic diagram of ring piston

設面元ds的振動在面元ds'附近的媒質中產生的聲壓為dp。若面元ds與面元ds'之間的距離為h，則聲壓

式中:k為波數，ρ0為媒質密度，c0為聲波在媒質中的傳播速度，ω為角頻率。

根據式(2)可知，圓環形活塞上所有面元在ds'附近產生的總聲壓為

因此面元ds'受到輻射聲場的反作用力f為

dF=－pds'， (4)式(4)中的負號表示dF的方向與ds'的運動方向相反。將式(3)代入式(4)，并對ds'積分，得到整個圓環形活塞表面受到自身輻射聲場的反作用力為

根據式(5)分析可知，活塞上每一對面元(面元ds與面元ds')的相互作用力會出現兩次:一次是由于ds'振動在ds上產生的力;一次是由于ds振動在ds'上產生的力。由于這兩個力大小相等，所以我們只考慮這一對面元之間相互作用力中的一個，然后再乘以2即可。

如圖1所示，h為面元ds與面元ds'之間的距離，ρ為圓環極徑，θ為直線h與通過ds'的一條直徑之間的夾角，φ為極徑ρ和圓心o與面元ds'連線的夾角。根據以上幾何關系可得如下關系:ds=hdhdθ，ds'= ρdρdφ。積分上下限為:≤ h≤2ρcosθ，a≤ρ≤b，0≤φ≤2π。由上述分析可知，對面元ds與面元ds'積分之后，再乘以2就可得到輻射聲場的反作用力f為

對上式(6)逐次積分可求得f的值為

式(7)中，K1(x)是一階修正貝塞爾函數，J1(x)是一階柱貝塞爾函數。由于式(7)中包含貝塞爾函數，結果較為繁瑣不便于分析，所以引入兩個新函數

于是上式(7)可以簡化為

從上式(10)可以看出，聲場的反作用力與活塞聲源的振動頻率、活塞聲源的尺寸(包括活塞的內徑尺寸、外徑尺寸)密切相關。

對式(10)進一步簡化，在ω ＜8.5kHz范圍內，根據圓環形活塞聲源的大小(內徑 a=0.01m，外徑b=0.02m)和函數R(x)、X(x)的性質，可得函數R(x)和X(x)的取值表達式為

因此，綜合式(10)，(11)，可得圓環形活塞聲源受到輻射聲場的反作用力為

再根據式(1)中輻射阻抗的定義就可計算出圓環形活塞聲源的輻射阻抗為

2 特性分析

由式(13)可知圓環形活塞聲源系統的輻射阻抗由實部和虛部組成，分別稱其為輻射阻Rr和輻射抗Xr，并將頻率ω與波數k的關系ω=kc0代入式(13)就可以得到輻射阻和輻射抗表達式

進一步可求得圓環形活塞聲源的同振質量為

圓環形活塞聲源的平均輻射聲功率為

由式(13)和(14)分析可知，在媒質條件一定時，圓環形活塞聲源的輻射阻抗與活塞聲源的尺寸和振動頻率密切相關。

根據圓環形活塞聲源的輻射阻抗的表達式(14)，若已知圓環形活塞聲源的尺寸a=0.01m，b=0.02m，則圓環形活塞聲源的輻射阻抗與振源頻率ω之間的關系如圖2所示。

圖2 圓環形活塞的輻射阻抗與振源頻率之間的關系Fig.2 The relationship between radiation impedance from ring piston and frequency of vibration source

若已知圓環形活塞聲源的內徑a=0.01m和圓環形活塞聲源的振動頻率ω=3.4kHz(經計算在其他ω＜8.5kHz的時頻率也有相似規律)，則圓環形活塞聲源的輻射阻抗與圓環形活塞聲源的外徑b之間的關系如圖3所示。

圖3 圓環形活塞的輻射阻抗與聲源外徑b之間的關系Fig.3 The relationship between radiation impedance from ring piston and external radius b

若已知圓環形活塞聲源的外徑b=0.02m和圓環形活塞聲源的振動頻率ω=3.4kHz，則圓環形活塞聲源的輻射阻抗與圓環形活塞聲源的外徑a之間的關系如圖3所示。圖1、圖2、圖3中Z'表示圓環形活塞聲源的輻射阻抗的相對值。

圖4 圓環形活塞的輻射阻抗與聲源內徑a之間的關系Fig.4 The relationship between radiation impedance from ring piston and insiade radius a

從而進一步分析，當圓環形活塞聲源的大小一定時，其輻射阻抗只與振源的振動頻率有關，由圖2可知:圓環形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著振源頻率的增大而增大，其中輻射抗隨振源頻率的增加比輻射阻隨頻率的增加更快，說明圓環形活塞聲源的輻射抗比輻射抗受頻率的影響更大。當圓環形活塞聲源的振動頻率和內徑一定時，由圖3可知:圓環形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著活塞聲源外徑的增大而增大，并且輻射抗的值大于輻射阻的值。當圓環形活塞聲源的振動頻率和外徑一定時，由圖4可知:圓環形活塞聲源的輻射阻和輻射抗都隨著活塞聲源內徑的增大而減小，并且輻射阻的值小于輻射抗的值。綜合圖3和圖4可看出，a或b的變化實際上就是圓環形活塞聲源的環寬的變化，輻射阻抗隨環寬的增大而增大，反之亦然。因此，圓環形活塞聲源的環寬和振動頻率是決定其輻射阻抗的關鍵參量。若假設圓環形活塞聲源的內徑a為0，則其變為半徑為b的圓形活塞聲源。經計算此時的圓形活塞的輻射阻為和輻射抗為與文獻[4]中的結果相符。

3 結語

聲源的輻射阻抗是評價一個振動系統聲學特性的重要參量，研究同心圓環形活塞聲源的輻射阻抗在實際中具有重要意義。本文以同心圓環形活塞聲源為研究對象，在ω＜8.5kHz范圍內，根據同心圓環形活塞聲源表面的幾何關系，利用微元法計算出了一定尺寸圓環形活塞聲源振動時的輻射阻抗的理論值。并分析了影響圓環形活塞聲源的輻射阻抗的因素，結果表明:圓環形活塞聲源的輻射阻抗與聲源的振動頻率、活塞聲源的外徑和內徑密切相關。輻射阻抗隨著振動頻率的增大而增大;隨內徑a的增大而減小;隨外徑b的增大而增大。并且輻射抗的值大于輻射阻的值，上述參量的變化對輻射抗的影響較大。最后得出了一定尺寸同心圓環形活塞聲源的同振質量和平均輻射聲功率。為進一步研究圓環形活塞聲源聚焦技術奠定了理論基礎。

[1]任惠娟，賀西平，胡新偉.方形活塞聲源輻射的數值計算[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，2006，34(3):52-55.

[2]李錦，任中杰，林書玉.環狀活塞換能器輻射聲場研究[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，2003，31(4):28-31.

[3]任惠娟，賀西平，扈風.環狀活塞聲源輻射聲場指向性研究[J].陜西師范大學學報(自然科學版)，2007，35(3):40-43.

[4]杜功煥，朱哲民，龔秀芬.聲學基礎[M].南京:南京大學出版社，2001.

[5]何琳，朱海潮，邱小軍，等.聲學理論與工程應用[M].北京:科學出版社，2006.

[6]馬大猷.聲學手冊[M].北京:科學出版社，2004.

[7]何祚鏞，趙玉芳.聲學理論基礎[M].北京:國防工業出版社，1981.

[8]高立民，曹輝.液體中光擊穿所激發聲場的研究[J].光子學報，2011，40(10):1586-1589.

[9]曹輝，尚志遠.液體中光擊穿所激發聲場的方向性[J].西北大學學報(自然科學版)，2003，33(1):19-22.