中學數學函數概念探析

張少林

(麗江高等師范專科學校 數計系，云南 麗江 674100）

自17 世紀近代數學產生以來，函數概念一直處于數學的核心位置。函數概念是近代數學的重要基礎，在現代數學和科學技術領域有著廣泛的應用。同時，函數是中學數學中的核心內容，以函數思想來貫穿中學數學內容更容易形成體系。另外，由于函數概念的抽象性以及學生的思維水平處于很不成熟的階段，初、高中學生在學習函數概念時，往往感到困難，用函數思想分析問題和解決問題就顯得更困難，因此，對函數概念的深刻理解就顯得非常重要。

現就初、高中教材中函數概念的定義我們來作全面地分析。

1 初中“函數概念”

初中數學課本中函數概念的定義：在某個變化過程中，有兩個變量x 和y，如果給定x 一個值，就能相應地確定y 的一個值，那么，我們就說y 是x 的函數，x 叫做自變量。

對于這個定義，我們應從以下三個方面認真領會其含義：

（1）首先看一看這一定義的描述：“在某個變化過程中，有兩個變量x、y”這個前提條件。

例如：圓的面積公式：S=πr2中，若指明S 是一個定值。那么π 和r可以構成函數關系嗎？顯然不能構成函數關系的，事實上，r 是變量，而π 是一個常量。它們之間不具備函數關系的條件。又如，給定了一個圓柱體，其圓柱體公式為V=πr2h，當圓柱體積V、h 一旦確定，即都為定值時，r 和π 能構成函數關系嗎？其實，這兩個量是不能構成函數關系的，因為π 是一個固定不變的數，即一個常量，而r 是一個變量。這兩個量不具備函數關系的前提條件。

（2）反復琢磨、思考函數和自變量這個兩量在定義中的“角色”

我們看一看這樣一個變化過程：騎自車從甲地到乙地的過程中，自行車速度設定為20 千米/小時，隨著時的增加路程也在增加，在這一過程中涉及到的是時間和路程這兩個變量，如果給定時間一個值。相應地就確定了路程的一個值，那么我們就說路程是時間的函數，時間就是自變量。又如，騎自行車從甲地到乙地路程已知是80 千米，車速越快，用時就越短；相應的車速越慢，用時就越長。在這個過程中，速度和時間就是兩個變量。如果給定時間一個值，相應地就確定速度的一個值，那么，我們就說，速度是時間的函數。時間叫做自變量。又如：騎自行行從甲地到乙地路程已知為80 公里，車速越快，用時就短；車速越慢，用時就越長。在這個過程中，速度和時間就是兩個變量。如果給定時間一個值就能相應地確定速度的一個值。那么，我們就說，速度是時間的函數。時間叫做自變量。在前一變化過程中路程是變量，而后一過程中路程是常量。同樣，在后一變化過程中換一個角度，給定速度一個值就能相應地確定時間一個值，那么我們就說時間是速度的函數，速度叫自變量。即使在同一變化過程中，誰是函數誰是自變量也是相對的，而不是固定的。

從以上分析可知：變量和常量是相對于某一過程而言，沒有絕對的變量和常量。把一個變量稱做函數，也是相對的。這里一方面指它必須是依賴于某個稱為自變量的變量，另一方面，一個變量是某個變量的函數，也是相對于某個過程而言的。對于自變量和函數來講，決不能認為只要自變量變化了，函數理應隨著變化。事實上，如，符號函數就是一個典型的例子：sgn=，當x＜0 時，其函數值保持為-1，當x＞0 時，同樣函數值始終為1，定義中明確指出；對于給定每一個自變量的值，就有確定的一個函數值和它對應。事實上，從上例可知，對于不同的自變量的值，函數可以取到相同的值，并且可以是多個。

2 高中教材里“函數概念”的剖析

有了“集合論”以后，函數的定義就改用了“集合”和“對應”這兩個原始概念來敘述，即“給出了兩個非空數集D 和M，對于集合D 中每一個元素x，可以依照某一法則使之對應于集合M 中的某一個元素y，假定這種對應關系確定了，那么在集合D 上就確定了一個函數。記作：y=f（x）。分析這個定義，我們可以得出如下幾點：

（1）對于上述的定義，很明顯就抓住了函數概念的本質屬性。要確定兩個變量之間是否構成函數關系，必須事先給定：屬于兩個數集D和M 的x，y，而且它們之間還要有一個確定的法則。對于D 中的每一個x 值，在M 中有一個唯一確定的y 值和它相對應。不管給定的法則是用公式，圖形，表格和其它任何形式，。顯然定義帶有了普遍性和廣泛性。

對于概念中的“每一個”、“唯一確定”等這些關鍵詞一定要認真理會。例如，給10 位編了學號的同學測量身高，但遇到剛好其中有一位同學沒有參加，可以想象得到，學號與身高之間是不能構成函數關系的。因為對于學號構成的集合中的一個學號，在身高構成的集合中就沒有元素與它對應；概念中給出的集合是“數集”，它不是“點集”，也不是由圖形構成的集合。如，由某班全體同學構成的集合記作A，教室里的座位組成的集合記作B，每一位同學都有唯一的一個座位，班上還有空座位，這能否算作一個函數的例子嗎？。對于概念中的集合B，它是不是函數的值域，事實上，函數的值域是集合B 的子集。

（2）從定義可以看出，確定一個函數實際上包括了以下的三要素：①自變量集合（即定義即定義域）；②函數的集合M（即值域）；③對應關系。

3 關于初、高中教材“函數概念”的比較

初中教材中的“函數”定義是從運動變化的觀點出發，把函數看成是變量之間的依賴關系。從歷史的角度看，初中給出的定義來源于物理公式，最初的函數概念幾乎等同于解析式。如，學習函數概念后，雖然明確地給出了函數的表示法：解析法，圖像法，表格法。但接下來所學習的函數都是用解析式表達出來的。如，正比例函數，一次函數，二次函數，反比例函數等等，這明顯給我們一個映象——函數就是解析式。后來，人們逐漸意識到定義域與值域的重要性，一個函數存在，還必須看定義域。如，若不給x≠1 出這一條件，那么這個函數就無意義了。事實上討論它也就失去它應有的價值了。而要弄清變量以及兩個變量間的變化的依賴關系，往往先要弄清各個變量的物理意義，這就使研究受到了一定的限制。如果只根據變量觀點，那么有些函數就很難進行深入討論。如，迪里赫里函數，當x 是有理數時，函數值為1，當x 為無理數時，值為0，對這一函數，如果用變量觀點來解釋，會顯得十分勉強。也說不出x 的物理意義是什么。但用集合、對應的觀點來解釋，就十分明了，進入高中，學生需要建立的函數概念是：設A、B 是兩個非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A 中的任意一個數x，在集合B 中都有唯一確定的數f（x ）和它對應，那么就稱f：A→B 為集合A 到集合B 的一個函數。這個概念與初中概念相比更具有一般性。實際上，高中的函數概念與初中函數概念本質上是一致的，不同點在于，表述方式不同，高中明確了集合、對應的方法。初中雖然沒有明確定義域、值域這些集合，但這是客觀存在的，也已經滲透了集合與對應的觀點，與初中相比，高中引入了抽象的符號f（x ）。f（x ）指集合B 中與x 對應的那個數。當x 確定時，f（x ）也唯一確定，另外，初中并沒有明確函數值域這個概念。

函數概念的核心是“對應”，理解函數概念要注意：

（1）兩個數集間有一種確定的對應關系f。對應關系f 是一個整體，是集合A 與B 之間的一種對應關系，應該從整體的角度認識函數。

（2）涉及兩個數集A、B，而且這兩個數集都非空。

（3）定義中的關鍵詞是“每一個”“唯一確定”。也就是，對于集合A中的數，不能有的在集合B 中有數與對應，有的沒有，每一個都要有，而且，在集合B 中只能有一個與其對應，不能有兩個或者兩個以上與其對應。

4 加強函數的實際應用

函數在數學這個大家庭中是一個必不可少的成員，而且在生活中他也同樣隨處可見。正如我們學習過的一次函數、二次函數、正比例函數、反比例函數、三角函數，這些形形樣樣的函數，都在用不同的表示方法，不同的角度來表示著自然界中變量與變量之間的關系。因此，數學中函數的知識與我們的生活實踐有著不可分割的聯系。如：

（1）一次函數的應用? 購物時總價與數量間的關系，是最基本的一次函數的應用，由函數解析式可以清楚地了解到其中的正比例關系，在單價一定的條件下，數量越大，總價越大。此類問題非常基本，卻也運用最為廣泛。

（2）二次函數的應用

當某一變量在因變量變化均勻時變化越來越快，常考慮用二次函數解決。如細胞的分裂數量隨時間的變化而變化、利潤隨銷售時間的增加而增多、自由落體時速度隨時間的推移而增大、計算彈道軌跡等。二次函數的解析式及其圖像可簡明扼要地闡述出我們需要的一系列信息。如增加的速度、增加的起點等。

（3）反比例函數的應用

反比例函數在生活中應用廣泛，其核心為一個恒定不變的量。如木料的使用，當木料一定時長與寬的分別設置即滿足相應關系。還有總量一定的分配問題，可應用在公司、學校等地方。所分配的數量及分配的單位即形成了這樣的關系。

（4）三角函數的應用

實際生活中，我們常常可以遇到三角形，而三角函數又蘊含其中。如建筑施工時某物體高度的測量，確定航海行程問題，確定光照及房屋建造合理性以及河寬的測量都可以利用三角函數方便地測出。

（5）在生活中的利潤問題

總利潤=每件利潤×銷售量、人口增長率問題、個人所得稅問題、市場預測問題、運貨調配問題、經濟圖標問題、平衡價格問題、工程造價問題，這些生活常見的問題在計算、應用方面離不開函數的知識。利用函數就可以把各種數據都放到表格里，然后再繪制成函數圖像，從平面直角坐標系中觀察出事情發展的趨勢以及計算出他們之間的函數關系式，來進行合理的預算。有時還可以利用某些函數的函數圖像來求最值。由此可見，函數是十分重要的一部分。

（6）涉及函數的應用題

這些應用題更是與生活實際聯系密切，他不僅能培養我們分析問題和解決實際問題的能力，還能提高我們的思維素質。同時利用函數也可以更簡便地解決問題。所以，學會了解和應用函數也是十分重要的。

上面所說的均是與代數有關的函數，而三角函數則是主要運用在幾何問題中。像利用三角函數求值問題、推算角度問題、判斷三角形問題，也都是非常常見的。所以，無論是代數還是幾何，計算還是應用，考試還是生活，都離不開函數的知識。有了函數，可以讓我們生活更加地便利。隨著市場經濟的逐步完善，人們日常生活中的經濟活動越來越豐富多彩，買與賣，存款與保險，股票與債券，都已進入我們的生活。

數學分基礎數學和應用數學。對初等數學來說，我們要接受前人的定理，然后會用這些知識去解釋實際問題，從而解決實際問題。在初中時，學生們基本上是按照方程的思想，列方程（組），最后求解。長期的定勢思維，束縛了一部分同學的思維，上高一后，雖然學習了函數，但方程思想根深蒂固，無法正確用函數思想來分析問題，解決問題，使之應用題解決起來困難重重，所以讓我們還是沒有真正的做到把函數應用到實踐生活中。但函數問題卻是時時刻刻的在我們身邊，我們應該提高對數學的學習意識，加強對實踐問題的分析，讓數學理論有機的和實踐問題結合起來。讓數學知識真正的應用在實踐中，不再是空談數學理論。