“核心知識”基點：認知塊問題串思維場——基于省市小學數學質量監測數據分析

●荀步章

小學數學核心知識是最為基礎和普通的數學知識，其“核心”的基點和作力點指向于認知塊、問題串和思維場，功效表征為其自身高度概括的程度以及與特定情境的緊密聯系程度。數學教學要反復回到這些基礎知識，以它們為基礎，直至學生掌握了與之觀念相適應的完整知識體系和思想方法為止。

一、兒童認知塊中的“核心知識”

市測題1：左圖溫度計表示的溫度是（）℃。

A.16 B.-16 C.24 D.-24

學生答題情況：

選擇序號ABCD多選未選百分率0.9487.511.889.370.220.08

本題考察內容屬于“數與代數”領域，考察能力屬于“知識技能”范疇。日常生活中，通常把溫度低于0攝氏度的用負數表示，但讀數方法與正數有所不同，學生答題正確率為87.51%，選D答案的可能受0上溫度讀法的影響，從20向上4小格，認為是-24攝氏度。這里“核心知識”表現為兒童認知塊中的外顯知識。

（一）單個知識

從大量的知識點中尋找到兒童最容易發生錯誤的知識，部分學生對溫度讀法的方向上沒有掌握，以“0”為分界點，0攝氏度以上從下往上看，0攝氏度以下從上往下看，兒童認知中的觀察順序發生了重要改變。為分清不同方向，需要用紅筆標記箭頭。為認識刻度含義，可借助學生常見的直尺進行比較。

（二）序列知識

兒童認知塊中的新知識是建立在他們已有知識的基礎上，確定了知識的序列化才能確保兒童清晰地進行認知建構。讀溫度計上的溫度，首先從分清攝氏度與華氏度，也就是看左邊還是看右邊，接著找分界點“0”的位置，以“0”為標準，分清方向，正確讀出溫度。每一個兒童的認知存在差異，需要進行針對指導，體現知識生長的過程。

（三）共享知識

兒童共享知識是認知塊中不同的知識點，經過交流與思考，改善與修正，完成知識的自身聯結。針對“兒童需要什么樣的知識”提供實踐性答案，對刻度的正確讀法，對正負數的準確把握，對不同兩種溫度干擾的排除，都反映了兒童共享知識促成核心知識的頂層化。

市測題2：一個平行四邊形相鄰兩條邊長度分別是5厘米和8厘米，其中一條底邊上的高是6厘米，這個平行四邊形的面積是（）平方厘米。

A.30 B.40 C.48 D.無法確定

學生答題情況：

選擇序號ABCD多選未選百分率75.064.6115.474.480.230.14

本題考察內容屬于“圖形與幾何”領域，考察能力屬于“理解概念”范疇。考查學生平行四邊形底上對應的高，和另一條底與這條高長度的關系。6厘米的長度，究竟是5厘米對應的高，還是8厘米對應的高，學生正確率為75.06%。如果把5厘米和8厘米表述上交換位置，正確率可能會更低，因為隱藏著斜邊大于直角邊的道理。這里“核心知識”表現為兒童認知塊中的內隱知識。

（四）境域知識

知識本身存在于特定的時間、空間、理論范式和價值體系等因素中，這種知識具有認知塊中的境域性特征。學生習慣于從“前面”的5厘米出發，直接與6厘米相“對應”，潛意識中形成“前前”對應，選C的學生可能是“大大”對應的想法。要準確把握平行四邊形底與高，理解另一條底與這條高的長度關系，才能順利解答問題。兒童認知塊中的“核心知識”，需要根據不同的場境、域地進行梳理和厘定。

（五）隱性知識

波蘭尼提出兩種知識：一種知識是用書面文字或地圖、數學公式來表述的，稱為顯性知識；還有一種知識是不能系統表述的，稱為緘默知識。有必要對兒童認知塊中的知識點進行有效提升，準確把握其本質和內核，滲透內隱的數學思想方法，促使兒童自主生長。借用直觀圖形幫助兒童想象，選答案C的學生，把最長的底乘以6厘米，缺乏對知識隱性思考。如果沿某頂點作一條高，形成的直角三角形中，直角邊的長度小于斜邊的長度，這樣一種隱性知識，兒童在解決問題時常常被忽略。

（六）結構知識

數學知識點存在于知識塊中，知識塊是整體性結構知識中的一部分。小學數學中的核心知識，也不應當是散點形態，而應是相互連接，彼此關聯，是一種動態性和聯系性存在。平行四邊形底和高教學，讓學生結構性厘清，相鄰兩條邊和它對應的高，每一條高與另一條底長度關系，隨意編造平行四邊形底及高，容易發生科學性錯誤。教師有意識地結構化組織、加工學習素材，幫助學生形成知識結構，讓學生在情境中掌握數學本質。

二、教師問題串中的“核心知識”

省測題1：用36朵花扎花束，每3朵扎成一束，可以扎多少束？明明用豎式計算出了結果，豎式中箭頭所指的表示的是（）。

A．已經用去了3朵

B．已經用去了6朵

C．已經用去了30朵

D．已經用去了36朵

學生答題情況：

江蘇省A水平B水平C水平得分率66.6%81.7%36.0%17.4%

17.4%本題考察內容屬于“數與代數”領域，考察能力屬于“數學理解”范疇。考查學生豎式計算中十位上的“3”表示意義，學生要結合生活實際，理解平均分過程，根據平均分意義對應到豎式中，正確認識每一位上數的含義。有17.4%的學生達不到基本水平，對“核心知識”的強調或變式不足。“核心”是“牽一發而動全身”的問題，是教學的主線，課堂中“派生”的問題和核心知識存在一定的邏輯關系。這里“核心知識”表現為教師問題串中問題的“外圍化”。

（一）問題指向

在教學兩位數除以一位數時，抓住算式“每一步”意義發問，既要從算式本身理解，也要結合學生生活實際解釋意義，使學生在頭腦中把“數學”與“生活”意義相對應。教師問題串的“核心知識”要具有鮮明的指向性，指向教學的核心內容和目標，也要整合教材的重點內容和關鍵問題，具有更高、更全面的教學指向與達成度。

（二）問題整合

聯系兒童原有知識經驗，從一位數除以一位數出發，擴展到兩位數除以一位數，從生活的經驗出發，把36朵花分成30朵和6朵，先把30朵平均分一分，再把6朵平均分一分，最后合起來。教師要抓住“主要問題”與“次要問題”的主輔關系，有效整合，邏輯地思考問題。抓住知識點與能力點，連接兒童的興趣點與發展點，將課堂的問題串與學生心理發展有機整合起來。

（三）問題開放

教師問題串創設與開發，需要適度開放。如果采取亦步亦趨的教學方法，只能讓學生感到厭煩與無趣。對問題串層層探究與適度開放，使問題更加呈現價值性與多樣性，解答路徑與評價過程也就開放了。“3”表示“3個一”還是“3個十”，為什么？“3”的后面為什么不寫“0”？可不可以寫？等等問題探討，使學生對箭頭指向“3”的意義更為深刻理解，讓學生在寬松的環境里自覺地進行反思，自主地尋求突破。

省測題2：小熊吃了一個西瓜的1/3，小猴子也吃了一個西瓜的1/3，結果小熊吃的西瓜比小猴子吃的少。請解釋為什么？

學生答題情況：

江蘇省A水平B水平C水平得分率52.1%65.1%24.3%2.1%

本題考察內容屬于“數與代數”領域，考察能力屬于“數學理解”范疇。考查學生對分數意義的本質理解。正確答案是，因為小熊吃的西瓜小或者小猴吃的西瓜大，或者兩塊西瓜不一樣大，或者其他合理答案。學生達到優秀水平為65.1%，成績不夠好。分數意義教學中的“核心知識”有沒有強化？是如何強化的？學生的答案可能會給我們一些思考。

（1）得分為0分的答案：

（2）得分為2分的答案：

（3）得分為4分的答案：

學生的答案給我們啟示，生活經驗向數學概念的運動，對于兒童來說，是一種具大挑戰。這里“核心知識”表現為教師問題串中問題的“內驅化”。

（四）問題理解

從得分為0分的答案可以看出，在單位“1”教學時，總是喜歡抓住了“平均分”這個“牛鼻子”，使部分學生在理解上較“死板”，不論什么問題，都圍繞平均分去回答，對單位“1”的本質沒有清晰理解。得分為2分的答案中，主要反映了兒童的生活經驗，從分得的多少出發，或通過面積意義理解，把小熊吃的西瓜與小猴吃的相比較，理解是淺層次的。教學應抓住問題串中“核心知識”反復探究實踐，把學生的生活經驗與數學概念相互作用，在實踐中慢慢感悟，在問題探究中逐漸理解。

（五）問題研究

外部問題情境營造要真實，它又為內部問題情境生成服務,內部問題生成才是學生個人問題解決活動的開始。小熊吃了一個西瓜的1/3，小猴子也吃了一個西瓜的1/3，誰吃的多一些？問題來自于兒童的生活世界，是兒童外部情境的具體反映，要促成內部問題的生成才是兒童個體的真問題。問題串探究要能促進學生內心真實地形成一種懸而未決又力圖解決的認知沖突狀態。問題串既要指向于學生的外部情境，更側重于內部問題的本質探究，在單位“1”與“平均分”之間尋找突破與平衡。

（六）問題構建

對于理解困難的學生，要借助于實踐操作，比較三種不同情況，讓學生一目了然。對于“平均分”地理解，要分清三個變量之間的關系，即整體單位“1”的量、平均分為幾個部分和每部分的量，初步建構“平均分”的意義，發展兒童的數學思維能力。為促使學生深入理解和運用“平均分”，在研究分數時，教師要想方設法為學生創設運用這一概念的各種實踐情境，激活他們多樣化生活經驗，同時引導學生解決不同表征形式的問題，建立起正確的對應關系。

三、課堂思維場中的“核心知識”

市測題3：

（1）小冬和小芳兩家相距多少千米？

（2）某一天，小芳從家去電影院，走到學校時，發現電影票忘在家里，只好回家去拿，小芳去電影院比平時多走了多少千米？

本題考察內容屬于“數與代數”領域，考察能力屬于“解決問題”范疇。本題滿分6分，揚州市學生綜合得分率為83.75%。此題是教材一道習題的拓展，其中線段圖與教材完全一致，錯因包括：（1）部分學生理解題意有困難，把雙向路程理解為一個單程；（2）計算有誤；（3）少數學生解題思路混亂。反映出學生靈活解決問題的能力不足，綜合理解題意的能力缺乏。這里“核心知識”表現為課堂思維場中的生成思維。

（一）關注思維

對于題目中的線段圖，部分學生視而不見。線段圖對于問題1的解答作用更多一些，圖中直觀看出把三段相加，很快能求出小芳家到小冬家的距離。第2個問題，求小芳比平時多走的路程時，很多學生沒有聯系生活經驗，也不看圖理解，片面認為是1.5千米。在平時課堂教學時，教師要引導學生從具體圖形或生活經驗中，分析問題特征，抓住關鍵思維點，多變化，多開放，讓兒童在“問題陷阱”中引發思考，激發興趣，發展思維。

（二）引領思維

思維場是數學核心知識“引探”的策略，要在多樣化的問題研究中，處理好“傳授”與“探究”之間的關系，力求將數學課堂由“傳授知識”變為“思維引領”，讓教學方式、學習方式和師生關系等領域取得實質性變革。讓學生說一說，小冬家到小芳家一共有多少千米？小芳今天行走的路程與原來路程相比，發生了什么變化？同桌相互交流，把自己的發現用筆畫一畫，在畫的過程中感悟，不是多一個1.5千米，而是兩個1.5千米。再引導學生議一議、算一算，有沒有更簡便的計算方法？在思維探究過程中，讓學生弄清問題的因果關系，以及與其他知識的聯系，將知識教學上升到方法論教學的層次，使學生初步形成數學思想方法。

（三）提升思維

通過問題解決，還要回頭引導學生再思考，小芳這次走的路程與原來相比，從家到電影院共走了兩次，第二次從家到電影院路程與原來一致，從而使思維更簡潔，這樣多走了兩個1.5千米。再進一步思考，問題的本質是多走一個來回，如果向相反方向走，就更加容易理解。整個問題探究以“問題情境→建立模型→解釋應用”的方式展開。認知心理學認為，數學教學的中心任務是塑造學生良好的數學認知結構，使之具有不斷吸收新的數學知識的能力和知識自我生長的能力。問題串的介入為形成良好認知結構提供“腳手架”，思維場能夠促進兒童形成具有自我生長活力的知識特征系統，培養良好的數學素養。

省測題3：請用圖1和圖2拼成一個平行四邊形，并將拼好的平行四邊形畫在方格紙中。

本題考察內容屬于“圖形與幾何”領域，考察能力屬于“數學理解”范疇。學生作答情況：

江蘇省A水平B水平C水平得分率66.9%82.0%35.0%1.7%

學生的錯因包括：（1）空白未作答；（2）沒畫出平行四邊形；（3）畫出了平行四邊形，面積改變，圖1、圖2形狀不變（拼成的平行四邊形，底和高必須有一個正確）；（4）畫出了平行四邊形，面積正確，圖1、圖2形狀改變等。列舉兩種得0分的答案如下，這兩種錯誤答案，將圖1、圖2形狀發生了改變。數學核心知識教學，主要是把教學功夫下到理念向行為的轉化上，在看似簡明的形式下，教師以不經意的方式，讓學生感悟到知識本身的魅力。這里“核心知識”表現為課堂思維場中的過程思維。

（四）聚合思維

從一般知識指向核心知識，使得若干知識整合為系統內知識結構，通過凸顯核心知識塊，形成有效思維場，以減少知識的離散程度。要求不改變形狀，把一個三角形和一個梯形拼成一個平行四邊形，問題的實質是讓學生觀察發現，三角形與梯形的特征，操作上是平移還是旋轉，目標和策略上是否可行，從眾多問題思考中“聚合”到這一核心要素上來。引導學生思考交流，斜著的邊，哪些是一樣長的，從一樣長的邊入手，是解決問題的關鍵。學生用何種方法準確畫出這個平行四邊形，還要借助一定的空間想像，以及方格圖中線段長度的判別能力。

（五）優選思維

在思維場的形成過程中，要優先選擇那些具有基礎性、概括性、遷移性和生成性的核心知識作為教學的著力點，通過“少而精”的核心問題探究，不僅讓學生擁有知識，更讓學生深刻理解知識背后的思想，并學以致用。讓學生先用直接平移的方法，發現不能拼成平行四邊形。然后，讓學生旋轉后平移，發現還是不能拼成。最后，把三角形翻轉一下再平移，能夠拼成一個平行四邊形。在多種策略操作的過程中，讓學生進行優選，在優選的過程中，感悟解決問題的策略。在思維場營造過程中，學生先觀察、比較、實踐，再進行驗證，幫助學生學會思考。

（六）聯結思維

任何知識的學習都不是教師向學生直接傳遞知識信息，學習者被動地吸收的過程，而是學生主動圍繞核心知識進行自主選擇加工，自主建構理解，其間經過自我改造與重組，需要教師的幫助與引領，形成課堂思維場。學生已有的經驗是三角形、梯形和平行四邊形的認識基礎，平移和旋轉的操作能力，數方格的基本方法等。要求不改變圖形的形狀與大小，學生需要嘗試與實踐，在反復實踐中，找出需要關注的關鍵因素。建立思維聯結的通道，讓學生在反復觀察與實踐中，慢慢發現和自覺運用的過程，這與教師有效幫助，以及兒童自身的善于聯結有關。

綜上所述，數學中的核心知識，是在兒童認知塊中逐漸形成，是在教師問題串中逐步感悟，是在課堂思維場中不斷重建，找到平衡點與結合點，才能真正把握核心知識，形成核心能力。通過問題引領與活動探究，讓學生體驗知識探索的過程，弄清知識的內涵和外延，以及各個階段的呈現形式、變式與聯系，領悟數學思想方法，形成兒童獨有的數學素養。