“0.3≠0.30”，這是怎么回事？

王瑛+嚴育洪

【“望”：病例觀察】

下面是“小數的性質”教學時，教師遭遇到的尷尬情形。

師：以元為單位，3角怎么表示？

生：0.3元。

師：那30分呢？

生：0.30元。

師：以米為單位，3分米怎么表示？

生：0.3米。

師：那30厘米呢？

生：0.30米。

師：你發現了什么？

生：0.3元=0.30元，0.3米=0.30米。

教師擦去單位名稱，剩下0.3=0.30，問：那現在相等嗎？

很多學生頓了一下后回答：不相等！

教師一愣，有點惱怒地告誡學生：不相等？！想清楚了再回答。它們相等嗎？

生（齊聲）：相等！

……

【“問”：病歷記錄】

課后，教師找來這些發出“異”見的學生，咨詢他們當時認為“0.3≠0.30”的真實想法。

生1：“我當時是這么想的，0.3元≠0.30米，所以0.3≠0.30。”

生2：“我當時也覺得0.3≠0.30，因為0.3和0.30的后面可以隨便跟什么單位，比如0.3千克和0.30克也不相等。”

生3：“我的想法跟他們一樣，0.3和0.30有時候相等，有時候不相等，后面的單位相同時，0.3=0.30；后面的單位不相同時，0.3≠0.30，所以0.3和0.30在沒有單位的情況下就無法比較。”

……

教師又問：“上完課，現在你們知道0.3=0.30了吧？”學生點頭。

接著教師假設：“如果課一開始直接讓你們比較0.3與0.30的大小，你們覺得自己會嗎？”

生1：“我覺得自己會比較的。我會把它們看成0.3元和0.30元，0.3元=3角，0.30元=30分=3角，所以0.3=0.30。”

生2：“我會這么想，在它們后面添上單位“米”，0.3米=3分米，0.30米=30厘米=3分米，所以0.3=0.30。“

生3：“我會把它們畫成這樣的圖（如下圖），它們涂色部分的面積相等，所以0.3=0.30。”

……

教師好奇地問前兩位學生：“你們怎么會想到添上這兩個單位的？”結果他們回答說是以前在認識小數的時候老師都是這么教的。

最后，教師不無遺憾地跟這些學生說道：“瞧，現在你們挺清楚的嘛，當時怎么就糊涂了呢？！”他們不好意思地吐了吐舌頭。接著一個孩子說出了讓人瞠目結舌的秘密：“是老師把我弄糊涂了。老師問我們：‘那現在相等嗎？，讓我誤以為老師是在故意反過來問，正好前面有‘元和‘米，于是就想岔了。”其他學生也若有所思。

【“切”：病理診治】

這一節課出現的病癥并不是這一節課所形成的，而是以前一連串教學中的問題慢慢積累而成的，只不過這一節課設置的情境成了問題的導火索，使學生對知識的誤解暴露無遺。

在這節課中，“元”和“米”為何在學生頭腦中留下這么深刻的印象，以至于陷在生活的“泥潭”而不能自拔，一是因為教材在教學小數的意義（認識小數第一次安排在三年級，第二次安排在五年級）、小數的大小等內容時都是回到購物和測量這兩大學生常見的生活情境之中理解知識、解決問題，結果導致學生“留戀”于生活“走不出來”；二是因為一些教師在教學的時候過多、過久滯留于生活情境之中，對知識抽象不足或抽象太晚，結果導致學生“流連”于生活“走不出來”。

充分利用學生生活中的數學進行教學是數學教學“生活化”的主要做法，這種由生活實踐形成的各種數學知識和技能具有直接性的特點，這種直接性十分有利于調動學生學習的積極性，而且置身于實際情境往往也有利于主體更好地發揮自己的聰明才智，有助于學生更快更好地理解和掌握抽象的知識。然而，也正由于它是與各個具體情境直接相聯系的，與實物、事物對應性強，因此相應的知識和技能的可遷移性差，概括性、抽象性水平低，從而就表現出一定的局限性。如建構主義所指明的那樣，在數學教學中通過“貼近生活”得以調動的學生的生活經驗就未必如我們所期望的那樣，恰能為抽象的數學概念或知識的學習提供合適的基礎，還可能包括許多不相干的，甚至是有一定干擾性的成分，對學生的數學學習產生負面效應：影響學生完成從特殊到一般的抽象過程。

上述課例中，學生根據教師創設的情境，由自身生活中的經驗，很快得出“0.3元=0.30元”和“0.3米=0.30米”，此時的0.3和0.30都有具體的含義，學生的思維一如既往地被框在具體的情境中，無法一下子跳出來、轉過來。正因為生活中用的大多是名數，它們有具體的含義，所以當數后面沒有單位名稱時，學生的腦海中還“留戀”或“流連”在單位名稱上，無法確定具體含義，于是就認為它們不相等，可以說，正是這種思想的局限性影響了知識的正遷移。

要解決這一種陷于生活的“泥潭”而不能自拔的問題，有效克服低層次、低水平學習的局面，需要教師從知識的“上游”和教學的“上端”加以整治，改變抽象程度不高的知識表征方式和教學表達方式。按照知識的序列，三年級的“小數的初步認識”是知識的起步，教材采用了學生熟悉的測量和購物情境，利用“米”與“分米”、“元”與“角”之間的進率關系來幫助學生理解十分之幾就是零點幾的關系。在認識小數第一課時，教師就應該做好知識的抽象工作，當借助情境推出知識后，教學就應該去情景化，把學生的注意力集中在知識的“本身”——本課研究的是“數”。

認識一個事物就是把這個對象從與它相關的事物中相剝離的過程。然而，在實際教學過程中，學生在研究小數和分數之間的關系時，常常始終“帶”著情境中的數量，知識抽象得并不“干凈”。因此，對測量情境中產生的小數，教師要么框出其中的“數”，如：endprint

要么用紅色粉筆突出其中的“數”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隱去其后的單位名稱，僅把“數”留在學生的視野里。

緊隨其后，教師應進一步抓住購物情境中產生的小數與測量情境中產生的小數進行意義的比對與同化。例如，“0.5元”與“0.5米”去除單位后小數意義相同，都表示，然后把小數的意義通過“方形圖→線段圖→數軸圖”反映出來，讓學生領悟小數在數學中的不同表征方式，進而強化小數的意義，引導學生排除生活情境的干擾，走向數學的最深處。

一旦前期的知識抽象徹底，等到教學“小數的性質”時，學生就不會那么容易受困于生活情境之中，而能夠清楚地明白教師所提出的“0.3和0.30是否相等”這一問題指向的是數的大小比較，與數量無關。

從上述課例中，我們還能夠發現另外一個涉及教師教學行為的問題。學生之所以會去牽扯小數的數量，一方面與教學從生活引入有關，另一方面與教師問話有關，“那現在相等嗎”讓學生誤以為教師說的是反話，從而想方設法證明0.3和0.30不相等。之所以會產生這樣的誤解，是因為在以往的教學中，限于時間，教師大多會直接擦去單位名稱直接揭示“0.3=0.30”，而不會多此一問，反之，如果教師突然多此一問，就會讓學生以為教師故此一問，是反話正說。由此可見，教師的“反常”會引起學生的懷疑，從而誤入歧途。當然，如果學生基礎扎實，不管教師怎樣說、怎樣問，都會意志堅定。

其實，教到“小數的性質”這一步，學生的學習已經多次經歷了從生活到數學、從特殊到一般的過程，已具有了豐富的生活經驗和數學經驗。只要知識抽象得徹底，“小數的性質”這一節課不妨換一種教學路線，采用從一般到特殊的思路來設計教學：課一開始，讓學生直接思考“0.3和0.30是否相等”這一數學問題，估計會有許多學生憑直覺會猜測0.3和0.30相等，教師就可以充分利用學生的這種想法甚至爭議，引導學生去自己尋找方法來證明自己的觀點或推翻別人的觀點。此時，學生會主動遷移以前的相關經驗，像上述課后訪談中的那些學生的想法一樣，或利用購物或測量的生活情境來尋找答案，或通過畫圖（不畫圖亦可）直接從這些小數所表示的分數意義上來說明問題，當然也可能有學生把0.3和0.30放入前一節課剛學的數位順序表中來解釋。而教師可以事先為學生提供米尺、方格紙、數位順序表等探索工具。

從數學回溯到生活，這樣“倒行逆施”的教法可以最大程度上避開生活對學生思考問題的負面影響。在這里，學生成功地運用了“關系映射反演”原則：給每個數加上一個單位，比如“米”，這樣就形成了“數”與“長度”的一一對應關系，“長度”是“數”在這個映射下的像。利用生活經驗和數學經驗，得到了像之間的關系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出這兩個像的原像之間的關系（0.3=0.30）。學生運用“關系映射反演”原則來解決問題，從一般到特殊，從而有效地避免了由生活經驗（特殊）到數學知識（一般）所帶來的“意外”。

當然，為了使學生適應這樣的思考問題、研究問題的方式，我們在教學五年級的“小數的再認識”時，就可以嘗試改變“小數的初步認識”時所遵循的“生活應用→數學發現”的一般教學程序，而采用“數學發現→生活解釋”這樣逆向行駛：先讓學生根據已知的“一位小數表示十分之幾”猜想出“兩位小數表示百分之幾、三位小數表示千分之幾……”，然后讓學生回到購物和測量的生活情境中尋找依據，在此正好與教材例題實現對接。

這樣反其道而行之的教學思路，還有一個更大的好處是，可以有效地改變慣常和平常的教學方式，充分發揮學生的主體作用，真正讓學習變成學生自己的事。因為人的思維和人體的健康系統具有免疫自檢自適應功能一樣，學生在尋找知識解釋方法、尋找知識解釋工具的過程中，會根據知識的意義進行自適應的不斷嘗試和不斷調整，所以，教師不必擔心學生找不到知識的“家”。

綜上所述，生活并不總是對學生的學習產生“正能量”，它有時也會阻擾學生更深入的學習。經驗是理解的基礎，提供了把未知的信息模塊連接到已有經驗結構中去的背景和方法，但有時也會產生誤導。希望我們的教師都能明白這一點，千萬不要不分階段、不分場合、不分對象都來“生活化”一下，如果一味這樣教學，就可能會弄巧成拙。

（江蘇省無錫市錫山區東亭實驗小學 214101

（江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214101）endprint

要么用紅色粉筆突出其中的“數”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隱去其后的單位名稱，僅把“數”留在學生的視野里。

緊隨其后，教師應進一步抓住購物情境中產生的小數與測量情境中產生的小數進行意義的比對與同化。例如，“0.5元”與“0.5米”去除單位后小數意義相同，都表示，然后把小數的意義通過“方形圖→線段圖→數軸圖”反映出來，讓學生領悟小數在數學中的不同表征方式，進而強化小數的意義，引導學生排除生活情境的干擾，走向數學的最深處。

一旦前期的知識抽象徹底，等到教學“小數的性質”時，學生就不會那么容易受困于生活情境之中，而能夠清楚地明白教師所提出的“0.3和0.30是否相等”這一問題指向的是數的大小比較，與數量無關。

從上述課例中，我們還能夠發現另外一個涉及教師教學行為的問題。學生之所以會去牽扯小數的數量，一方面與教學從生活引入有關，另一方面與教師問話有關，“那現在相等嗎”讓學生誤以為教師說的是反話，從而想方設法證明0.3和0.30不相等。之所以會產生這樣的誤解，是因為在以往的教學中，限于時間，教師大多會直接擦去單位名稱直接揭示“0.3=0.30”，而不會多此一問，反之，如果教師突然多此一問，就會讓學生以為教師故此一問，是反話正說。由此可見，教師的“反常”會引起學生的懷疑，從而誤入歧途。當然，如果學生基礎扎實，不管教師怎樣說、怎樣問，都會意志堅定。

其實，教到“小數的性質”這一步，學生的學習已經多次經歷了從生活到數學、從特殊到一般的過程，已具有了豐富的生活經驗和數學經驗。只要知識抽象得徹底，“小數的性質”這一節課不妨換一種教學路線，采用從一般到特殊的思路來設計教學：課一開始，讓學生直接思考“0.3和0.30是否相等”這一數學問題，估計會有許多學生憑直覺會猜測0.3和0.30相等，教師就可以充分利用學生的這種想法甚至爭議，引導學生去自己尋找方法來證明自己的觀點或推翻別人的觀點。此時，學生會主動遷移以前的相關經驗，像上述課后訪談中的那些學生的想法一樣，或利用購物或測量的生活情境來尋找答案，或通過畫圖（不畫圖亦可）直接從這些小數所表示的分數意義上來說明問題，當然也可能有學生把0.3和0.30放入前一節課剛學的數位順序表中來解釋。而教師可以事先為學生提供米尺、方格紙、數位順序表等探索工具。

從數學回溯到生活，這樣“倒行逆施”的教法可以最大程度上避開生活對學生思考問題的負面影響。在這里，學生成功地運用了“關系映射反演”原則：給每個數加上一個單位，比如“米”，這樣就形成了“數”與“長度”的一一對應關系，“長度”是“數”在這個映射下的像。利用生活經驗和數學經驗，得到了像之間的關系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出這兩個像的原像之間的關系（0.3=0.30）。學生運用“關系映射反演”原則來解決問題，從一般到特殊，從而有效地避免了由生活經驗（特殊）到數學知識（一般）所帶來的“意外”。

當然，為了使學生適應這樣的思考問題、研究問題的方式，我們在教學五年級的“小數的再認識”時，就可以嘗試改變“小數的初步認識”時所遵循的“生活應用→數學發現”的一般教學程序，而采用“數學發現→生活解釋”這樣逆向行駛：先讓學生根據已知的“一位小數表示十分之幾”猜想出“兩位小數表示百分之幾、三位小數表示千分之幾……”，然后讓學生回到購物和測量的生活情境中尋找依據，在此正好與教材例題實現對接。

這樣反其道而行之的教學思路，還有一個更大的好處是，可以有效地改變慣常和平常的教學方式，充分發揮學生的主體作用，真正讓學習變成學生自己的事。因為人的思維和人體的健康系統具有免疫自檢自適應功能一樣，學生在尋找知識解釋方法、尋找知識解釋工具的過程中，會根據知識的意義進行自適應的不斷嘗試和不斷調整，所以，教師不必擔心學生找不到知識的“家”。

綜上所述，生活并不總是對學生的學習產生“正能量”，它有時也會阻擾學生更深入的學習。經驗是理解的基礎，提供了把未知的信息模塊連接到已有經驗結構中去的背景和方法，但有時也會產生誤導。希望我們的教師都能明白這一點，千萬不要不分階段、不分場合、不分對象都來“生活化”一下，如果一味這樣教學，就可能會弄巧成拙。

（江蘇省無錫市錫山區東亭實驗小學 214101

（江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214101）endprint

要么用紅色粉筆突出其中的“數”，要么在黑板上擦去或在屏幕上隱去其后的單位名稱，僅把“數”留在學生的視野里。

緊隨其后，教師應進一步抓住購物情境中產生的小數與測量情境中產生的小數進行意義的比對與同化。例如，“0.5元”與“0.5米”去除單位后小數意義相同，都表示，然后把小數的意義通過“方形圖→線段圖→數軸圖”反映出來，讓學生領悟小數在數學中的不同表征方式，進而強化小數的意義，引導學生排除生活情境的干擾，走向數學的最深處。

一旦前期的知識抽象徹底，等到教學“小數的性質”時，學生就不會那么容易受困于生活情境之中，而能夠清楚地明白教師所提出的“0.3和0.30是否相等”這一問題指向的是數的大小比較，與數量無關。

從上述課例中，我們還能夠發現另外一個涉及教師教學行為的問題。學生之所以會去牽扯小數的數量，一方面與教學從生活引入有關，另一方面與教師問話有關，“那現在相等嗎”讓學生誤以為教師說的是反話，從而想方設法證明0.3和0.30不相等。之所以會產生這樣的誤解，是因為在以往的教學中，限于時間，教師大多會直接擦去單位名稱直接揭示“0.3=0.30”，而不會多此一問，反之，如果教師突然多此一問，就會讓學生以為教師故此一問，是反話正說。由此可見，教師的“反常”會引起學生的懷疑，從而誤入歧途。當然，如果學生基礎扎實，不管教師怎樣說、怎樣問，都會意志堅定。

其實，教到“小數的性質”這一步，學生的學習已經多次經歷了從生活到數學、從特殊到一般的過程，已具有了豐富的生活經驗和數學經驗。只要知識抽象得徹底，“小數的性質”這一節課不妨換一種教學路線，采用從一般到特殊的思路來設計教學：課一開始，讓學生直接思考“0.3和0.30是否相等”這一數學問題，估計會有許多學生憑直覺會猜測0.3和0.30相等，教師就可以充分利用學生的這種想法甚至爭議，引導學生去自己尋找方法來證明自己的觀點或推翻別人的觀點。此時，學生會主動遷移以前的相關經驗，像上述課后訪談中的那些學生的想法一樣，或利用購物或測量的生活情境來尋找答案，或通過畫圖（不畫圖亦可）直接從這些小數所表示的分數意義上來說明問題，當然也可能有學生把0.3和0.30放入前一節課剛學的數位順序表中來解釋。而教師可以事先為學生提供米尺、方格紙、數位順序表等探索工具。

從數學回溯到生活，這樣“倒行逆施”的教法可以最大程度上避開生活對學生思考問題的負面影響。在這里，學生成功地運用了“關系映射反演”原則：給每個數加上一個單位，比如“米”，這樣就形成了“數”與“長度”的一一對應關系，“長度”是“數”在這個映射下的像。利用生活經驗和數學經驗，得到了像之間的關系（0.3米=0.30米），然后利用“反演”得出這兩個像的原像之間的關系（0.3=0.30）。學生運用“關系映射反演”原則來解決問題，從一般到特殊，從而有效地避免了由生活經驗（特殊）到數學知識（一般）所帶來的“意外”。

當然，為了使學生適應這樣的思考問題、研究問題的方式，我們在教學五年級的“小數的再認識”時，就可以嘗試改變“小數的初步認識”時所遵循的“生活應用→數學發現”的一般教學程序，而采用“數學發現→生活解釋”這樣逆向行駛：先讓學生根據已知的“一位小數表示十分之幾”猜想出“兩位小數表示百分之幾、三位小數表示千分之幾……”，然后讓學生回到購物和測量的生活情境中尋找依據，在此正好與教材例題實現對接。

這樣反其道而行之的教學思路，還有一個更大的好處是，可以有效地改變慣常和平常的教學方式，充分發揮學生的主體作用，真正讓學習變成學生自己的事。因為人的思維和人體的健康系統具有免疫自檢自適應功能一樣，學生在尋找知識解釋方法、尋找知識解釋工具的過程中，會根據知識的意義進行自適應的不斷嘗試和不斷調整，所以，教師不必擔心學生找不到知識的“家”。

綜上所述，生活并不總是對學生的學習產生“正能量”，它有時也會阻擾學生更深入的學習。經驗是理解的基礎，提供了把未知的信息模塊連接到已有經驗結構中去的背景和方法，但有時也會產生誤導。希望我們的教師都能明白這一點，千萬不要不分階段、不分場合、不分對象都來“生活化”一下，如果一味這樣教學，就可能會弄巧成拙。

（江蘇省無錫市錫山區東亭實驗小學 214101

（江蘇省無錫市錫山教師進修學校 214101）endprint