以靜代動有限元原理及其在凸極類電機中的應用

王世山 虞振洋 謝仁和 龔 敏 秦海鴻

（南京航空航天大學江蘇省新能源發電與電能變換重點實驗室 南京 210016）

1 引言

制造及控制技術的提高使得電機向著特種化方向發展。開關磁阻、雙凸極電機均不同于傳統交、直流電機結構，屬于凸極類電機，由于其固有的優點，非常適合需要高速、高溫的航空領域使用[1,2]。然而，由于凸極電機工作原理不同于傳統電機，采用傳統經驗或磁路方法的設計會對該類電機帶來較大的誤差[3,4]。因此，數值計算法，尤其是基于有限元算法的通用軟件成為分析和設計該類電機的重要選擇[5,6]。

理論上，可以令轉子位于任意一位置角建立電機數值計算模型，但對于360o全區域則計算量急劇增大，即使僅考慮一對極之間的區域，對于極對數較少的高速電機計算量仍然很大，難以滿足電機設計階段以某一技術指標為目標的自動優化設計。如果以某一位置模型為基準，不同位置角對電機始終采用這一模型，僅修正不同的邊界條件模擬電機轉子的不同位置，則可大大減少數值計算規模，也可以簡化程序，適合電機設計期間進行優化結構，本文將這一方法，稱作“以靜代動法”（Method of Motion Replaced by Rest,MRR）。

實質上，MRR即為如何處理電機定、轉子相對運動的問題，處理這一問題有邊界積分法[7]、耦合單元法[8]、預存儲剖分法[9]、氣隙單元法[10]和運動邊界法[11]，其中邊界法以能夠保持有限元方程稀疏性、程序易實現性而更受歡迎，與本文所采用的MRR類似。文獻[12]僅用少量內容闡述了運動邊界法基本思路，也有文獻采用類似方法對電機進行建模和仿真[13-15]，但目前尚未檢索到文獻將這一技術如何與損耗、優化結構結合在一起進行電機的設計。

毫無疑問，損耗是電機最重要特性之一，其值的大小決定了電機效率的高低，因此對損耗的預估對設計高品質的電機具有重要意義。

一般而言，電機的損耗包括線圈損耗、鐵心損耗和雜散損耗[16]。線圈損耗，即使計及導線集膚效應，也有許多經典理論和算法提供其相關公式；雜散損耗，對于磁軸承、真空環境運行可忽略，對于低速普通環境電機可采用測量方式確定；唯有鐵心損耗，由于結構和材料的復雜性，所以一直引起研究人員的關注[17-19]。

鐵心損耗，根據引起損耗機理的不同，存在三種形式，即渦流、磁滯以及剩余。部分研究試圖用實驗方式對這三種損耗進行分離，然而即使采用實驗法分離，則分離后的結果一般僅適合于特定設備，缺乏一種普遍性結果。文獻[20]介紹，采用斯坦麥茨（Steinmaz）公式[21]，對中等強度磁場和較低頻率下可忽略剩余損耗，對非正弦波形，引入波形系數進行校正，但是對非標準的非正弦波（如極不規則周期波），則這一公式也無能為力；文獻[21]以54篇文獻詳細地綜述了鐵心內三種損耗的計算原則，其本質仍然是斯坦麥茨公式，差別僅在于磁滯損耗與磁通密度指數項的不同。

因此，本文結合凸極類電機特點，假定剩余損耗可忽略，對電樞電流頻率產生的渦流損耗進行計算，有別于前述文獻中渦流損耗系數必須經測量的環節。結合一次測量總損耗，確定磁滯損耗系數，由此可進一步預測鐵心的各種損耗。

2 MRR有限元原理

2.1 電機靜止狀態磁場邊值問題

對凸極類電機，以開關磁阻電機為例說明（雙凸極電機類似）。設忽略電機端部效應，則一個截面可表示為如圖1所示，其磁場分布可看作為一個2D平行平面場。對于求解該平行平面場，可選擇矢量磁位A的z分量Az為自由度（簡記為A），則

式中，Jc為激勵電流區域的電流面密度；S1、S2分別為電機外邊界和轉軸內邊界，可以選擇為矢量磁位A的參考面。

圖1 凸極電機的一個平行平面截面Fig.1 A parallel plane cross-section of the salient motor

為體現電機的旋轉效應，可將圖1中的電機“定子”和“轉子”分別建立模型，即“轉子模型”建為圖2a，該模型除包含實體轉子外，外邊界包含1/2厚度的空氣間隙；“定子模型”為圖2b，同樣該模型除包含定子實體外，內邊界也包含 1/2厚度空氣間隙。

圖2 子區域模型Fig.2 Sub-region model

假設轉子邊界 Gap1和定子邊界 Gap2上分別均勻分布n個節點 p1,p2,…,pn和q1,q2,…,qn。設某一時刻 p1與q1重合，則p2和q2重合，…，pn和qn重合，則對應自由度一定相等，即

式（2）稱作轉子、定子區域邊界的自由度耦合方程，與式（1）共同構成以分區域轉子與定子建立時的邊值問題。

若利用有限元對所建立的區域離散化，則該靜態 2D平行平面磁場可求解，由此可進一步分析電機相關特性。

2.2 電機運動狀態邊值問題

因為電機電磁效應無“累計”效應，所以定、轉子之間這種相對運動可以通過“時步”的方法處理。假設時刻t1時圖2區域的位置，即（見圖3a）

若時刻t2，即經過Δt=t2-t1，轉子相對定子旋轉了θ

則圖3a的位置變為圖3b，相當于轉子逆時針方向旋轉了θ角度，轉子對應角速度

圖3 定、轉子邊界運動狀態Fig.3 Boundary movement with stator and rotor

此時自由度A在邊界上的耦合方程為

由此轉子實現了由p1至p2的旋轉。若給定該旋轉時間為Δt，則轉子的轉速由式（5）確定。

對編程而言，在實現式（6）之前，必須對式（2）的表達式進行“破壞”，即“解耦”才能實現式（6）。反復“耦合”+“解耦”+“錯位耦合”，則360o形成一個全區域旋轉狀態，由此可進行旋轉狀態下電機磁場的求解，本文將這一方法稱作“以靜代動”（Motion Replaced by Rest，MRR）法。

當通過有限元求解整個區域各節點磁位A后，則任意節點和單元內的磁感應強度B也可求解，對于專業化有限元軟件均可自動獲得，為分析和解決相關問題帶來極大的方便。

若式（5）中的ω 為常數，則根據不同的θ對應不同的時刻 t，則可獲得某一固定轉速下各物理量隨時間的變化規律，如圖4所示。

圖4 電機物理量隨時間變化Fig.4 Physical quantity of motor via time

2.3 分區域的邊界—氣隙的剖分

圖5 氣隙層剖分Fig.5 Meshing for air gap layer

根據耦合邊界節點必須為均勻分布，而轉子和定子有凸極的特點，則圖5轉子側空氣A和定子側空氣B必須為自由（Free）剖分，而鄰近邊界區C和D可選擇用均勻“映射”（Mapped）剖分。

3 電機穩定旋轉狀態下損耗求解

電機的穩定運行狀態下其損耗包括電樞損耗和鐵心損耗。在電樞損耗電流諧波成分較小及漏磁較小的條件下，電樞損耗可以按直流損耗計算，也可以參考變壓器中導體渦流損耗的方法進行計算[22,23]；鐵心損耗則包含渦流損耗、磁滯損耗和剩余損耗[24]。雖然電機結構不同，但由于引起其損耗的機理相同，所以不同電機類型間這些損耗的計算方法可以相互借鑒。

3.1 渦流損耗

3.1.1 渦流損耗構成及矩形薄片渦流損耗

貫穿電機鐵心內的磁感應強度在圓柱坐標系下可分解為 Br、Bθ和 Bz三個方向的分量（圖6見），它們分別在截面 S1/S3（上下面）、S5/S6（左右面）和S2/S3（前后面）上產生渦流及其損耗。對于可忽略電機端部效應的磁場，則Bz=0，S2/S3截面上的渦流可以忽略。因此，渦流損耗僅由Br、Bθ所決定。

事實上，從渦流損耗的角度來看，Br、Bθ所產生的效應相同，因此只需通過研究一種正弦激勵磁場在一類硅鋼片中的損耗，并在此基礎上對所有鐵心渦流損耗疊加即可。

假設圖6硅鋼片為矩形（見圖7），有激勵磁場

圖6 電機鐵心渦流損耗構成Fig.6 Consisting of eddy current power loss inside core

圖7 處于磁場中的矩形硅鋼片Fig.7 Silicon steel sheet immersed in the magnetic field

對忽略每片鐵心邊緣效應時，其渦流損耗為[25]

與綜量Kt有關的函數f(Kt) 反映了硅鋼片在外加激勵下的去磁效應

當 Kt數值很小時，則 f(Kt)≈1，如 Kt＜2.4，f(Kt) 僅引起5%的誤差，則單位體積的渦流損耗為

當數值較大時（經計算 Kt＞4.0），則 f(Kt)≈3/(Kt)，則

3.1.2 電機硅鋼片渦流損耗

對于可簡化為2D磁場硅鋼片渦流計算，式（8）S為硅鋼片的截面面積。因此，渦流計算時矩形截面的面積S成為影響其值的重要因素。

在有限元數值計算中，硅鋼片截面可剖分為三角形和四邊形，而式（8）理論上僅適合于矩形截面。然而，任意三角形、非矩形四邊形剖分單元總可以通過足夠多的矩形逼近及合成，只要這些矩形截面內的材料特性相同、磁感應強度也相同，則該單元的渦流損耗完全可以根據式（8）計算，只是S變為剖分單元的面積即可。

由圖4可見，鐵心內的B一定為周期非正弦激勵。若對鐵心內的B進行傅里葉分解，即分解為具有n次諧波的合成

其中，直流分量B0不產生渦流以及損耗，對每一次諧波i代入式（8）進行渦流計算，則一個剖分單元在圖4隨時間變化的磁場激勵下，其渦流損耗為

對一剖分為Ne的硅鋼片，則其渦流損耗為

3.2 磁滯損耗系數

磁滯損耗，由磁疇的不可逆移動而引起的損耗，由于其精確計算涉及材料的微觀結構，所以電氣工程界經常結合一定的經驗獲取該損耗值。

據Steinmaz公式，對電力設備中的鐵心損耗，剩余損耗可以忽略不計，則鐵心損耗為

式中，Pe,s為式（14）考慮所有硅鋼片后的渦流損耗，而磁滯損耗Ph為

式中，Kh為與頻率f無關，僅與硅鋼片厚度、材質有關的常數；指數α可以通過嚴格的實驗測定，但是對于大多數不具備實驗條件的研究，可以近似選取，本文根據相關實驗發現取 1.6可取得較好結果。

假設對某一規格鐵心電機，設法測定式（15）中的 Psteel，若能夠較準確地計算到其中的 Pe,s，則式（15）中的Kh為

由此，可通過測量電機的總鐵心損耗，結合渦流計算公式可以間接近似計算出某一規格硅鋼片的磁滯損耗系數Kh。假設以該類硅鋼片制造任何型式的電機，則可以將式（17）中的 Kh代入式（16），即可計算不同電機采用同類硅鋼片的磁滯損耗。

4 雙凸極電機損耗的求解及其驗證

4.1 樣機結構

選用一臺額定功率為 45kW，定轉子極數為30/20的三相電勵磁雙凸極發電機進行損耗的求解和驗證，其中硅鋼片采用 DW310-35，疊壓系數為0.95，額定轉速為2 200r/min，電機結構示意圖如圖8所示，結構參數見表1。

圖8 電機結構Fig.8 The structure of motor

表1 樣機結構Tab.1 The dimension of the motor prototype

4.2 MRR實施

對電機進行2-D有限元建立模型，剖分如圖9所示。考慮到計算精度，鐵心和氣隙全部采用具有中間節點的四邊形單元，即八節點四邊形單元。

圖9 模型剖分Fig.9 Meshing of the model

對表1結構模型，剖分單元數為6 380，節點數為19 100。模型剖分后，對30/20的雙凸極實施MRR的，圖10示意了不同機械角度時磁通密度分布狀況。

圖10 MRR下的磁通密度分布Fig.10 Flux density distribution using MRR method

圖10顯示，定轉子的相對位置沒有改變，但磁通密度分布變化。0o時磁通密度在轉子A處和定子B處是連續的，通過MRR法轉動9o后，磁通密度出現不連續。事實上，定子D位置磁通密度是與轉子C處的磁通密度連續，這是因為轉子已經發生了轉動。

4.3 樣機電樞繞組的電感特性

為了得到加載的電樞電流波形，必須要得到電機運行時各相的自感以及相繞組和勵磁繞組之間的互感。

若僅對某一相繞組通電流 Ii，提取整個求解區域的能量Wm，則i繞組的自感為

若僅對兩相繞組i、j分別通電流Ii、Ij，則整個求解區域的能量為

在采用式（18）的方法分別求得兩繞組自感Li和Lj的基礎上，則互感Lij立即可以求得；由此，對A、B、C三相繞組以及勵磁繞組而言，可以求得其電感的空間分布（見圖11、圖12）。

圖11 三相繞組電感Fig.11 Three-phase winding inductance

圖12 相繞組和勵磁繞組互感Fig.12 Mutual inductance between phase winding and excitation one

雙凸極電機相自感和相-勵磁互感具有同樣的變化趨勢，但是由于三相間的互感數值及其變化很小的緣故，所以三相繞組的互感可忽略不計。

4.4 功率變換電路及電樞電流

本文的雙凸極電機系統中，功率變換器采用三相橋式電路（見圖13）。

圖13 開關主電路Fig.13 Main switch circuit

對該電路拓撲建立Simulink模型，將有限元軟件ANSYS的計算電感數據導入（見圖11、圖12），采用標準角控制法進行仿真，得到三相電樞繞組的驅動電流（見圖14）。

圖14 三相驅動電流（If=6.41A）Fig.14 Three-phase driving current(If=6.41A)

4.5 磁滯損耗系數計算

用 MRR法對電機模型進行轉動分析，提取空載工作下加載不同勵磁電流時的轉子鐵心齒部的磁通密度值B，并進行傅里葉分解（見圖15、圖16）。圖例為 1 100r/min下空載運行，選取 72o機械角為一個周期，轉子每 1.5o轉動一次，則采樣工作點N=(72/1.5)+1=49。傅里葉分解的諧波次數 k=[(49-3)/2+1]次=23次，基頻f0=5n/60=91.67Hz。

圖15、圖16顯示，鐵心中的磁通密度只有奇數次諧波，這是由于轉子齒中切向和環向磁通密度在一個周期內半波對稱。

圖15 徑向磁通密度傅里葉分解Fig.15 Fourier decomposition on flux density along radial direction

圖16 環向磁通密度傅里葉分解Fig.16 Fourier decomposition on flux density along toroidal direction

通過電機不同勵磁電流和轉速下空載實驗測得的總損耗與風摩損耗的差值表示鐵心損耗（見表2），渦流損耗用式（8）、式（9）和式（14）來計算得出，根據式（15），得出總的磁滯損耗，再根據式（17）計算出磁滯損耗系數（見表3）。

表2 不同工況下空載損耗Tab.2 No-load losses at different working conditions

表3 不同工況下的磁滯損耗系數Tab.3 Hysteresis loss coefficient at the different working conditions

表3顯示，磁滯損耗系數在不同工況下變化很小，也驗證了磁滯損耗系數的特性。對于同一規格的硅鋼片可以取平均值進行計算，該電機的硅鋼片的磁滯損耗系數取Kh=0.77。

4.6 電機損耗

將磁滯損耗系數 Kh代入式（16），就可計算該電機的磁滯損耗了，進而可以計算求解出電機的鐵心損耗。

本文以樣機在發電下運行的實驗測得的steelP′數據和ANSYS有限元軟件計算出的鐵心損耗Psteel進行比較，分析誤差H（表4）。

表4 1 100r/min下各個工況下的損耗Tab.4 Losses at the speed of 1 100r/min under different working conditions

由表4中的H得知，滿足誤差在15%以內，具有參考意義。因此可以將該系數用于其他采用DW310-35硅鋼片的雙凸極電機中進行設計仿真。

5 結論

本文以旋轉狀態下的電機為研究對象，采用以某一位置的 2D有限元法建立了對應磁場模型，提出了求解電機損耗的方法，并以雙凸極電機為例取得了與實驗一致的結果，得到如下結論：

（1）以靜代動的有限元法理論上可以求解任何旋轉類設備的磁場分布問題。選擇矢量磁位A為自由度，對定、轉子及相鄰部分的氣隙層分別建立有限元模型，令其接觸的空氣邊界自由度不斷“耦合”及“解耦+滑動+再耦合”，可以模擬電機的旋轉狀態，由此可以求解旋轉狀態的磁場分布。

（2）采用以靜代動的有限元法求解定、轉子中每一單元內磁通密度隨時間的變化，由此可獲得每一鐵心單元磁通密度的所有諧波構成，進一步可求解得到每一單元的渦流、磁滯和剩余損耗。

（3）以雙凸極電機為例，若選擇某一規格電機為樣機，結合測試電機總損耗則可間接獲取一種規格硅鋼片磁滯損耗系數，由此可進一步計算采用同類硅鋼片電機的各類損耗，為設計電機期間損耗的計算奠定了一定的理論基礎。

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