簡單電容電路最小點燃電壓曲線的數值化研究

王玉婷 劉樹林 馬一博 趙永秀

（西安科技大學電氣與控制工程學院 西安 710054）

1 引言

應用于煤礦等危險環境的電氣設備必須滿足防爆的要求[1]，本質安全是最佳的防爆型式，因此，防爆電氣設備盡可能設計成本質安全型[2]。目前，評價電氣設備本質安全性能的方法主要有兩種：爆炸性試驗方法和非爆炸性判斷方法[3]。爆炸性試驗方法不能給相關研究提供理論指導，大大地限制了本安型裝置的研發和推廣應用。而非爆炸性判斷方法可避免爆炸性試驗方法的不足，為本質安全電路的設計提供的理論指導[4]。其中，最小點燃曲線是非爆炸性判斷方法的重要依據和核心內容。

目前，有關最小點燃曲線的報道僅限于對該類曲線修正方面的研究[5,6]，而對于最小點燃曲線的數值化，還未見到相關報道。本質安全電路的設計通常是已知部分性能指標或元器件參數，通過查表得到滿足本安的臨界數值[7]，再依據本質安全要求，并考慮一定的安全系數，對其余元件參數進行合理設計。但是，這種方法不但存在很大的誤差，且因人而異，使用不便。因此，研究基于 PC平臺的數值化本安評價系統是評價電氣設備本安性能的必然趨勢。而最小點燃曲線的數值化是銜接手動查詢原始實驗曲線的判斷方法和基于 PC平臺的本安評價系統的基礎，所以對最小點燃曲線數值化的研究十分重要和必要。

為此，本文將利用Matlab中的Cftool將簡單電容電路的臨界點燃曲線轉化成一可查詢的函數，用該函數求得對應參數來代替手動查表的過程，從而實現最小點燃曲線查詢的數值化和方便快捷，可為非爆炸性本安評價系統的設計奠定良好基礎，對本質安全電氣設備的設計及推廣應用具有重要意義。

2 簡單電容電路的最小點燃電壓曲線

針對本安問題的研究，可將電路分為簡單電路和復雜電路，簡單電路又分為簡單電阻、電容及電感電路。對于簡單電路的本安性能，可直接采用相應的最小點燃曲線進行判斷。最小點燃電壓曲線是針對簡單電容電路，以電容量和點燃電壓為坐標的曲線[8]，如圖1所示[1]。

圖1 I類電容電路最小點燃電壓曲線Fig.1 Minimum ignition voltage curve of the capacitive circuit

對于簡單電容電路，根據電路中電容量的值便可以查得該電路的最小點燃電壓值，但不能直接用于工程設計，必須要考慮適當的安全系數，具體公式如下：

設計最大允許電流（電壓）=曲線查得的最小點燃電流（電壓）/安全系數

圖1中的左下角為對簡單電容電路進行爆炸性試驗的等效電路。圖中包含有4條曲線，分別對應R=0、5.6Ω、15Ω、40Ω。從圖1中可見，隨著限流電阻的增加，對應的最小點燃電壓也隨著增加，即其本安性能也隨之提高。本文將對最危險情況（R=0）對應的點燃電壓曲線的數值擬合方法進行研究。

3 基于Cftool工具箱的最小點燃電壓曲線數值化

3.1 基于Cftool工具箱的曲線擬合與數值化流程

擬合工具箱 Cftool是用戶圖形界面 GUI和Matlab內部M函數的集成[9]，可對數據進行分段、平滑等預處理；可使用樣條法等插值法對非參變量進行數據擬合，具有將可視化與數值化相結合的特點[10]。

Cftool工具箱的使用方法為：啟動 Cftool，進入曲線擬合工具箱界面“Curve Fitting tool”，打開data窗口，讀入需要擬合的數據點數組，數組中的數據會顯示在工具箱界面的坐標系下。在Fitting窗口中新建一個fit，然后在“Type of fit”菜單中選擇需要的擬合曲線類型。Cftool工具箱提供的擬合類型有用戶自定義函數類型、指數逼近、傅里葉逼近、高斯逼近、插值逼近、多項式逼近、冪逼近和有理數逼近等等。根據數據特征和用戶的需要選擇合適的擬合類型，點擊“Apply”，Results框中會顯示擬合結果。

對Cftool工具箱的擬合結果，通過編程來查詢擬合結果中的任意值，從而實現最小點燃電壓曲線的數值化。

最小點燃電壓曲線數值化的思路為：首先，在最小點燃電壓曲線取一些合適的點，讀取各點對應的最小點燃電壓及電容值，再將所讀取的數據轉換為對數；其次，使用Cftool對轉化后的數據進行擬合；最后，利用Matlab程序設計，實現對擬合結果的數值查詢。

3.2 曲線擬合的原理及方法

曲線擬合（curve fitting）是一種用解析表達式逼近平面上離散點組的數據處理方法。在實際工程應用和科學實踐中，經常需要尋求兩個（或多個）變量間的關系，而實際卻只能通過觀測得到一些離散的數據點，曲線擬合是針對這些分散的數據點，運用擬合方法生成一條連續的曲線，并用擬合的曲線方程分析兩變量間的關系。

曲線擬合可分為參數擬合和非參數擬合，參數擬合是做曲線的最佳逼近，擬合函數不需要經過所有數據點，而在非參數擬合中，認為已知點是準確的，擬合過程主要是用不同的方法來求取描述點之間的數據，從而得到擬合曲線。插值法是非參數擬合中收斂性較好的一種方法，它包括拉格朗日插值、牛頓插值、埃爾米特插值、分段低次插值和三次樣條插值等[11]。拉格朗日插值多項式直接顯示了與插值節點的關系，使用更加方便，適應于理論應用。牛頓插值法具有承襲性，每增加一個點，只需在原來的結果上加上一項即可。埃爾米特插值和三次樣條插值多用于計算[12,13]。通過對各種方法的擬合結果進行分析發現，參數擬合很難完整的描述本文數據的特征，而非參數擬合中的三次樣條插值擬合結果和原曲線最為相似。因此，本文選擇三次樣條插值法。

三次樣條插值法帶有導數條件，求得的插值函數與原始數據更吻合，而且具有一階、二階導數的收斂性質，因而在曲線擬合中被廣泛應用。但是實際計算時還需要引入邊界條件才能完成計算。邊界通常有自然邊界（邊界點的導數為0），夾持邊界（邊界點導數給定），非扭結邊界（使兩端點的三階導與這兩端點的鄰近點的三階導相等）。目前，最小點燃曲線中電壓和電容的關系只能根據實驗結果測得，沒有確定的理論推斷，因此在邊界處的導數條件沒有相關的理論依據。所以，本文的 3.3小節中的邊界條件采用默認的自然邊界條件。

3.3 電容電路最小點燃曲線的擬合

要實現基于計算機的非爆炸評價方法，必須對最小點燃曲線進行擬合，實現最小點燃曲線查詢部分的數字化。

本文以圖1中R=0Ω的曲線為例進行擬合研究。首先，讀取曲線上最小點燃電壓對應的電容值，將uk存入數組 U，ck存入數組 C（k=0,1,2,…,12），其中U為最小點燃電壓值，單位為V；C為對應的電容量，單位為μF。

U=(10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 200 300 400);

C=(4300 24 8 4.1 2.5 1.7 1.3 1.05 0.81 0.66 0.205 0.105 0.07);

其次，根據三次樣條插值法對該組數據進行處理。將最小點燃曲線的數據分為兩個部分進行插值法求解，第一部分為u0～u9（電壓值為10～100的數據點），第二部分為u9～u12（電壓值為100～400的數據點）。

參照文獻[10]中求解三次樣條插值法的公式，第一部分數據的求解過程如下：

其中， hj為相鄰電壓值之差，即步長。且 λj,mj,μj,gj滿足關系式[10]

考慮到邊界條件，可用矩陣形式將式（4）表示為

在自然邊界條件下，將式（2）、式（3）代入式（5）可得

求解式（6）可得

用三次樣條插值法求解電容量函數的基本形式為

例如在[50，60]區間，將表中及式（7）代入式（8）中可得電容量 C( u)的表達式如下所示[6]

參照第一部分數據的計算公式，可得第二部分數據的相關參數計算為

自然邊界條件下相對應的三對角方程組為

其解為 m11=-4 .17× 1 0-3,m12=3× 1 0-5。

例如在區間[200，300]上,將表中及式（12）的解代入式（8）中可得

依據上述理論，本文應用Matlab對簡單容性電路最小點燃曲線進行擬合。先將數組 U、C存入Matlab工作空間,在 Cftool工具箱中，選擇擬合數組，點擊生成數據，U、C即會顯示在擬合工具箱下的坐標系中。從圖中我們可以發現，該圖中的數據走勢和圖1中相差很大，這是由于圖1的坐標軸不同于通常坐標軸，不是平均分配的，而是對數坐標。但在Cftool中的坐標是通常意義下的線性坐標，所以兩種坐標軸下的顯示數據趨勢不同，再加上之前在對數坐標系下取得的數據在 C<1000的部分比較密集且C數據跨度很大，采用Cftool中的坐標很難完整的描述所有數據的特性。而且在這種情況下，多種擬合方法的擬合結果都與實際曲線的走勢差距太大，無法擬合出比較符合數據特性的曲線。

但是在Cftool中沒有對數坐標，因此，本文在該處采用數據轉換的方法對其進行處理：對數組U和C中的數據進行取對數運算（運算結果存入u、c），然后再進行曲線擬合。由Cftool坐標系中的顯示可以看出，進行數據轉換處理之后，數據分布比較分散，數據之間的位置關系比較明顯，更容易進行曲線擬合。

在Cftool的多種擬合類型中，多項式擬合最簡單常用，且擬合函數簡單；自定義函數類型能夠根據用戶的需要設置函數類型等。而有關最小點燃曲線的擬合，根據數據的分布規律，及對各種擬合結果的觀察分析可知，使用插值法所得的曲線與原曲線最為接近。將擬合類型設置為 interpolant，選擇其中的cubic spline擬合方式，單擊Apply，得到擬合結果如下所示：

圖2 差值擬合結果Fig.2 The interpolant fitting results

其中灰色曲線為插值擬合后的曲線，黑色點為原曲線中所取得數組經過變換所得的值。橫縱坐標分別代表的取對數后的最小點燃電壓值和電容值。

該曲線的擬合是以三次樣條插值法為理論依據的，但是在Matlab軟件中，默認的邊界條件為非扭結邊界，因此，圖中擬合結果和前文中的計算結果近似相等。

但是，插值法是求取描述數據點之間的值的一種擬合，擬合結果不像多項式擬合一樣存在具體函數表達式。因此無法實現程序查詢，阻礙了非爆炸性本安判據的數字化實現。本文用如下語句解決這一問題：

該語句將差值擬合變為類似函數的形式，u1為自變量，即待評價電路輸出電壓取對數后的值；c為因變量，即滿足本安要求的臨界電容量取對數后的值。interp1表示擬合方法為插值擬合，spline表示插值擬合中的具體類型為三次樣條插值。u、c為需要插值擬合的數組。

將等效電容值及相關參數經過變換帶入c中，將得出的數值進行反對數運算，即可得到滿足本安要求的參數范圍，運算結果既可指導本安儀器的設計，也可將實際電路參數與所得參數范圍相比較，得到電路的輸出本安特性。

4 曲線擬合的應用

綜合上述分析，可以得到容性電路的最小點燃電壓曲線的擬合結果，并以程序實現對擬合曲線的函數查詢：輸入不同的Vi值，即可得到對應的電容值。

為了驗證擬合曲線的正確性，I類電容電路在最小點燃電壓值為13V、33V、130V、330V處，查最小點燃曲線讀取數據；并在相應的電壓值處，用上述方式查詢擬合函數，得到對應的電容值。數據結果對比如下表所示：

表 軟件查詢和查曲線讀取數據的結果對比Tab.The comparison between software query results and inquiring the curve data

從上表的對比結果可以得出查曲線讀取數據和查詢擬合函數所得的結果誤差在 5%以內，因此，擬合曲線和原曲線擬合程度很高，該擬合查詢函數可以用于軟件實現最小點燃曲線的查詢。

5 結論

利用Matlab中Cftool工具箱對最小點燃曲線進行了擬合研究，得出了相應的擬合曲線以及曲線的函數查詢方法，進而實現了非爆炸性判斷方法的數值化和軟件化。該結論為本安評價系統的軟件設計奠定了一定的基礎，同時也減小了查曲線讀取數據的人為誤差。通過將在最小點燃曲線上讀取的電壓值和電容量以對數來表示解決了被擬合數據和Cftool工具箱坐標不相符的問題，而且將在最小點燃曲線上讀取的數據分為兩部分，以三次樣條插值法進行擬合，得到了最接近實驗曲線的擬合結果，最后應用程序設計實現了對最小點燃曲線的數值化查詢。最小點燃曲線作為非爆炸性本安判據的理論依據，不僅在本質安全電路的設計具有指導意義，而且是電路本安性能的判斷的重要準則。簡單電容電路最小點燃曲線的數值化擬合實現，為實現基于PC平臺的本安評價系統架好了橋梁，對實現本安評價的軟件化具有非常重要的意義。

文中的方法可推廣應用到對阻性、感性電路的最小點燃曲線及其它曲線的擬合和數值化。

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