SOCP寬帶波束形成器非樣本頻點上恒定束寬問題研究

楊 君 漆 峰

(1.裝備學院 北京 101416;2.63812部隊 海南 571339)

0 引言

寬帶波束形成是實現頻域寬開的關鍵技術，是數字陣列雷達(DAR)適應復雜電磁環境的必然選擇［1］。寬帶波束形成研究主要集中在束寬的頻率穩定性方面，目前主要有基于DFT變換的頻域實現方法和基于FIR濾波器的時域實現方法［2］，其中前者雖然可以利用FFT快速運算結構減少計算量，但是存在子帶分割誤差以及FFT濾波誤差［3］，使得波束形成輸出相對于源信號存在失真［2］，該方法主要用于要求算法快速低功耗的偵察雷達上;基于FIR濾波器的時域實現方法是直接對整個頻帶進行波束形成，不存在上述頻域方法的問題，是寬帶波束形成的理想方法，這種波束形成器設計的主要工作就是設計陣元FIR濾波器，每個陣元FIR濾波器的相同頻點上的頻率響應組成該頻點上波束形成器，而其設計的核心原則就是盡可能的保持帶內各個頻點上的波束形成器的束寬相同，即所謂的恒定束寬問題。陣元FIR濾波器設計是一個多參數優化問題，目前常用的方法就是將濾波器設計問題等價轉換成二階錐 規 劃［4-6］(Second-order Cone Programming，SOCP)問題，然后使用 MATLAB 的 Sedumi函數［7］進行優化設計。雖然SOCP可以在波束形成器的主瓣寬度、旁瓣級、主瓣響應誤差、穩健性等多個指標之間進行全面的折中處理，但是其優化的對象只能是目標頻帶內有限個離散的樣本頻點，而對那些非樣本頻點上的波束響應卻無任何約束，如果非樣本頻點上的束寬頻率穩定很差的話，這個寬帶波束形成的效果必然大大受到影響，本文正是圍繞非樣本頻點上的束寬頻率穩定性問題展開研究。

1 非樣本點束寬頻率穩定性分析

所謂束寬的頻率穩定性是指寬帶波束形成器的波束寬度在帶寬內隨頻率變化的情況，束寬在各頻點上的變化越小頻率穩定性越好，使束寬方向內入射的信號頻譜產生的畸變越小。本文用各頻點上3dB束寬的方差來恒量波束形成器在該族頻點上的束寬穩定性。3dB束寬的方差定義為:

采用基于SOCP的阻帶均方誤差約束最小通帶均方誤差濾波器設計方法［2］對陣元濾波器頻率響應進行優化，選擇參數設置為:陣元數M=12，信號占用歸一化頻帶為［0．175，0．375］，陣元間距 d為歸一化頻率0.375對應波長λ的1/2，此時在歸一化頻率0.175上d/λ=1/4，在信號歸一化帶寬內均勻劃分為40個窄帶，將 d/λ =1/4、零點束寬BWNN=30o時的Dolphy-Chebyshev加權生成的波束主瓣響應作為期望主瓣響應，取主瓣區角度采樣數 ML=64 ，權系數暫取 λ1×ML=11×ML，旁瓣區角度采樣數SL=32，旁瓣級約束 μ2=10-1．2=-24dB ，白噪聲增益(加權系數范數)μ4=0．5，波束指向法線方向即θo=0o，計算得到樣本頻點上的3dB束寬方差為，非常接近于零，可見基于SOCP的波束設計和FIR濾波器設計方法可以非常準確的實現樣本頻點(各子帶中心頻點)上的恒定束寬。但是FIR濾波器的頻率響應是連續的，除了這些樣本頻點以外，還必須考查它們之間的頻點上束寬的變化。在樣本頻點之間均勻的取5個頻點，得到對應的波束圖見圖1。

此時σ23dB=3．6046，顯然束寬的頻率穩定性相對于樣本頻點明顯變差，同時，各非樣本頻點上的波束圖不僅出現了主瓣的形變，旁瓣級也明顯升高，造成這種現象的原因是整個優化過程只針對樣本頻點進行，而它們之間的頻點未作任何限制，在這些未加控制的頻點上出現了圖2所示的情況(以第7號陣元FIR濾波器為例)。

圖1 非樣本頻點上的束寬變化情況

圖2 第7號陣元FIR濾波器非樣本頻點頻率響應通帶放大圖

非樣本頻點上的頻率響應(幅度)本應該與其周圍的樣本頻點相近但卻出現了震蕩的現象，震蕩幅度越大這些非樣本頻點上的頻率響應組成的波束形成器的波束響應與樣本頻點的波束響應相差越大，導致整個通帶上的束寬穩定性下降。

2 非樣本頻點上頻率響應平滑

為了平滑非樣本頻點上的頻率響應，本文進行了大量仿真，最后得到如下結論和解決辦法:

a.增大樣本頻點的密度并不能消除其間非樣本頻點上頻率響應的幅度震蕩，在濾波器長度不變時，增大樣本頻點的密度甚至會導致震蕩幅度增大;

b.適當改變通帶樣本頻點數量與阻帶樣本頻點數量的比例可以一定程度的減小非樣本頻點上頻率響應的幅度震蕩，但效果并不明顯，束寬相對變化率仍然很大;

c.給期望頻率響應加上線性相位，可以大幅度減小甚至消除非樣本頻點頻率響應的幅度震蕩，明顯改善非樣本頻點的束寬相對變化率提高整個通帶上的束寬穩定性。

所謂給期望頻率響應加上線性相位，就是設陣元數為M，頻率為fi的樣本頻點上的波束形成加權系數為 Wfi(j)，j=1，2，3，…，M ，第 j個陣元 FIR濾波器的期望頻率響應為Hdj(fi)，i=1，2，3，…，L，則有:

此時在上式右邊乘以一個線性相位:

其中N為濾波器長度。加入該線性相位后頻點fi上的波束響應為:

其中λi為fi對應的波長。可以看到線性相位并不會改變該頻點上的波束圖，且不難證明線性相位最終只是使得輸出產生(N-1)/2個采樣周期的群延時。取N=201，給期望響應加入線性相位以后圖1中非樣本頻點上的震蕩基本消除，最終在非樣本頻點上的束寬穩定也大大改善，如圖3所示。

3 結束語

本文通過仿真分析指出了基于SOCP的寬帶波束形成方法存在非樣本頻點上束寬不穩定的問題;同時分析指出非樣本頻點上的束寬不穩定是由于陣元FIR濾波器在非樣本頻點上頻率響應未受約束而不規則起伏引起的，為平滑陣元FIR濾波器的頻率響應，本文從大量仿真中總結得出給期望頻率響應加上線性相位，并適當調整通帶采樣點數的方法，該方法可以大幅度減小甚至消除非采樣頻點頻率響應的幅度震蕩，明顯改善非采樣頻點的束寬相對變化率，提高在整個通帶上的束寬穩定性。該方法對于進一步完善基于SOCP的寬帶波束形成器設計方法具有積極的參考價值。

圖3 加入線性相位后非樣本頻點上的束寬變化情況

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