基于矩陣重構(gòu)的功率倒置算法研究

任 遠(yuǎn) 劉 翔 羅丁利

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

GPS(Global Position System)是美國在1973年開始研制的衛(wèi)星導(dǎo)航與定位系統(tǒng)，具有高精度、全天候、全球覆蓋、方便靈活等特點(diǎn)。時(shí)至今日，GPS系統(tǒng)已廣泛應(yīng)用在軍事、航天、航空、測繪、通訊等各個(gè)行業(yè)，為美國帶來了巨大的經(jīng)濟(jì)和軍事效益，也引起了世界各國對(duì)全球定位導(dǎo)航系統(tǒng)的密切關(guān)注;憧憬于非常廣闊的應(yīng)用前景和巨大的商業(yè)市場，中國、俄羅斯、歐盟、日本都在發(fā)展自己的衛(wèi)星定位導(dǎo)航系統(tǒng)。采用碼分多址的GPS信號(hào)具有一定的抗干擾能力，但是由于 GPS衛(wèi)星距離地球表面大約20000km，加之信號(hào)發(fā)射功率低，GPS接收機(jī)天線接收到的GPS信號(hào)強(qiáng)度低于環(huán)境熱噪聲基底大約為20dB［1］。面對(duì)日益復(fù)雜的電磁環(huán)境，干擾抑制處理的重要性日趨突出。

目前研究中常見的干擾抑制技術(shù)有時(shí)域，空域和空時(shí)域三大類。基于功率倒置(Power Inversion，PI)算法的自適應(yīng)調(diào)零天線被證明是一種簡單有效的空域?yàn)V波干擾抑制技術(shù)。該算法在不要求期望信號(hào)的波達(dá)方向等先驗(yàn)信息的情況下使天線陣列方向圖在干擾入射方向形成零陷，而且干擾強(qiáng)度越大，對(duì)應(yīng)零陷越深［2-3］。在不改變GPS接收機(jī)原有結(jié)構(gòu)的前提下，將接收機(jī)天線更換為PI天線陣列系統(tǒng)，顯著增強(qiáng)了接收機(jī)的抗干擾能力，易于工程實(shí)現(xiàn)。但是功率倒置算法對(duì)弱干擾進(jìn)行抑制時(shí)，天線陣列方向圖對(duì)應(yīng)零陷深度不夠，干擾抑制效果不理想。

本文以等距線陣為例，詳細(xì)闡述了PI算法的基本原理，并且通過公式推導(dǎo)揭示了PI算法的本質(zhì)，針對(duì)弱干擾抑制能力不足的缺點(diǎn)提出一種基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法。

1 PI算法［4］

PI陣列如圖1所示。N為陣列陣元數(shù)目，陣元間距d=λ/2，λ為GPS信號(hào)L1載頻所對(duì)應(yīng)的波長(0.19m)。陣列的輸入信號(hào)

陣列自適應(yīng)加權(quán)矢量

輸出信號(hào)

輸出信號(hào)功率

PI算法求得陣列權(quán)值矢量ω，使得輸出信號(hào)功率P最小，即代價(jià)函數(shù)為:

式中Rxx為輸入信號(hào)X的自相關(guān)矩陣。為了防止求得無意義解

添加一個(gè)約束條件:第一個(gè)陣元上的加權(quán)值固定為1。

由拉格朗日函數(shù)求得最佳權(quán)值矢量為:

圖1 功率倒置陣列示意圖

約束條件保證第一陣元支路輸出功率恒定，調(diào)整其他陣元加權(quán)值使得整個(gè)陣列輸出功率最小，其物理意義在于PI算法不區(qū)分期望信號(hào)和干擾信號(hào)，只保證將陣列輸出功率最小。通常干擾信號(hào)往往大大強(qiáng)于熱噪聲，而期望信號(hào)功率低于環(huán)境熱噪聲基底近20dB，所以PI算法對(duì)干擾信號(hào)的抑制要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于對(duì)期望信號(hào)的抑制。這種強(qiáng)信號(hào)大衰減，弱信號(hào)小衰減的過程提高了陣列的輸出信號(hào)干擾噪聲比，有利于后續(xù)的捕獲跟蹤和定位導(dǎo)航解算過程。

以8陣元的等距線陣為例，約定陣列法線方向?yàn)?°，順時(shí)針方向?yàn)檎嵌确较颍鏁r(shí)針方向?yàn)樨?fù)角度方向。有用信號(hào)使用L1載頻的擴(kuò)頻信號(hào)，入射方向?yàn)?°;干擾信號(hào)為與GPS信號(hào)同載頻的連續(xù)波干擾，入射角度為 45°，信號(hào)干擾功率比 SIR=-50dB;仿真中引入信號(hào)噪聲功率比SNR=-20dB的高斯白噪聲，各陣元通道噪聲與干擾互不相關(guān)。仿真快拍數(shù)為2046，取1000次獨(dú)立仿真平均結(jié)果。PI算法形成的陣列方向圖如圖2所示，在45°干擾入射方向形成深度約為-80dB的零陷，對(duì)干擾有很好的抑制效果。

圖2 PI算法8元陣方向圖

圖3為PI算法形成的零陷深度隨輸入干擾噪聲功率比JNR變化曲線。由圖3可以看出干擾強(qiáng)度越強(qiáng)，零陷深度越深。另外，輸入JNR＜20dB時(shí)，PI算法陣列方向圖在干擾方向上形成的零陷深度不夠，導(dǎo)致干擾抑制效果不佳。

圖3 零陷深度隨輸入JNR變化曲線

2 基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法

2.1 算法原理

對(duì)輸入信號(hào)X的自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解

式中M為干擾信號(hào)個(gè)數(shù)，λi為Rxx的第i個(gè)特征值，qi為該特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，σi2為噪聲功率。Rxx為N階Hermite矩陣，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量相互正交，則有噪聲特征向量與干擾特征向量正交。對(duì)Rxx求逆得

將(9)式代入(7)式可得

由(10)式可知，PI算法最優(yōu)權(quán)值矢量為干擾特征向量和噪聲特征向量的加權(quán)和，前一項(xiàng)為干擾信號(hào)特征向量加權(quán)和，后一項(xiàng)為噪聲特征向量加權(quán)和。干擾特征向量與干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量張成同一子空間，則干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量為干擾信號(hào)特征向量的線性組合。強(qiáng)干擾環(huán)境下干擾特征值較大，對(duì)ωopt的影響反而小，可以認(rèn)為ωopt位于噪聲子空間，即ωopt是噪聲特征向量的線性組合，因此ωopt與干擾信號(hào)導(dǎo)向矢量正交，在干擾方向上形成較深的零陷，而弱干擾環(huán)境下干擾特征值較小，與噪聲特征值接近，對(duì)ωopt的影響反而大，因此在干擾方向上無法形成較深零陷［5］。增大弱干擾特征值可以減小ωopt中弱干擾特征向量的權(quán)重比例，從而加深在弱干擾方向上形成的零陷深度。接收信號(hào)自相關(guān)矩陣的特征值由兩部分組成:前M個(gè)特征值等于干擾功率Pi與噪聲功率σi2之和，后N-M個(gè)特征值全部等于噪聲功率［6］。當(dāng)JNR達(dá)到一定值時(shí)，干擾方向上零陷深度足夠，此時(shí)接收信號(hào)自相關(guān)矩陣Rxx的干擾特征值與噪聲特征值的比值為ρ。

基于矩陣重構(gòu)的PI算法(以下簡稱改進(jìn)算法)就是基于上述的分析，針對(duì)弱干擾源，先將接收信號(hào)自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解，保持干擾特征向量、噪聲特征值和噪聲特征向量不變，增大干擾特征值，使其與噪聲特征值比值保持ρ，然后重新構(gòu)成新的接收信號(hào)自相關(guān)矩陣，最后根據(jù)(7)式求得陣列最優(yōu)權(quán)值矢量ωopt。

2.2 算法仿真與分析

由圖3可知，當(dāng)輸入干擾噪聲功率比JNR為20dB，零陷深度大約為-60dB，干擾抑制效果良好，陣列輸出信號(hào)干擾噪聲功率比得到改善，此時(shí)干擾特征值與噪聲特征值比值約為20dB。因此針對(duì)干擾噪聲功率比JNR＜20dB的弱干擾，改進(jìn)算法增大干擾特征值，使其與噪聲特征值比值為20dB。

以8陣元的等距線陣為例，分析基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法的抗干擾性能。干擾噪聲功率比JNR=0dB的干擾信號(hào)從45°入射，其余采用與上節(jié)中相同的仿真條件。

圖4 PI算法和改進(jìn)算法的方向圖

圖4分別示出JNR=0dB的干擾下PI算法和改進(jìn)算法的方向圖。可見，兩種算法都準(zhǔn)確地在干擾方向形成零陷，改進(jìn)算法零陷深度加深約30dB，說明改進(jìn)算法較PI算法有更強(qiáng)的弱干擾抑制能力。

圖5示出兩種算法在干擾方向零陷深度隨輸入JNR的變化情況。由圖5可以看出，當(dāng)JNR＜20dB時(shí)，改進(jìn)算法零陷深度明顯深于PI算法零陷深度，且兩者零陷深度隨著干擾噪聲功率比JNR的增大而逐漸接近。

圖5 零陷深度隨輸入SIR變化情況

對(duì)于多個(gè)干擾同時(shí)存在的情況，改進(jìn)算法依然適用。先將接收信號(hào)自相關(guān)矩陣Rxx進(jìn)行特征值分解，對(duì)各干擾特征值與噪聲特征值比值進(jìn)行判斷，比值小于20dB則按照2．1節(jié)方法增大該干擾特征值，使比值增大到20dB;比值大于20dB則不做處理。此過程中保持干擾特征向量、噪聲特征值和噪聲特征向量不變，然后重構(gòu)Rxx，通過(7)式求解最優(yōu)權(quán)值矢量 ωopt。

假設(shè)干擾噪聲功率比JNR=0dB的干擾信號(hào)J1從45°入射，干擾噪聲功率比JNR=30dB的干擾信號(hào)J2從-45°入射，其余采用與上節(jié)中相同的仿真條件。

圖6 PI算法和改進(jìn)算法的方向圖

圖6中分別示出存在干擾信號(hào)J1和干擾信號(hào)J2情況下PI算法和改進(jìn)算法的方向圖。從圖中可見，兩種算法在干擾信號(hào)J2入射方向形成零陷基本相同，而干擾信號(hào)J1入射方向上，改進(jìn)算法零陷深度比PI算法零陷大約有30dB的改善。由此可得，改進(jìn)算法不僅適用于弱干擾存在的情況，也適用于強(qiáng)干擾和弱干擾同時(shí)存在的情況，比PI算法有更好的適應(yīng)性。

3 結(jié)論

本文詳細(xì)分析了PI算法的原理和干擾抑制性能，從公式推導(dǎo)的角度揭示PI算法針對(duì)弱干擾時(shí)零陷深度較淺的原因，并在此基礎(chǔ)上并提出基于矩陣重構(gòu)的PI改進(jìn)算法。通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了改進(jìn)算法行之有效。本文算法不僅適用于GPS接收機(jī)，還可以應(yīng)用在“北斗”二代等全球定位導(dǎo)航系統(tǒng)接收機(jī)。

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