基于矩陣重構的功率倒置算法研究

任 遠 劉 翔 羅丁利

(西安電子工程研究所 西安 710100)

0 引言

GPS(Global Position System)是美國在1973年開始研制的衛星導航與定位系統，具有高精度、全天候、全球覆蓋、方便靈活等特點。時至今日，GPS系統已廣泛應用在軍事、航天、航空、測繪、通訊等各個行業，為美國帶來了巨大的經濟和軍事效益，也引起了世界各國對全球定位導航系統的密切關注;憧憬于非常廣闊的應用前景和巨大的商業市場，中國、俄羅斯、歐盟、日本都在發展自己的衛星定位導航系統。采用碼分多址的GPS信號具有一定的抗干擾能力，但是由于 GPS衛星距離地球表面大約20000km，加之信號發射功率低，GPS接收機天線接收到的GPS信號強度低于環境熱噪聲基底大約為20dB［1］。面對日益復雜的電磁環境，干擾抑制處理的重要性日趨突出。

目前研究中常見的干擾抑制技術有時域，空域和空時域三大類?；诠β实怪?Power Inversion，PI)算法的自適應調零天線被證明是一種簡單有效的空域濾波干擾抑制技術。該算法在不要求期望信號的波達方向等先驗信息的情況下使天線陣列方向圖在干擾入射方向形成零陷，而且干擾強度越大，對應零陷越深［2-3］。在不改變GPS接收機原有結構的前提下，將接收機天線更換為PI天線陣列系統，顯著增強了接收機的抗干擾能力，易于工程實現。但是功率倒置算法對弱干擾進行抑制時，天線陣列方向圖對應零陷深度不夠，干擾抑制效果不理想。

本文以等距線陣為例，詳細闡述了PI算法的基本原理，并且通過公式推導揭示了PI算法的本質，針對弱干擾抑制能力不足的缺點提出一種基于矩陣重構的PI改進算法。

1 PI算法［4］

PI陣列如圖1所示。N為陣列陣元數目，陣元間距d=λ/2，λ為GPS信號L1載頻所對應的波長(0.19m)。陣列的輸入信號

陣列自適應加權矢量

輸出信號

輸出信號功率

PI算法求得陣列權值矢量ω，使得輸出信號功率P最小，即代價函數為:

式中Rxx為輸入信號X的自相關矩陣。為了防止求得無意義解

添加一個約束條件:第一個陣元上的加權值固定為1。

由拉格朗日函數求得最佳權值矢量為:

圖1 功率倒置陣列示意圖

約束條件保證第一陣元支路輸出功率恒定，調整其他陣元加權值使得整個陣列輸出功率最小，其物理意義在于PI算法不區分期望信號和干擾信號，只保證將陣列輸出功率最小。通常干擾信號往往大大強于熱噪聲，而期望信號功率低于環境熱噪聲基底近20dB，所以PI算法對干擾信號的抑制要遠遠強于對期望信號的抑制。這種強信號大衰減，弱信號小衰減的過程提高了陣列的輸出信號干擾噪聲比，有利于后續的捕獲跟蹤和定位導航解算過程。

以8陣元的等距線陣為例，約定陣列法線方向為0°，順時針方向為正角度方向，逆時針方向為負角度方向。有用信號使用L1載頻的擴頻信號，入射方向為0°;干擾信號為與GPS信號同載頻的連續波干擾，入射角度為 45°，信號干擾功率比 SIR=-50dB;仿真中引入信號噪聲功率比SNR=-20dB的高斯白噪聲，各陣元通道噪聲與干擾互不相關。仿真快拍數為2046，取1000次獨立仿真平均結果。PI算法形成的陣列方向圖如圖2所示，在45°干擾入射方向形成深度約為-80dB的零陷，對干擾有很好的抑制效果。

圖2 PI算法8元陣方向圖

圖3為PI算法形成的零陷深度隨輸入干擾噪聲功率比JNR變化曲線。由圖3可以看出干擾強度越強，零陷深度越深。另外，輸入JNR＜20dB時，PI算法陣列方向圖在干擾方向上形成的零陷深度不夠，導致干擾抑制效果不佳。

圖3 零陷深度隨輸入JNR變化曲線

2 基于矩陣重構的PI改進算法

2.1 算法原理

對輸入信號X的自相關矩陣Rxx進行特征值分解

式中M為干擾信號個數，λi為Rxx的第i個特征值，qi為該特征值對應的特征向量，σi2為噪聲功率。Rxx為N階Hermite矩陣，不同特征值對應的特征向量相互正交，則有噪聲特征向量與干擾特征向量正交。對Rxx求逆得

將(9)式代入(7)式可得

由(10)式可知，PI算法最優權值矢量為干擾特征向量和噪聲特征向量的加權和，前一項為干擾信號特征向量加權和，后一項為噪聲特征向量加權和。干擾特征向量與干擾信號導向矢量張成同一子空間，則干擾信號導向矢量為干擾信號特征向量的線性組合。強干擾環境下干擾特征值較大，對ωopt的影響反而小，可以認為ωopt位于噪聲子空間，即ωopt是噪聲特征向量的線性組合，因此ωopt與干擾信號導向矢量正交，在干擾方向上形成較深的零陷，而弱干擾環境下干擾特征值較小，與噪聲特征值接近，對ωopt的影響反而大，因此在干擾方向上無法形成較深零陷［5］。增大弱干擾特征值可以減小ωopt中弱干擾特征向量的權重比例，從而加深在弱干擾方向上形成的零陷深度。接收信號自相關矩陣的特征值由兩部分組成:前M個特征值等于干擾功率Pi與噪聲功率σi2之和，后N-M個特征值全部等于噪聲功率［6］。當JNR達到一定值時，干擾方向上零陷深度足夠，此時接收信號自相關矩陣Rxx的干擾特征值與噪聲特征值的比值為ρ。

基于矩陣重構的PI算法(以下簡稱改進算法)就是基于上述的分析，針對弱干擾源，先將接收信號自相關矩陣Rxx進行特征值分解，保持干擾特征向量、噪聲特征值和噪聲特征向量不變，增大干擾特征值，使其與噪聲特征值比值保持ρ，然后重新構成新的接收信號自相關矩陣，最后根據(7)式求得陣列最優權值矢量ωopt。

2.2 算法仿真與分析

由圖3可知，當輸入干擾噪聲功率比JNR為20dB，零陷深度大約為-60dB，干擾抑制效果良好，陣列輸出信號干擾噪聲功率比得到改善，此時干擾特征值與噪聲特征值比值約為20dB。因此針對干擾噪聲功率比JNR＜20dB的弱干擾，改進算法增大干擾特征值，使其與噪聲特征值比值為20dB。

以8陣元的等距線陣為例，分析基于矩陣重構的PI改進算法的抗干擾性能。干擾噪聲功率比JNR=0dB的干擾信號從45°入射，其余采用與上節中相同的仿真條件。

圖4 PI算法和改進算法的方向圖

圖4分別示出JNR=0dB的干擾下PI算法和改進算法的方向圖?？梢姡瑑煞N算法都準確地在干擾方向形成零陷，改進算法零陷深度加深約30dB，說明改進算法較PI算法有更強的弱干擾抑制能力。

圖5示出兩種算法在干擾方向零陷深度隨輸入JNR的變化情況。由圖5可以看出，當JNR＜20dB時，改進算法零陷深度明顯深于PI算法零陷深度，且兩者零陷深度隨著干擾噪聲功率比JNR的增大而逐漸接近。

圖5 零陷深度隨輸入SIR變化情況

對于多個干擾同時存在的情況，改進算法依然適用。先將接收信號自相關矩陣Rxx進行特征值分解，對各干擾特征值與噪聲特征值比值進行判斷，比值小于20dB則按照2．1節方法增大該干擾特征值，使比值增大到20dB;比值大于20dB則不做處理。此過程中保持干擾特征向量、噪聲特征值和噪聲特征向量不變，然后重構Rxx，通過(7)式求解最優權值矢量 ωopt。

假設干擾噪聲功率比JNR=0dB的干擾信號J1從45°入射，干擾噪聲功率比JNR=30dB的干擾信號J2從-45°入射，其余采用與上節中相同的仿真條件。

圖6 PI算法和改進算法的方向圖

圖6中分別示出存在干擾信號J1和干擾信號J2情況下PI算法和改進算法的方向圖。從圖中可見，兩種算法在干擾信號J2入射方向形成零陷基本相同，而干擾信號J1入射方向上，改進算法零陷深度比PI算法零陷大約有30dB的改善。由此可得，改進算法不僅適用于弱干擾存在的情況，也適用于強干擾和弱干擾同時存在的情況，比PI算法有更好的適應性。

3 結論

本文詳細分析了PI算法的原理和干擾抑制性能，從公式推導的角度揭示PI算法針對弱干擾時零陷深度較淺的原因，并在此基礎上并提出基于矩陣重構的PI改進算法。通過仿真實驗證明了改進算法行之有效。本文算法不僅適用于GPS接收機，還可以應用在“北斗”二代等全球定位導航系統接收機。

［1］謝鋼.GPS原理與接收機設計［M］.北京:電子工業出版社，2009.

［2］馮起，呂波，朱暢，袁乃昌.功率倒置自適應陣抗干擾特性研究［J］.微波學報，2009，25(3):87-91.

［3］何永前，李建璞.GPS抗干擾接收機自適應天線陣功率倒置算法研究［J］.艦船電子工程，2012，32(6):61-63.

［4］張文明.衛星導航系統干擾抑制技術［D］.長沙:國防科學技術大學，2002.

［5］王永良，丁前軍，李榮峰.自適應陣列處理［M］。北京:清華大學出版社，2009.

［6］ 張賢達.現代信號處理［M］.第2版.北京:清華大學出版社，2002.