隨機利率下的脆弱期權定價

許艷紅，薛紅，王曉東

(西安工程大學理學院，陜西西安710048)

隨機利率下的脆弱期權定價

許艷紅，薛紅，王曉東

(西安工程大學理學院，陜西西安710048)

以信用風險模型為基礎，假定股票價格、公司價值和公司負債均服從幾何分數布朗運動，利率滿足由分數布朗運動驅動的Vasicek模型，建立了隨機利率下脆弱期權定價數學模型.利用分數布朗運動隨機分析理論和保險精算方法，推導出脆弱期權的定價公式.

分數布朗運動;隨機利率;保險精算方法;脆弱期權

0 引言

脆弱期權是指含有信用風險的期權，Merton［1］首先建立了關于信用風險的結構化模型，結合相對于其負債公司資產價值模型推導違約風險價格，Johnson和Stulz［2］首次探討了含有信用風險的期權的定價問題，Hull和White［3］通過構造一個二項格狀圖求得了脆弱期權的價格，Klein［4］假設信用風險與標的資產價值相關得到了脆弱期權的定價公式.在以往的期權定價研究中，人們普遍假設資產價格服從幾何布朗運動，但是近年來大量的研究表明，資產收益率的分布具有“尖峰厚尾”的特征，股價變化也不是隨機游走，而是呈現不同程度的相關性，分數布朗運動恰好具有這些優點，因此用分數布朗運動來刻畫資產價格的變化，更符合市場的實際情況.黃玲君、周圣武［5］等在公司負債為常數的條件下給出了股價服從分數布朗運動的脆弱歐式期權定價公式，潘堅［6］利用偏微分方程方法給出了分數布朗運動下脆弱歐式期權的定價公式.同時，在以往的期權定價模型中，一個重要的假設是利率為常數，然而，在現實市場中，利率在一段時間內常常表現出一定的隨機性.很多學者對此進行了大量的相關研究，周海林［7］等給出了隨機利率條件下的歐式期權定價，薛紅［8］在利率滿足由分數布朗運動驅動的Hull-White模型下給出了可轉換債券的定價公式.

1998 年Mogens Bladt等［9］首次提出期權定價的保險精算方法，該方法將期權定價問題轉化為等價的公平保費問題.本文假定股票價格、公司價值和公司負債均服從幾何分數布朗運動，利率滿足由分數布朗運動驅動的Vasicek模型，利用分數布朗運動隨機分析理論和保險精算方法給出了脆弱期權的定價公式.

1 金融市場數學模型

假設股票價格為S(t)，公司資產市場價值為V(t)，公司負債為D(t).設X(T)為公司在T時刻承諾支付給債權人的金額，若公司自始至終都具有清償能力，那么公司的債權人在T時刻取得償付額X(T).若在T時刻V(T)＜D(T)，則發生違約，此時公司的債權人取得的償付額就是X′(T)=X(T)V(T)/D(T)，則在T時刻，公司的實際支付額可以表示為

假定股票價格S(t)，公司價值V(t)，公司負債D(t)和利率r(t)分別滿足隨機微分方程

2 脆弱期權的定價

定義1［12］隨機過程{S(t)，t≥0}在［0，T］上的期望收益率β(u)定義為

引理2［12］隨機過程{S(t)，t≥0}在［0，T］上的期望收益率βS(u)滿足βS(u)=μS，公司價值{V(t)，t≥0}和公司負債{D(t)，t≥0}在［0，T］上的期望收益率βV(u)，βD(u)分別滿足βV(u)=μV，βD(u)=μD.

定義2在到期日T時刻，承諾支付額為X(T)=(S(T)-K)+，而出現違約或破產時的實際支付額為X(T)=(V(T)/D(T))(S(T)-K)+的脆弱看漲期權的保險精算價格定義為

其中股票價格S(T)，公司價值V(T)和公司負債D(T)分別用期望收益率βS(u)，βV(u)，βD(u)貼現，執行價格K用隨機利率r(s)貼現.

定理2在到期日T時刻，承諾支付額為X(T)=(S(T)-K)+而出現違約或破產時的實際支付額為X(T)=(V(T)/D(T))(S(T)-K)+的脆弱看漲期權的價格為

結合式(12)～(15)即可得式(11).

推論1當b=0，σr=0，a→0且σD→0時，可得分數布朗運動下的脆弱期權定價公式，與文獻［5］結果一致.

推論2當b=0，σr=0，a→0且H=1/2時，可簡化為文獻［4］中的結果.

推論3當b=0，σr=0，a→0，H=1/2，且σD→0時，則退化為文獻［2］中的結果.

［1］MERTON R.On the pricing of corporate debt：The risk structure of interest rates［J］.Journal of Finance，1974，29(2)：449-470.

［2］JOHNSON H，STULZ R.The pricing of options under default risk［J］.Journal of Finance，1987，42(2)：267-280.

［3］HULL J M，WHITE A.The impact of default risk on the prices of options and other derivative securities［J］.Journal of Banking＆Finance，1995，19(2)：299-323.

［4］KLEIN P.Pricing Black-Scholes options with correlated credit risk［J］.Journal of Banking and Finance，1996，20(7)：1121-1129.

［5］黃玲君，周圣武.股價服從分數布朗運動的脆弱歐式期權定價［J］.云南大學學報：自然科學版，2010，32(2)：109-112.

［6］潘堅.分數次布朗運動下脆弱歐式期權定價的新解法［J］.贛南師范學院學報，2011，33(3)：14-18.

［7］周海林，吳鑫育，高凌云.隨機利率條件下的歐式期權定價［J］.系統工程理論與實踐，2011，31(4)：729-734.

［8］薛紅，李軍，吳曉蕊.隨機利率下可轉換債券定價［J］.西安工程大學學報，2011，25(1)：119-121.

［9］BLADT M，RYDBERG H T.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1998，22(1)：65-73.

［10］GUASONI P.No arbitrage under transaction costs with fractional Brownian motion and beyond［J］.Mathematical Finance，2006，16(3)：569-582.

［11］BIAGINI F，HU Y，OKSENDALl B，et al.Stochastic calculus for fractional Brownian notion and applications［M］.New York： Springer，2008.

［12］XUE H，LU J，WANG X.Swap option pricing model in fractional jump-diffusion environment［C］//Proceedings 2011 World Congress on Engineering and Technology，Shanghai，China，2011：336-339.

Vulnerable option pricing under stochastic interest rate

XU Yan-hong，XUE Hong，WANG Xiao-dong

(School of Science，Xi'an Polytechnic University，Xi'an 710048，China)

Based on the credit risk model，assume that stock price，corporate value and corporate debt obey the geometric fractional Brownian motion，interest rate satisfies the Vasicek model driven by fractional Brownian motion.The vulnerable option pricing mathematic model under stochastic interest rate is built，the pricing formulae for vulnerable option is obtained by fractional Brownian motion stochastic analysis theory and the actuarial approach.

fractional Brownian motion;stochastic interest rate;actuarial approach;vulnerable option

1674-649X(2014)01-0133-07

F 830.9;O 211.6

A

編輯、校對：武暉

2013-06-21

陜西省教育廳自然科學專項基金項目(12JK0862)

薛紅(1964-)，男，山西省萬榮縣人，西安工程大學教授，博士.E-mail：xuehonghong@sohu.com