低快拍下MIMO雷達收發角度聯合估計方法

王咸鵬，王 偉，馬躍華，王君祥

（哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱150001）

低快拍下MIMO雷達收發角度聯合估計方法

王咸鵬，王 偉，馬躍華，王君祥

（哈爾濱工程大學 自動化學院，黑龍江 哈爾濱150001）

在多輸入多輸出（MIMO）雷達中，基于二階統計特性的子空間角度算法在低快拍條件下的估計性能急驟下降，甚至在單快拍時失效。針對該問題，提出一種擴展陣列孔徑的二維聯合空間平滑多目標波離方向（DOD）和波達方向（DOA）估計方法。該算法對MIMO雷達的發射端和接收端進行二維聯合空間平滑，并利用MIMO雷達虛擬陣列的旋轉不變特性對陣列孔徑進行擴展，然后根據ESPRIT算法獲得目標的DOD和DOA，且DOD和DOA自動配對。與基于二階統計特性的子空間算法相比，且所提算法在低快拍條件下具有更加優越的角度估計性能，因所提算法能夠適用于單快拍條件。仿真結果表明了所提方法的有效性和優越性。

MIMO雷達；雙基地；角度估計；空間平滑；孔徑擴展

多輸入多輸出（multiple-input multiple-output，MIMO）雷達是最近幾年國際雷達領域界提出的一種新體制雷達，目前已經成為雷達界的一個熱點研究問題［1-3］。與傳統的相控陣雷達相比，MIMO雷達利用多個發射陣元發射相互正交的波形，并利用多個接收陣元接收回波信號，同時利用發射信號的波形分集對接收信號進行聯合處理，具有更多的自由度、更高的空間角度分辨以及更好的角度估計性能等優點。根據MIMO雷達的收發陣列結構，將MIMO雷達分為兩大類：統計MIMO雷達［2］和相干MIMO雷達［3］。統計MIMO雷達的收發陣列為分布式配置，從不同方向對空間目標進行觀測獲得空間分集，從而可以抑制目標的閃爍特性。相干MIMO雷達（雙基地MIMO雷達和單基地MIMO雷達）的收發陣列采用集中式配置，發射陣元和接收陣元的間距一般小于或等于半個波長。相干MIMO雷達利用發射波形的正交性對接收信號進行處理，獲得一個大孔徑的虛擬陣列，因此具有更高的角度分辨率和更多的自由度。本文是對雙基地相干MIMO雷達展開研究。

目前對于MIMO雷達的研究主要集中在波形設計［4］，波束合成［5］，角度估計［6］以及目標成像［7］等方面。針對角度估計問題，在雙基地MIMO雷達中，由于接收信號同時包含目標的波離方向（direction of departure，DOD）和波達方向（direction of arrival，DOA），因此可以估計出目標的DOD和DOA。目前，針對MIMO雷達的DOD和DOA估計問題，已經提出了一些算法［8-12］。文獻［8-9］提出了基于二維空間譜搜索（Capon，MUSIC）的DOD和DOA估計方法，但這些算法運算復雜度高。為了降低運算復雜度，文獻［10-11］將旋轉不變子空間算法 （ESPRIT）分別應用在MIMO雷達的發射陣列和接收陣列，不需要空間譜搜索實現了MIMO雷達的DOD和DOA估計。文獻［12］利用多級維納濾波器的前向遞推獲得MIMO雷達的信號子空間，避免了協方差矩陣的特征值分解，進一步降低了運算復雜度。令一方面，文獻［13-14］將非圓信號考慮到MIMO雷達中，并提出了共軛旋轉不變子空間算法（conjugate ESPRIT，C-ESPRIT），C-ESPRIT算法提高了目標的角度估計性能同時能夠探測更多的目標。但以上這些算法都是基于接收信號的二階統計特性，在低快拍下角度的估計性能會嚴重下降，甚至在單拍時失效。空間平滑算法［15］是一種低快拍下有效的預處理方法，但是以損失陣列孔徑為代價。本文提出一種擴展陣列孔徑的二維聯合空間平滑DOD和DOA聯合估計算法，該算法通過對收發陣列進行二維聯合空間平滑，并利用MIMO雷達虛擬陣列的旋轉不變特性進行陣列擴展，提高了角度的空域分辨。

1 信號模型

雙基地MIMO雷達的結構如圖1所示，發射陣列和接收陣列分別由M個陣元和N陣元的均勻線性陣列構成，且所有的陣列天線均為全向天線，發射和接收陣元距分別表示為dt和dr，圖1。

圖1 雙基地MIMO雷達結構框圖Fig.1 Principle diagram of bistatic MIMO radar

發射陣列同時發射一組相互正交的信號，且假設信號的多普勒頻移對信號正交性沒有影響。假設存在P個相互獨立的目標，且第p個目標的空間位置為（φp，θp），其中φp和θp分別表示目標的DOD和DOA，則接收端接收的回波可表示為［12］

式中：ar（θ） ＝ ［1 ej（2π／λ）drsinθ… ej（2π／λ）（N－1）drsinθ］T為N×1維的接收陣列導向矢量，λ為載波的波長；at（φ） ＝ ［1 ej（2π／λ）dtsinφ… ej（2π／λ）（M－1）dtsinφ］T為M ×1維的發射陣列導向矢量；ap和ej2πfp（t）分別為第p個目標的散射系數和多普勒頻率；S（t）＝［s1（t） … sM（t）］T為 M ×1的正交發射波形；n（t）為N×1的零均值高斯白噪聲。利用發射波形的正交性與接收信號進行匹配濾波處理，那么第m（1≤m≤M）個匹配濾波器的輸出可以表示為

式中：Ar（θ）＝ ［ar（θ1） … ar（θP）］為M×P發射導向矩 陣；Dm＝ diag（atm（φ1） … atm（φP））， 其 中atm（φ） 為 at（φ） 中 的 第 m 個 元 素，H（t） ＝［a1ej2πf1（t）… aPej2πfP（t）］T為匹配濾波后的信號矩陣，n－k（t）為經過第m個匹配濾波器后的高斯白噪聲矢量。經過M個匹配濾波器后，陣列信號可表示為

對式（3）進行列堆棧，則有

式中： A（φ，θ） ＝ ［a（φ1，θ1） … a（φP，θP）］ 為MN×P維的發射－接收聯合導向矩陣；a（φ1，θ1）＝at（φ）?ar（θ）為MN×1的發射－接收聯合導向矢量， ? 表 示 Kronecker 乘 積； N（t） ＝為MN ×1維的高斯白噪聲矢量。在快拍數為K時，接收數據可表示為

2 低快拍下收發角度聯合估計方法

在本節中，首先對MIMO雷達的收發陣列進行二維聯合空間平滑預處理，推導出MIMO雷達虛擬陣列的旋轉不變特性，并對陣列孔徑進行擴展；然后給出陣列孔徑擴展后的DOD和DOA估計的過程，最后總結該算法的具體實現步驟和給出雙基地MIMO雷達角度估計的克拉美羅界（CRB）。

2.1 二維聯合空間平滑算法

根據MIMO雷達發射－接收導向矢量的結構，對MIMO雷達的收發陣列進行二維聯合空間平滑預處理，在單快拍條件下獲得接收數據矩陣Yss（t）。令二維聯合空間平滑后發射陣元數和接收陣元數分別為Msub和Nsub，則發射端和接收端的平滑次數分別滿足LM＝M－Msub＋1和LN＝N－Nsub＋1。那么MIMO雷達的二維聯合空間平滑矩陣可表示為

式中：

利用空間平滑矩陣對單快拍接收信號進行處理，則Yss（t）可表示為

式中：

Λ ＝ diag（H（t）） 為信號矩陣， Nss（t） 為MsubNsub×LMLN維的高斯白噪聲。

根據式（8）進行二維聯合空間平滑后，新的發射－接收導向矩陣為

在快拍數為K時，利用空間平滑矩陣對每拍接收信號進行處理，則

式中：Xss（t）為K拍接收數據經過二維聯合空間平滑預處理后的數據矩陣，Λ ＝ ［Λ（1），…，Λ（K）］ ，其中Λ（i）＝diag［H（ti）］，（1≤i≤K）為第i拍的信號矩陣，［Nss（t1），…，Nss（tK）］ 。

由式（10）、（11）可知，對接收數據進行二維空間平滑處理后，MIMO雷達的虛擬陣列由Msub個發射陣元和Nsub個接收陣元組成。由于Msub＜M和Nsub＜N，因此MIMO雷達虛擬陣列孔徑和自由度均損失，直接將ESPRIT算法應用到數據矩陣Xss（t）進行DOD和DOA估計的性能下降。下面利用MIMO雷達虛擬的旋轉不變特性對陣列孔徑進行擴展，獲得一種擴展孔徑的二維空間平滑算法。

2.2 擴展陣列孔徑的二維空間平滑算法

定義1 若一個線性陣列q×q維的導向矩陣A滿足IIqA*＝AΩ，其中IIq為q×q維的反對角置換矩陣，它的反對角線上元素全為1，其他位置元素全為0，Ω為酉對角矩陣，即滿足ΩHΩ ＝Ω－1Ω，則稱該線性陣列為centro-symmetric陣列，具有旋轉不變特性。

命題1 MIMO雷達的虛擬陣列具有旋轉不變特性。

證明 根據式（4）中MIMO雷達的發射－接收導向矩陣的結構，則

對接收信號進行二維聯合空間平滑預處理后，式（11）中矩陣Asub和矩陣滿足：

式中：＝diag［exp［－j（2π／λ）（（Nsub－1）drsin θ1＋（Msub－1）dtsinφ1）］，…，exp［－j（2π／λ）（（Nsub－1）drsinθP＋（Msub－1）dtsinφP）］］，＝diag exp［－j（2π／λ）（（LN－1）drsinθ1＋（LM－1）dtsinφ1）］，…，exp［－j（2π／λ）（（LN－1）drsinθP＋（LM－1）dtsinφP）］）。

由式（13）和命題1可知，矩陣Asub和均具有旋轉不變特性。利用矩陣Asub和的結構對二維聯合空間平滑預處理后的數據矩陣Xss（t）進行擴展，則

式中：AE是MIMO雷達一個新的發射－接收導向矩陣，其維數為 2MsubNsub×P。通過對數據矩陣Xss（t）進行擴展后，MIMO雷達的虛擬陣元數由原來的MsubNsub增加到2MsubNsub，即擴展了MIMO雷達的虛擬陣列孔徑，增加了其自由度。擴展后接收數據XE的協方差矩陣為

式中： Φt＝ diag（e－j（2π／λ）dtsinφ1，…，e－j（2π／λ）dtsinφP） ，即對角矩陣Φt包含所求的DOD角度信息。將發射－接收導向矩陣AE進行另外分割為：AE3＝D3AE和 AE4＝D4AE，其中和分別為選擇矩陣，diagMsub［INsub－1，O（Nsub－1）×1］，diagl［r］表示一個 l塊的塊對角矩陣，每塊元素為r。則AE3和AE4存在如下旋轉不變特性：

式中： Φr＝ diag（e－j（2π／λ）drsinθ1，…，e－j（2π／λ）drsinφP） ，即對角矩陣中Φr包含所求的DOD角度信息。由式（16）和（17）可知，對于DOD和DOA的求解關鍵在于對對角矩陣Φt和Φr的求解。信號子空間和發射－接收導向矩陣的關系可表示為：Us＝AET。結合Us＝AET、式（16）、（17），則

式中：Ψt＝T－1ΦtT，Ψr＝T－1ΦrT。 Ψt和Ψr可通過對式（18）進行最小二乘法或總體最小二乘法求解獲得，同時注意到Ψt和Ψr具有相同的特征向量，因此利用特征向量實現DOD和DOA的自動配對。令為Φt的估計值，則對Ψt進行特征值分解可表示為

2.3 算法步驟及克拉美羅界（CRB）

綜上所述，將所提的低快拍下MIMO雷達的收發角度聯合估計算法步驟總結如下：

1）利用發射信號波形的正交性對接收信號進行匹配濾波，獲得式（5）的信號數據矩陣X（t）；

2）對接收數據X（t）的預處理獲得式（11）的數據矩陣Xss（t）；

3）根據式（14）對數據矩陣Xss（t）進行擴展，獲得擴展陣列孔徑后的數據矩陣XE；根據式（15）計算XE的協方差矩陣RE，并對其進行特征值分解獲得信號子空間Us；

4）對式（18）進行求解獲得矩陣 Ψt和 Ψr，對Ψt進行特征值分解獲得對角矩陣 ＾Φt，并根據式（20）求解對角矩陣

根據文獻［16］，給出雙基地MIMO雷達的角度估計CRB為

其中，dp（p＝ 1，2，…，P）為dp＝ at′（φ）?ar（θ）＋at（φ）?ar′（θ），at′（φ）＝ ?at（φ）／?φ，ar′（φ）＝ ?ar（φ）／?θ。

3 算法仿真及性能分析

下面對所提算法的有效性和優越性進行仿真和分析。在仿真中，將所提算法的角度估計性能與文獻［10］的ESPRIT算法、將ESPRIT算法應用到數據矩陣Xss（t）（記為：空間平滑－ESPRIT）的方法以及CRB進行對比。在仿真實驗中假設存在P＝3個目標，其角度為：（φ1，θ1）＝（－8°，10°），（φ2，θ2）＝（0°，0°），（φ3，θ3）＝（8°，－10°）。

這里定義角度估計值的均方根誤差為

式中：L1為Monte-Carlo試驗次數；和分別為第p個目標的第l1次Monte-Carlo試驗DOD和DOA估計值，以下仿真實驗的Monte-Carlo試驗次數均為200。

圖2 本文算法收發角度估計結果Fig.2 The estimation results of the proposed method

圖2給出了在M ＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，SNR＝10 dB，快拍數分別為10和1的情況下，本文算法的收發角度估計結果。從圖2中可知，本文算法在低快拍條件下，甚至是單快拍條件下，目標的收發角度都能夠估計出來，且收發角度自動配對。

圖3給出了在M ＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，快拍數分別為 10和 1的情況下，本文算法、ESPRIT、空間平滑ESPRIT的角度均方根誤差以及雙基地MIMO雷達角度估計的CRB。從圖3（a）中可知，ESPRIT算法在低信噪比時已經失效，空間平滑-ESPRIT算法的角度估計性能比ESPRIT優越，而本文算法在不同的信噪比時的角度估計性能均優于ESPRIT和空間平滑ESPRIT，并接近于CRB。從圖3（b）中可以看出，在單快拍時，ESPRIT算法已經完全失效，空間平滑-ESPRIT算法在低信噪比時角度估計性能急驟下降，而本文算法比空間平滑-ESPRIT提供更好的角度性能，同時在高信噪比時接近于CRB。這是由于本文算法利用了MIMO雷達虛擬陣列的旋轉不變特性擴展了陣列孔徑，提高了角度的空域分辨率，改善了收發角度的估計性能，因此具有優越的角度估計性能。

圖3 角度估計均方根誤差與SNR的關系Fig.3 The RMSE of angle estimation against

圖4 角度估計均方根誤差與快拍數的關系Fig.4 The RMSE of angle estimation against snapshots

圖4則是M＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，快拍數不同的情況下，本文算法的角度估計性能。從圖4中可知，隨著快拍數的增加，本文算法的角度估計性能有所改善。

圖5則是M＝9，N＝12，Msub＝4，Nsub＝4，K＝10，收發陣列的陣元數不同的情況下，本文算法的角度估計性能。從圖5可以看出，無論是發射陣列的陣元數還是接收陣列的陣元數增加，本文算法的角度估計性能均有所提升。由前面的理論分析可知，收發陣列的陣元數增加等效于增加了信號的快拍數，因此本文算法的角度估計性能得到提升。

圖5 角度估計均方根誤差與收發陣元數的關系Fig.5 The RMSE of angle estimation against different transmit／receive elements

4 結束語

本文提出一種低快拍下MIMO雷達的收發角度聯合估計算法。該算法對MIMO雷達的收發陣列進行二維聯合空間平滑預處理，同時利用MIMO雷達虛擬陣列的旋轉不變特性擴展陣列孔徑，提高了角度的空域分辨率。仿真結果表明，所提算法在低快拍下比ESPRIT和空間平滑-ESPRIT具有更好的角度估計性能，甚至在單快拍時，所提算法也能夠準確的估計出收發角度，并提供良好的角度估計性能，而ESPRIT算法已經失效。

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Joint DOD and DOA estimation for MIMO radar with lower snapshots

WANG Xianpeng，WANG Wei，MA Yuehua，WANG Junxiang
（College of Automation，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

The angle estimation performance of subspace algorithms based on the second order statistical characteristic is seriously descended with low snapshots in multiple-input multiple-output（MIMO）radar，even invalid with single snapshot.In order to solve this problem，a joint two-dimensional spatial smoothing multi-objective DOD and DOA estimation algorithm with enlarged array aperture is proposed.The proposed algorithm constructs a joint twodimensional spatial smoothing for both transmit array and receive array，and enlarges the aperture of array by exploiting the shift invariance property of the virtual array in MIMO radar.Then the DOD and DOA can be estimated by ESPRIT，which are paired automatically.Compared with the second order statistical characteristic based subspace algorithms，the proposed method provides better angle estimation performance with lower snapshots.Furthermore，the proposed method is suitable for single snapshot.Simulation results are presented to verify the effectiveness and advantages of the proposed method.

MIMO radar；bistatic；angle estimation；spatial smoothing；aperture extension

10.3969／j.issn.1006-7043.201306011

TN957.51

A

1006-7043（2014）09-1129-06

http：／／www.cnki.net／kcms／detail／23.1390.U.20140904.1819.002.html

2013-06-03. 網絡出版時間：2014-09-04.

新世紀優秀人才支持計劃基金資助項目（NCET-11-0287）；中央高校基本業務費專項基金資助項目（HEUCFX41308）；中國博士后科學基金資助項目（2014M550182）；黑龍江省博士后特別資助項目（LBH-TZ0410）；哈爾濱市科技創新人才資助項目（2013RFXXJ016）.

王咸鵬（1986-），男，博士研究生；王偉（1979-），男，教授，博士生導師.

王偉，E-mail：wangwei407＠hrbeu.edu.cn.