不同邊界條件正交各向異性圓柱殼結構固有振動分析

張愛國，李文達，杜敬濤，代路，楊鐵軍

(哈爾濱工程大學動力與能源工程學院，黑龍江哈爾濱150001)

彈性圓柱殼作為一個基本的典型構件，因其具有特殊的幾何特性、優良的受力性能和便于加工等特點，在航空航天、潛艇結構和石油化工等工程領域得到極其廣泛的應用。近年來，隨著材料科學與工程的迅速發展，各種復合材料呈現出明顯的正交各向異性，為此，深入開展正交各向異性圓柱殼結構動力學特性具有重要理論意義和工程應用價值。

Nosier和Reddy[1]采用考慮剪切變形的Donnell殼體理論以及經典的Donnell殼體理論，對多種邊界條件下的圓柱殼的穩定性和自由振動進行了分析。Carrera[2]基于經典的 Flügge 殼體理論，對于多層、各向異性圓柱殼體給出了面內穩定和振動的方程，并對橫向剪切變形以及所有的旋轉慣量進行考慮，最后推導出了經典Love和Donnell理論的方程。Paliwal和Pandey[3]對正交各向異性圓柱殼的自由振動問題進行了研究，分析了軸向和周向波數、正交各向異性對于3個自振頻率的影響。

李學斌[4]對正交各向異性圓柱殼的靜動態特性做了大量研究。他從 Flügge殼體理論出發，推導出在靜水壓力作用下正交各向異性圓柱殼的平衡方程，把彈性失穩問題轉化成為了求解廣義特征值的問題，并且討論了正交各向異性、長徑比(L/R)、厚度半徑比等因素對臨界失穩壓力的影響以及該方法的實際應用。并使用解析法，根據 Flügge殼體理論，從正交各向異性圓柱殼在靜水壓力作用下的自由振動方程出發，推導出在簡支邊界下圓柱殼自由振動的特征方程[5]，討論了正交各向異性圓柱殼的自由振動特性以及靜水壓力對其自由振動頻率的影響，詳細分析了殼體材料的特性參數和具體幾何參數對于自振頻率的影響，得到了最低自由振動頻率隨長徑比變化的包絡線。同時，他從 Flügge殼體理論出發，使用振型疊加方法，分析了在靜水壓力作用下正交各向異性圓柱殼受到徑向沖擊時的瞬態動力響應問題，并且討論了結構尺寸的變化以及材料特性對響應量的影響。

此外，已有學者推導出簡單邊界條件下的正交各向異性圓柱殼自由振動的精確特征方程[5]，如文獻[6]對復雜邊界條件的圓柱殼自由振動進行了分析，但其所用方法需要對每一種復雜邊界條件先列出約束方程再進行后續推導。事實上，邊界條件作為一種重要的結構參數，對于圓柱殼結構動力學行為特性具有重要影響[7-8]。最近，文獻[9-10]提出一種二維改進的傅里葉級數方法，分別完成了彈性約束邊界條件下矩形板結構面內與彎曲振動特性分析。隨后，這種二維改進的傅里葉級數方法進一步拓展至各向同性圓柱殼結構振動分析中，并得到了良好的預報效果[11]。本文將首先簡單介紹二維改進傅里葉級數方法，隨后采用能量原理并結合瑞利-里茲方法獲得正交各向異性圓柱殼結構系統矩陣方程，最后，給出數值算例，并同文獻中其他預報方法結果進行比較，對本文所提出方法的正確性與可行性進行驗證。

1 理論推導

1.1 模型描述

如圖1所示，考慮一個長度為L、半徑為R、厚度為h的正交各向異性圓柱殼，在該圓柱殼上建立柱坐標系，圓柱殼的軸心線與坐標系中x軸重合，且長度方向與x軸同向。

圖1 正交各向異性圓柱殼結構模型示意圖Fig.1 Analysis model of orthotropic cylindrical shell structure

為了統一處理圓柱殼結構的邊界約束條件，此處采用4種邊界約束彈簧來進行模擬，這樣，各種邊界條件便可以通過將邊界約束彈簧剛度系統為無窮大或零進而得到。

1.2 位移場函數展開

正交各向異性圓柱殼在軸向、周向和徑向3個方向上的振動位移以傅里葉級數的形式:

式中:λm=m π/L，ξ1(x)和 ξ2(x)是面內位移輔助函數，ζ1(x)、ζ2(x)、ζ3(x)和 ζ4(x)為彎曲位移輔助函數。此處，在標準二維傅里葉級數上引入這些輔助函數的目的在于消除3種殼體位移及其相應空間導數在結構邊界上的不連續性，進而提高傅里葉級數在整個數值求解域內的收斂速度和求解精度。理論上，這些輔助函數的形式可以不唯一，為了簡便相關數學推導步驟，輔助函數在這里分別構造為[11]

容易證明:

通過在標準的傅里葉級數中引入輔助函數，可以改進解的收斂性和精確性，此處，構造的輔助函數形式將有助于簡化后續數學推導過程。

1.3 能量原理

為了確定正交各向異性圓柱殼振動位移改進傅里葉級數中所有的未知系數，將采用能量原理對圓柱殼系統自由振動進行描述，進而利用瑞利-里茲方法進行求解。正交各向異性圓柱殼的系統拉格朗日函數為

式中:V和T分別為系統的總勢能和總動能。

總勢能V包括應變能和邊界約束彈簧的彈性勢能2部分，它可以表示為

式中:A11、A12、A22和A21是拉伸剛度，表達式分別為

A66是剪切剛度，其表達式為

D11、D12、D22和 D21是彎曲剛度，它們的表達式分別為

D66是剪切剛度，其表達式為

圓柱殼系統振動引起的總動能T為

式中:u、v和w分別為正交各向異性圓柱殼在3個方向上的振動位移函數分布，ρ、h和R分別表示圓柱殼結構的質量密度、厚度和半徑。

1.4 系統特征方程

將所構建的正交各向異性圓柱殼結構3個改進傅里葉級數振動位移分量函數(式(1)～(3))代入系統的拉格朗日函數(式(14)，(15)，(26))中，利用瑞利-里茲方法對位移函數中的傅里葉表達式中的各個系數 Amn、an、bn、Bmn、cn、dn、Cmn、en、fn、gn和hn分別求導取極值，在實際計算過程中，改進傅里葉級數進行有限截斷m=M，n=N，從而可以得到關于所有傅里葉系數的系統特征矩陣方程:

式中:

顯然，正交各向異性圓柱殼結構的模態頻率參數可以通過求解一個標準的矩陣特征值問題而全部得到。如果需要求解圓柱殼結構系統對于外部激勵的振動響應，僅需在正交各向異性圓柱殼結構系統拉格朗日函數(式(14))中包含外力的做功項，最終將會在矩陣方程(式(27))的右端出現外力激勵向量。

2 數值結果與討論分析

本節中將采用MATLAB科學計算語言對上述理論推導模型進行編程數值仿真，將計算所得到的不同邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構模態頻率與文獻[6]中方法所給出的結果進行比較，進而驗證所提出預測模型的正確性與優越性，同時對于相關參數對于圓柱殼結構的模態參數影響進行討論分析。如前文所述，本文模型中邊界條件可以通過將邊界約束彈簧剛度系數設置為零或無窮大來進行模擬(在數值計算中采用1×1011表示無窮大)。計算發現，對于傅里葉級數截斷數采用M=N=9時，即可得到精確頻率參數。為了便于同文獻[6]中的數據進行對比，無量剛頻率參數Ω定義為

表1～8中分別列出了簡支-固支、簡支-自由、固支-固支、自由-自由邊界條件下，采用本文方法得到了正交各向異性圓柱殼的無量綱頻率參數與文獻[6]中方法得到的無量綱頻率參數的對比。

表1 簡支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數 Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 1 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with simply supported and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表2 簡支-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 2 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with simply supported and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表3 固支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 3 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表4 自由-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:Ex/Ey=2，h/R=0.01Table 4 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，h/R=0.01

表5 固支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:Ex/Ey=2，L/R=10Table 5 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which Ex/Ey=2，L/R=10

表6 自由-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:Ex/Ey=2，L/R=10Table 6 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which Ex/Ey=2，L/R=10

表7 固支-固支邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:h/R=0.01，L/R=5Table 7 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with clamped and clamped boundary conditions，in which h/R=0.01，L/R=5

表8 自由-自由邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構的無量綱頻率參數Ω，其中:h/R=0.01，L/R=5Table 8 Non-dimensional frequency parameter Ω of orthotropic cylindrical shell structure with free and free boundary conditions，in which h/R=0.01，L/R=5

通過2種方法所得到的無量綱頻率參數的絕對值對比，可以看出:對于各種邊界條件與物理參數情況下，本文方法能夠準確預報正交各向異性圓柱殼結構模態特性。由于在本文模型中所采用的改進傅里葉級數方法在整個求解域內充分連續，同時模型邊界條件采用彈性約束彈簧進行模擬，上述結果驗證了該方法的可行性。與文獻[6]中方法相比，本文方法采用統一建模，當邊界條件等各種結構或物理參數改變時，無須對理論公式進行推導或重新編寫計算程序，表現出更好的通用性，將更便于人們分析邊界約束條件對此類正交各向異性圓柱殼動力學特性的影響。

3 結束語

本文采用一種二維改進傅里葉級數方法研究了不同邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構動力學特性，即圓柱殼在圓周、軸向和徑向3個方向上的振動位移場函數均采用標準二維傅里葉余弦級數附加多項式與單傅里葉級數形式進行展開，用以克服位移函數導數在邊界處不連續問題。然后，基于能量原理和瑞利-里茲方法對所有未知傅里葉級數系數進行求解，得到包含所有模態頻率參數的系統特征方程矩陣表達式。

采用MATLAB語言編制仿真程序，通過與文獻[6]中方法的不同邊界條件下正交各向異性圓柱殼結構振動頻率計算結果進行比較，驗證了本文方法和所編制程序的正確性和有效性。本模型中邊界條件修改時，不需要對理論模型重新推導和進行程序的重新編寫，更加適用于正交各向異性圓柱殼結構振動特性的邊界影響分析。

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