高旋彈丸背景渦流磁場建模與補償

向超，卜雄洙，祁克玉，于靖

(1.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京210094;2.機電動態控制重點實驗室，陜西 西安710065;3.上海機電工程研究所，上海201109)

地磁導航具有全天時、全天候、全地域、能耗低的優良特征，在導航定位、戰場電磁信息對抗等領域展現了巨大的軍事潛力[1-2]。隨著地磁測量技術的發展，利用地磁測量來實現姿態測試和制導的方法已經成為彈體姿態信息獲取的重要手段之一。目前地磁導航測姿主要有2種形式:1)利用地磁場在載體坐標系內的三分量和某一個已知的姿態角來求取其余姿態信息;2)利用地磁匹配的方法來確定載體位置和姿態[3]。

彈體主要由鐵磁物質組成，目前所有利用地磁來進行彈體姿態測量的方法都面臨背景磁場的干擾問題[4]。背景磁場的復雜性使得其成為制約彈上地磁場高精度測量的瓶頸，這導致彈體地磁導航測姿技術目前還處于輔助的地位。研究更精確、更高效的彈體背景磁場補償方法是當前急需解決的關鍵問題。傳統的磁補償方法主要從磁傳感器的零位誤差、垂直誤差、靈敏度誤差入手，建立磁傳感器的羅差補償模型，先后出現了泊森(Poisson)公式補償法、橢圓擬合補償法、十二位置標定法、最小二乘補償法等[5-6]。這些方法只研究了靜態情況下載體所受軟硬磁干擾的影響，對載體高速、高旋狀態下的渦流等影響沒有進行討論，在一定程度上存在局限性，不能滿足旋轉彈丸高速飛行過程中的渦流干擾磁場的補償要求。為了實現彈上高精度地磁測量，本文根據旋轉彈體的材料特點和運動特征，對高旋彈體運動過程中產生的渦流磁場進行了理論研究和數學建模，通過數值仿真與半實物實驗來分析渦流磁場對姿態測量精度的影響。

1 渦流磁場的產生原理與基本模型

當彈體在空間中高速運動時，彈體外殼形成閉合回路，通過其包圍面積的磁通量隨著地磁場在彈體坐標系三軸分量的變化而變化，在回路中產生渦旋電流，該電流反過來產生阻止這種變化的渦流感應磁場，用磁感應強度矢量Bbe表示。彈體外殼厚度要遠小于與其徑向尺寸，考慮到渦流現象中的集膚效應[7]，在分析彈丸的渦流感應背景干擾磁場時只考慮外殼表面的渦電流現象。為了簡化分析，將彈體外殼等效為一個兩端封閉的空心圓柱體，以圓柱體質心為原點建立彈體坐標系o-xbybzb。

1.1 x軸方向的渦流磁場

針對彈體xb軸方向地磁分量變化，根據外殼物理特性，將其等效為法線方向為xb軸的N匝線圈串聯組成的有限長直螺線管物理模型，如圖1所示。

圖1 xb軸渦流分析時彈體外殼的等效線圈模型Fig.1 Equivalent coil model of projectile shell in xbanalysis

圖1中R為彈體徑向半徑，L為軸向長度。令單個等效線圈的等效電阻為Rx，根據法拉第電磁感應定律[8]，可得由地磁場在xb軸上的分量Bbx的變化引起的渦流電流Iex為

根據畢奧-薩伐爾定理[9]，可以得到彈體在空間運動過程中xb軸上中點處沿Bbx變化的反方向產生的渦流干擾磁感應強度為

其中，n為單位長度內等效模型線圈的匝數，其值與彈體材料的導電性能有關。exx由彈體材料的物理特性 (μr，n，Rx)和結構尺寸 (L，R)所決定，一旦材料和結構確定，exx是固定的常數。

1.2 y、z軸方向的渦流磁場

針對yb軸方向地磁分量的變化，將彈體外殼等效為法線方向為yb軸的N個矩形線圈組成。由感應電流引起的渦流磁場同理可以按xb軸方向上的分析方法得到

2 三軸耦合的渦流磁場模型

前文選取的等效線圈法線方向都與彈體坐標軸平行，使得在研究其中任一單軸向的渦流磁場時，不存在其他兩軸的交叉干擾。實際中彈體外殼構成一個封閉的包裹曲面，曲面中的潛在電流回路的方向是多種多樣的。

2.1 三軸渦流磁場的磁偶極子等效物理模型

對彈體外殼結構進行適合于實際情況的標準等效線圈劃分，即將彈體外殼等效為N個不同法線方向的閉合回路線圈的集合。等效線圈的法線方向與3個彈體坐標軸都存在一個夾角。定義任意一個等效線圈i的法線方向ni與彈體坐標軸xb、yb、zb所成的夾角分別為βix、βiy、βiz，如2圖所示。

對于單個標準等效線圈i，設其線圈平面所圍面積大小為Si，其法線方向的磁感應強度的大小為彈體坐標系三軸方向的地磁場分量在其法線ni方向上的投影之和，即

設線圈的等效電阻為 Ri，令 wix=-Si·cos βix/Ri，wiy=-Si· cos βiy/Ri，wiz=-Si·cos βiz/Ri，則線圈i中由于磁通量Φi的變化而產生的感應電流為

單個線圈i法線方向等效渦流磁矩大小為mien=Si·Iie，將其投影到彈體坐標系三軸上有

式中:qiab=Si·cos βia·wib(a=x，y，z;b=x，y，z)。彈體坐標系三軸方向渦流總磁矩等于N個等效線圈所產生渦流磁矩之和，令則有

圖2 任意等效線圈的示意圖Fig.2 Schematic diagram of the equivalent coil

圖3 渦流背景磁場磁偶極子等效模型Fig.3 Magnetic dipole model of eddy-current magnetic field

2.2 三軸渦流磁場的數學模型

設空間中有一磁矩m，以其對應的磁偶極子中心為原點，磁矩方向為z軸建立如圖4所示的空間直角坐標系o-xyz與球坐標系(r，θ，φ)。

定義磁矩m所在空間的磁導率為μ，r為磁偶極子中心O到空間N(r，θ，φ)點的距離。根據坐標投影原理和磁矩空間感應強度分布理論[10]，磁矩m在空間球坐標系內N點處產生的磁感應強度在坐標系o-xyz三軸方向上的分量大小BNx、BNy、BNz可表示為

實際工作中磁傳感器的安裝位置不在載體坐標系原點，而是空間某點N處。利用式(9)、(10)可求得彈體坐標系內3個等效渦流磁矩在彈上安裝的磁傳感器三軸方向上所產生的磁感應強度。磁傳感器受到的載體渦流干擾磁場的數學模型為

式中:E為渦流磁場模型的渦流參數矩陣。渦流系數的具體表達式如下:式中:rs為磁傳感器安裝中心到彈體坐標系原點的距離;θi、φi(i=x，y，z)是磁傳感器安裝中心在球坐標系中的坐標參數。從上述渦流系數的表達式可以看出，渦流系數 eij(i=x，y，z;j=x，y，z)與彈體的材料特性、尺寸、磁傳感器安裝位置有關，只要這些參數確定，eij就是常數。

圖4 磁矩在空間某點的磁感應強度分布Fig.4 Magnetic induction intensity distribution of m in space

3 渦流磁場引起的姿態角誤差分析

在彈上地磁場的測量過程中，磁傳感器實際檢測到的磁感應強度Bm是同時包括地磁場Bb(被測量)和渦流干擾磁場的。綜合式(11)和傳感器理論輸出模型[11]可以得到磁傳感器的真實輸出模型:

式中:P、K分別為硬磁、軟磁干擾矩陣;R=KE為渦流干擾矩陣。從式(12)可以看出，由于渦流干擾磁場的存在，使得磁傳感器真實輸出電壓中出現了相應的附加干擾成分。

利用測量地磁場在彈體坐標系內三軸分量來解算姿態角時，渦流干擾磁場會引起地磁分量測量誤差，進而造成姿態角的解算誤差。在只考慮磁場測量誤差傳遞的情況下，根據函數誤差傳遞理論[12]和地磁測姿算法，利用已知的俯仰角θ求取偏航角ψ和橫滾角γ的測量誤差為

其中，A=BH·cos ψ·sin θ+BZ·cos θ;B=BH·sin ψ;BH表示地磁場水平強度;BZ表示地磁場垂直強度。

4 數值仿真與半實物實驗研究

4.1 數值仿真分析

通過MATLAB軟件仿真分析彈體渦流背景磁場對姿態角解算誤差的影響。根據IGRF11模型，得到南京地區BH=33 100 nT，BZ=36 928 nT。根據某型彈丸的材料特性和前期分析工作[13]，將彈丸渦流磁場參數設置如下:

按如下條件進行了仿真:θ=60°，ψ=30°;橫滾角速率分別為 0、10、20、60、100、200 r/s。磁傳感器噪聲是均值為零、均方根為10 nT的隨機白噪聲。表1對不同橫滾角速度時有無渦流磁場的影響情況下姿態角解算誤差進行了對比。

表1 當θ作為已知量時，ψ和γ的姿態角誤差Table 1 Errors of ψ and γ when θ as a known quantity

通過表1可以看出:在疊加渦流磁場的情況下，姿態角誤差要遠大于由于傳感器噪聲產生的誤差。通過渦流磁場補償后，姿態角誤差滿足高精度測量的要求。比較不同橫滾角速度情況下的誤差可以看出:隨著橫滾角速度的增加，渦流干擾磁場對姿態角解算精度的影響也隨著增大。

4.2 半實物實驗研究

利用三軸轉臺在三維空間模擬彈體的實際運動狀態，進行半實物實驗研究。半實物測量系統硬件設計選用磁傳感器HMC1021/1022作為地磁敏感元件，采用C8051F320為微控制器，MAX1168為 AD芯片，AT45DB642D為外部存儲芯片。系統采用數據采集回收處理的方式，利用Labview軟件實現磁傳感器測量數據的USB回讀，并通過MATLAB軟件進行渦流補償和姿態角解算。轉臺實驗現場如圖5所示。

實驗前利用系統辨識[14]的方法根據式(12)對半實物裝置的硬磁、軟磁、渦流干擾矩陣進行了估計，得到以下結果:

實驗時將半實物裝置固定在轉臺上，在偏航角30°±4°，俯仰角35°±10°范圍內變化，橫滾角正向連續變化。經消噪后的傳感器輸出曲線如圖6所示。

圖5 半實物轉臺實驗現場Fig.5 Hardware-in-the-loop turntable experiment site

圖6 消噪后磁傳感器輸出曲線Fig.6 Magnetic sensor output curve after de-noising

以每個時刻轉臺輸出的姿態角(精度達0.01°)作為標準值，結合當地地磁參數(BH=33 100 nT，BZ=36 928 nT)，可得到地磁分量理論檢測值。圖7與圖8分別為測量系統只經過軟硬磁補償和經過渦流、軟硬磁補償后的地磁三分量測量誤差。

對比圖7和圖8不難發現:經過渦流補償后的彈體坐標系地磁場三分量的最大測量誤差在0.01 A/m以內，要遠小于只進行軟硬磁補償后的地磁測量誤差。實驗中以轉臺輸出的俯仰角θ為已知量，利用不同補償程度下的三軸地磁分量值進行偏航角ψ和橫滾角γ的解算，結果如表2所示。

圖7 只經過軟硬磁補償后地磁測量誤差Fig.7 Geomagnetic measuring error after a hard and soft magnetic compensation only

圖8 經過渦流、軟硬磁補償后的地磁測量誤差Fig.8 Geomagnetic measuring error after eddy-current，hard and soft magnetic compensation

表2 不同補償效果下姿態角解算誤差的結果比較Table 2 Results of attitude angle calculating errors under different compensation effect

從表2的結果可以看出，利用經過渦流補償后的地磁分量測量值進行姿態角解算的誤差在±1°以內。通過對不同補償程度下地磁分量的測量誤差以及相應的姿態求解誤差的比較，可以證明利用所提出的高旋彈丸背景渦流磁場模型來進行彈上地磁測量綜合補償是可行和有效的。對于高精度彈丸姿態測量的要求(姿態角誤差±1°以內)，必須要對背景渦流磁場進行補償。

5 結束語

本文針對高旋彈體地磁定姿的要求，分析了載體背景渦流磁場的產生機理，建立了單軸感應下的渦流磁場模型。在此基礎上通過研究彈丸渦流磁場的等效磁偶極子物理模型來建立三軸耦合渦流磁場的數學模型。通過對渦流磁場引起的姿態角測量誤差進行理論分析、數值仿真和半實物實驗，證明了所建渦流磁場模型用于地磁測量補償的有效性。本文建立的渦流磁場數學模型，為進一步提高彈上地磁測量精度提供了理論依據，對高旋載體的地磁定姿技術的研究具有借鑒意義。

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