對(duì)數(shù)域的光學(xué)相干層析圖像噪聲模型分析

紀(jì) 文，孫水發(fā)，王 帥，董方敏

（三峽大學(xué)智能視覺(jué)與圖像信息研究所，宜昌443002）

對(duì)數(shù)域的光學(xué)相干層析圖像噪聲模型分析

紀(jì) 文，孫水發(fā)*，王 帥，董方敏

（三峽大學(xué)智能視覺(jué)與圖像信息研究所，宜昌443002）

為了分析光學(xué)相干層析成像技術(shù)（OCT）的圖像對(duì)數(shù)變換前后的斑點(diǎn)噪聲分布模型，為圖像去噪及其它圖像處理過(guò)程提供參考，采用了先推導(dǎo)斑點(diǎn)噪聲理論分布模型，再通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證的方法。首先分析了對(duì)數(shù)變換前斑點(diǎn)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，利用數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)得到斑點(diǎn)噪聲對(duì)數(shù)變換后的理論分布模型，然后用OCT心血管圖像的平滑區(qū)域作為噪聲的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，得到變換前后斑點(diǎn)噪聲的直方圖分布數(shù)據(jù)，最后用理論分布模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，取得了確定系數(shù)、均方根差和卡方檢測(cè)的評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)。結(jié)果表明，對(duì)數(shù)變換后斑點(diǎn)噪聲分布符合Fisher-Tippett分布。這一結(jié)果對(duì)OCT圖像去噪等處理過(guò)程是有幫助的。

圖像處理；噪聲模型；對(duì)數(shù)變換；光學(xué)相干層析圖像；斑點(diǎn)噪聲

引 言

上個(gè)世紀(jì)末期，隨著寬帶光源的實(shí)用化，光學(xué)相干層析（optical coherence tomography，OCT）成像技術(shù)得到極大地發(fā)展［1-3］，因其低侵入性、高分辨率的特性成為臨床上的技術(shù)熱點(diǎn)［4］。但是OCT圖像中存在的斑點(diǎn)噪聲影響了該技術(shù)的廣泛使用。在OCT成像系統(tǒng)中，斑點(diǎn)噪聲本質(zhì)上也是由光的干涉引起的，樣品光會(huì)因?yàn)闃悠穬?nèi)部含有大量的散射顆粒而形成復(fù)雜的多次后向散射，因此反射光波前形成畸變，在與參考光干涉之后形成的圖像便會(huì)有大量的斑點(diǎn)噪聲［5］，它實(shí)質(zhì)上也是檢測(cè)目標(biāo)的信息載體［6］。而關(guān)于干涉成像的噪聲分析，人們已經(jīng)做了很多研究，并建立起了關(guān)于斑點(diǎn)噪聲的統(tǒng)計(jì)分布模型［7-9］。參考文獻(xiàn)［7］中分析了斑點(diǎn)噪聲的分布模型，提出強(qiáng)度服從負(fù)指數(shù)分布，幅度服從瑞利分布的結(jié)論。參考文獻(xiàn)［9］中對(duì)幅度服從瑞利分布做了進(jìn)一步的研究，并做了證明。

OCT圖像中的斑點(diǎn)噪聲一般被認(rèn)為是乘性噪聲模型，然而在去噪和重建方面很多現(xiàn)行的算法都是基于加性噪聲的，并且在成像和視覺(jué)系統(tǒng)中加性噪聲也是最常見(jiàn)的。為了利用這些去噪算法以及噪聲模型，通過(guò)對(duì)數(shù)變換將乘性噪聲轉(zhuǎn)化為加性噪聲，成為OCT圖像去噪中必不可少的步驟之一。對(duì)數(shù)變換作為一種非線性變換，使得轉(zhuǎn)換之后的斑點(diǎn)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性也相應(yīng)的發(fā)生了變化。參考文獻(xiàn)［10］中對(duì)合成孔徑雷達(dá)圖像的斑點(diǎn)噪聲及其對(duì)數(shù)變換之后的分布模型進(jìn)行了研究，考慮到OCT圖像與合成孔徑雷達(dá)圖像成像原理的類(lèi)似性，借助這篇文章的思路，作者對(duì)OCT圖像斑點(diǎn)噪聲對(duì)數(shù)變換前后的分布模型從理論和實(shí)驗(yàn)兩方面進(jìn)行了研究。先回顧了斑點(diǎn)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性，然后通過(guò)數(shù)學(xué)推導(dǎo)得到對(duì)數(shù)變換之后的分布模型；并通過(guò)試驗(yàn)驗(yàn)證推導(dǎo)出的數(shù)學(xué)模型，可知，對(duì)數(shù)變換后噪聲分布符合Fisher-Tippett（F-T）分布。

1 斑點(diǎn)噪聲統(tǒng)計(jì)特性

在OCT成像系統(tǒng)中，樣品光在樣品中經(jīng)過(guò)復(fù)雜的多次后向散射，再與參考光相干涉之后便會(huì)形成大量斑點(diǎn)噪聲［11-12］。對(duì)于OCT系統(tǒng)接收的回波信號(hào)，可以看作是多個(gè)回波的疊加，回波具有Akeiθk形式，那么接收傳感器得到總的回波信號(hào)也可以寫(xiě)為：

式中，Akeiθk表示第k個(gè)散射點(diǎn)的回波，Ak和θk分別表示其幅度和相位，A和θ分別表示總回波信號(hào)的幅度和相位，M表示散射點(diǎn)的總個(gè)數(shù)。總的回波信號(hào)也可以用一個(gè)復(fù)數(shù)Z＝Ar＋j Ai＝A cosθ＋j A sinθ來(lái)表示。當(dāng)M的值比較大時(shí)，根據(jù)中心極限定理知Ar和Ai兩者都可近似為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差σ為正態(tài)分布，據(jù)此可以求得回波信號(hào)幅度的概率密度函數(shù)為：

則其均值為E（I）＝σ2，方差為v（I）＝σ4。

2 對(duì)數(shù)域斑點(diǎn)噪聲統(tǒng)計(jì)模型

對(duì)數(shù)變換是一種非線性變換，它會(huì)使得斑點(diǎn)噪聲的統(tǒng)計(jì)特性發(fā)生變化，因此下面分析對(duì)數(shù)域下的斑點(diǎn)噪聲分布模型。根據(jù)參考文獻(xiàn)［13］和參考文獻(xiàn)［14］，知道OCT圖像中斑點(diǎn)噪聲為乘性噪聲，設(shè)其噪聲模型為：

式中，I（x，y）為OCT圖像的觀察值，F(xiàn)（x，y）是圖像沒(méi)有噪聲的期望值，N（x，y）是斑點(diǎn)噪聲。對(duì)（4）式兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得：

假設(shè)：

式中，α和β為系數(shù)。那么N～的概率密度函數(shù)為：

整理得：

式中，γ表示歐拉常數(shù)［15］，γ＝0.5772。

3 實(shí)驗(yàn)證明

為了驗(yàn)證上述分析，下面用實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。在1幅OCT心血管圖上選擇6個(gè)平滑區(qū)域作為原始噪聲數(shù)據(jù)，對(duì)選擇區(qū)域?qū)?shù)變換前后的分布模型中的感興趣區(qū)域（regions of inferest，ROI）進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，如圖1所示。

圖1由頻域系統(tǒng)平臺(tái)得到［16］。該系統(tǒng)利用的是半峰全寬為25nm、輸出功率為1.4W、脈沖時(shí)間為80fs的光源，光源被一個(gè)2×2的耦合器以1∶9分為兩份。兩束光經(jīng)參考臂和樣品臂反射回來(lái)后發(fā)生干涉，系統(tǒng)使用區(qū)域掃描相機(jī)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的線掃描相機(jī)記錄OCT譜，得到OCT圖像。

Fig.1 ROIof OCT images

3.1 對(duì)數(shù)變換前后噪聲的統(tǒng)計(jì)模型變化及分析

圖2對(duì)數(shù)變換前后感興趣區(qū)域圖像信號(hào)的統(tǒng)計(jì)分布情況，帶方格的曲線表示變換前，帶圓點(diǎn)的曲線表示變換后的信號(hào)統(tǒng)計(jì)分布。

將選擇的平滑區(qū)域作為噪聲，統(tǒng)計(jì)出選擇區(qū)域的直方圖，并用曲線來(lái)繪制，圖2顯示了圖1中6個(gè)區(qū)域的直方圖曲線以及對(duì)數(shù)變換后的直方圖曲線。圖中帶方格的曲線表示變換前的直方圖，由于選擇的區(qū)域是平滑區(qū)域，像素灰度值較低且比較集中，灰度較高的像素點(diǎn)較少，畫(huà)出的直方圖不夠直觀，所以把選擇區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行了歸一化處理。盡管不是十分明顯，也可以發(fā)現(xiàn)變換前的直方圖曲線右側(cè)拖尾比左側(cè)長(zhǎng)。帶圓圈的曲線表示對(duì)數(shù)變換之后的直方圖曲線，由于變換之后的像素值也比較小，且十分集中，于是把變換之后的數(shù)據(jù)也進(jìn)行了歸一化處理。從圖中不難發(fā)現(xiàn)帶圓圈的曲線左側(cè)有很長(zhǎng)的拖尾，右側(cè)卻幾乎沒(méi)有拖尾，這是Fisher-Tippett分布的重要特征之一。

3.2 對(duì)數(shù)變換后噪聲模型分析

3.2.1 曲線擬合 利用Fisher-Tippett分布函數(shù)和高斯分布函數(shù)對(duì)6個(gè)選區(qū)變換后的直方圖曲線進(jìn)行擬合。

圖3對(duì)應(yīng)圖1中6個(gè)所選區(qū)域，點(diǎn)狀對(duì)應(yīng)選擇區(qū)域變換后的直方圖數(shù)據(jù)，使用F-T函數(shù)曲線f（x）＝exp［b（x－a）］exp｛－exp［d（x－c）］／2｝來(lái)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合（其中，a，b，c，d為系數(shù)），利用最小二乘法得到公式中的參量，結(jié)果見(jiàn)表1，將得到的參量代入曲線方程，并將擬合曲線繪制在圖中（圖中實(shí)線表示），不難發(fā)現(xiàn)，擬合曲線恰巧穿過(guò)大量的數(shù)據(jù)點(diǎn)，且走勢(shì)與數(shù)據(jù)點(diǎn)分布走勢(shì)有很強(qiáng)的相似性，說(shuō)明擬合曲線對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果比較好。

使用高斯函數(shù)f（x）＝a exp［－（x－b）2／c2］對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出的方程參量見(jiàn)表2，圖中帶有方格的曲線代表高斯擬合曲線。不難發(fā)現(xiàn)，該曲線走勢(shì)與數(shù)據(jù)點(diǎn)分布走勢(shì)有一定的相似性，但是大部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)分布在曲線的兩側(cè)，甚至與該曲線偏離很多。這說(shuō)明高斯擬合曲線對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果較差。

Fig.2 Distributions of six ROIs before and after the logarithm transformation of Fig.1

Fig.3 Fitting curve of six ROIs of Fig.1

Table 1 Estimated parameters of F-T distribution function of Fig.1

Table 2 Estimated parameters of Gaussian distribution function of Fig.1

3.2.2 擬合性能分析 為了對(duì)擬合的效果進(jìn)行評(píng)估，用確定系數(shù)（R-square）、均方根差（root mean square error，RMSE）和卡方（X2）檢測(cè)評(píng)價(jià)擬合效果。R-square稱(chēng)為曲線方程的確定系數(shù)，范圍在0～1之間，越接近1，表明曲線對(duì)數(shù)據(jù)的擬合效果越好。均方根也稱(chēng)回歸系統(tǒng)的擬合標(biāo)準(zhǔn)差，它是擬合數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的“和方差”取均值并開(kāi)方得到的，該值越小說(shuō)明擬合出的數(shù)據(jù)越是接近原始數(shù)據(jù)，假設(shè)模型的擬合效果越好。卡方檢驗(yàn)法是在總體X的分布未知時(shí)，先對(duì)數(shù)據(jù)分布進(jìn)行假設(shè)，然后根據(jù)樣本的經(jīng)驗(yàn)分布和所假設(shè)的理論分布之間的吻合程度來(lái)決定是否接受原假設(shè)的一種檢測(cè)方法，它也是擬合度檢驗(yàn)的重要方式之一。

通過(guò)觀察表3、表4和表5不難發(fā)現(xiàn)，6個(gè)區(qū)域的F-T分布的RMSE檢測(cè)結(jié)果和X2檢測(cè)結(jié)果都小于高斯分布的檢測(cè)結(jié)果，而對(duì)應(yīng)的R-square檢測(cè)結(jié)果較大，這證明F-T分布曲線對(duì)變換后的直方圖曲線擬合更精確。

Table 3 RMSE testing results of Fig.1

Table 4 X2testing results of Fig.1

Table 5 R-square testing results of Fig.1

3.3 更多圖像的實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步證明理論推導(dǎo)的可靠性，選擇在更多OCT圖像進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，如圖4所示，選擇兩幅心血管OCT圖像，該圖也是由頻域OCT系統(tǒng)平臺(tái)產(chǎn)生。在兩幅圖像中，分別選擇兩個(gè)平滑區(qū)域做對(duì)數(shù)變換，為了增加實(shí)驗(yàn)的可對(duì)比性，不僅使用了Fisher-Tippett分布曲線和單高斯分布曲線（sigle Gaussian model，SGM）進(jìn)行擬合，還使用了混合高斯分布（Gaussian mixfure model，GMM）進(jìn)行擬合。文中使用了k＝2的混合高斯分布，理論上，隨著k的增加，混合高斯可以擬合任意形狀的數(shù)據(jù)，但是當(dāng)k過(guò)大，便會(huì)出現(xiàn)過(guò)擬合現(xiàn)象，失去實(shí)際意義，所以k的選擇一般小于等于3。圖5a和圖5b兩圖分別是對(duì)圖4a中的兩個(gè)選擇區(qū)域的擬合效果圖，圖5c和圖5d分別是對(duì)圖4b中的兩個(gè)選擇區(qū)域的擬合效果圖。其中點(diǎn)狀為原始數(shù)據(jù)，帶有方格的曲線代表單高斯擬合曲線，帶有星號(hào)的曲線代表混合高斯擬合曲線，不帶標(biāo)志的曲線代表F-T分布擬合曲線。從擬合效果圖（見(jiàn)圖5）來(lái)看，F(xiàn)-T分布和混合高斯分布擬合效果接近，且明顯優(yōu)于單高斯分布。表6～表8中分別給出了對(duì)4個(gè)選擇區(qū)域的曲線擬合效果的評(píng)價(jià)結(jié)果。從表6～表8中發(fā)現(xiàn)，F(xiàn)-T分布曲線與單高斯分布曲線相比，擬合效果要好很多，和混合高斯分布相比盡管差距不大，但是效果相對(duì)較好。實(shí)際應(yīng)用中由于混合高斯分布形式過(guò)于復(fù)雜，因此并無(wú)太多應(yīng)用價(jià)值。

Fig.4 OCT images of cardiovascular

Fig.5 Fitting results of Fig.4

Table 6 RMSE testing results of Fig.4

Table 7 X2testing results of Fig.4

Table 8 R-square testing results of Fig.4

4 小 結(jié)

討論了OCT圖像的斑點(diǎn)噪聲分布模型，并從理論上推導(dǎo)了斑點(diǎn)噪聲對(duì)數(shù)變換之后的概率分布模型，最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了驗(yàn)證，證明對(duì)數(shù)域斑點(diǎn)噪聲分布符合Fisher-Tippet分布。該模型將對(duì)OCT圖像的去噪處理研究起到促進(jìn)作用，例如在對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理時(shí)，需要將圖像的乘性噪聲轉(zhuǎn)化為加性，并得到變換后的圖像的均值與方差，可以起到參考作用。作者主要集中分析OCT圖像斑點(diǎn)噪聲對(duì)數(shù)變換前后的統(tǒng)計(jì)特性，并沒(méi)有進(jìn)一步的分析變換后的Fisher-Tippet分布模型在OCT圖像分析處理中的應(yīng)用，因此接下來(lái)的工作需要細(xì)致分析Fisher-Tippett分布模型在OCT圖像處理中的應(yīng)用。

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Analysis of noise model of optical coherence tomography image in logarithm ic domain

JI Wen，SUN Shuifa，WANG Shuai，DONG Fangmin
（Institute of Intelligent Vision and Image Information，Three Gorges University，Yichang 443002，China）

In order to analyze the speckle noise distribution model of optical coherence tomography（OCT）images before and after logarithm transformation and provide references for image de-noising and other image processing，theoretical distribution model of the speckle noise was deduced firstly and then was verified by experimental results.First of all，the statistical properties of the speckle noise before the logarithm transformation were analyzed.The distribution model of the speckle noise after logarithm transform was derived through the mathematical theory.Then，the smooth regions of cardiovascular OCT images were selected as the experimental data to obtain the histogram distribution of the speckle noise before and after the logarithm transformation.Finally，the experimental data were fitted by the theoretical distribution model and the evaluated data，such as R-square，root mean square error and X-square tests.The results prove that the noise distribution after logarithm transformation presents Fisher-Tippett distribution.The results are helpful for the de-noising on OCT images.

image processing；noise model；logarithm transformation；optical coherence tomography image；speckle noise

TP391.4

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.06.027

1001-3806（2014）06-0848-06

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61272237；61272236）

紀(jì) 文（1989-），男，碩士研究生，現(xiàn)主要從事醫(yī)學(xué)圖像處理的研究。

*通訊聯(lián)系人。E-mail：watersun＠ctgu.edu.cn

2013-12-06；

2014-01-02