彈光調制偏振Stokes參量測量及誤差分析

王立福，王志斌，2*，李 曉，2，陳友華，張 瑞，張鵬飛

彈光調制偏振Stokes參量測量及誤差分析

王立福1，王志斌1，2*，李 曉1，2，陳友華1，張 瑞1，張鵬飛1

（1.中北大學山西省光電信息與儀器工程技術研究中心，太原030051；2.中北大學儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，太原030051）

為了更簡便地實現Stokes矢量測量，采用一種工作在不同頻率上的雙彈光調制器，利用它的頻率疊加對光進行調制，產生載有被測量的高頻調制分量，通過鎖相一次得到了適用于所有偏振態測量的4個Stokes分量，且進行了理論分析、仿真驗證以及誤差分析，即對相位延遲幅度、入射角等因素對測量結果的影響進行了分析。結果表明，該方法實現了只需測量一次便可測出偏振態的所有分量，為進一步工程實現提供了基本的理論支撐。

光譜學；雙彈光調制器；Stokes矢量；偏振；鎖相

引 言

斯托克斯參量已經被廣泛應用于矢量光束的偏振特性變化的研究，且可描述光束所有的偏振態和光強度，因此只要測量出全部的斯托克斯參量，即可確定不同光束的偏振態。測量斯托克斯參量的方法分為兩類：一類是分振幅法［1-2］，用4個光電探測器同一時刻探測分成4束的待測光，完成對各個斯托克斯參量的測量；另一類是偏振光調制法，即在調制光路中加入相位延遲器和起偏器，只要使得它們繞光軸作多角度的轉動［3］，不同角度調制結果不同，可以滿足大部分偏振光的測量。目前，應用這一原理研制新型偏振測量儀已引起業內同行的密切關注，但其存在轉動機械誤差。近年來，隨著現代偏振測量技術的快速發展，偏振調制技術也有了長足的進展。

彈光調制器就是一種運行在諧振頻率狀態下的偏振調制器件，彈光調制器（photoelastic modulator，PEM）是一種基于光學雙折射晶體材料彈光效應的相位調制器件，自從彈光調制器發明以來，由于具有無機械振動影響、入射角較大、調制頻率高且裝置穩定性高、損耗小、容易控制、波段范圍寬（可從真空紫外到遠紅外）等一系列優點［4-5］，基于上述的這些優點，這種優越的偏振調制器很快應用到了許多領域，且對光學、生物物理、物理化學、晶體生長等領域都產生了積極的推動作用。而傳統的彈光調制偏振測量的方法是基于彈光調制的低頻測量［6-8］，不適用于高速運動物體的光譜測量，雖然容易探測，但不適用于高速運動物體的光譜測量，并且傳統的彈光調制偏振測量方法只能一次測量Stokes矢量中2個參量或者3個參量，也有可以測量出4個參量的，但是需要轉動裝置，降低了裝置的穩定性，因此，針對傳統方法的諸多不足，本文中提出了使用雙彈光調制測偏振的新方法，該方法只需測量一次就可以測出Stokes矢量的4個參量，適用于所有的偏振態測量，結合光譜測量及圖像融合技術可以用于高速運動物體的偏振光譜測量，且無需轉動實驗裝置，提高了結構的穩定性，很好地彌補了現有偏振光譜測量的不足。

1 彈光調制Stokes矢量測量結構及原理

1.1Stokes矢量

偏振測量中偏振態的描述方法有4種：三角函數表示法、Jonse矢量表示法、Stokes矢量和邦加球表示法。而Stokes矢量是英國物理學家STOKES在1852年研究部分偏振光時首次提出的。由于Stokes矢量既可以描述完全偏振光，也可以描述部分偏振光和非偏振光，可以是單色光也可以是復色光，所以在所有描述光偏振特性的方法中，Stokes矢量被廣泛應用。Stokes矢量可用4個參量表示所有光的偏振狀態，具體表示如下［4，9-10］：

式中，和表示電場在x和y方向的振幅，〈〉表示對時間的平均值，φ1＝φx－φy表示x方向和y方向上相位差，φ2＝φy－φx表示y方向和x方向上相位差，S0表示光的總強度，S1表示光的x分量和y分量的強度差，S2表示光在＋45°或－45°方向線偏振分量的強度差，S3表示光的右旋圓偏振分量與左旋圓偏振分量的強度差。

對于全偏振光有［9］：，部分偏振光有，自然界中的光包含的圓偏振信息很少，而一般的偏振測量裝置測量的偏振信息主要是對Stokes矢量中S0，S1和S2的測量，為此對S3的測量變得尤為重要了。基于幾種偏振態的的類型，本文中提出了一種使用雙彈光調制器測偏振態的新方法，該方法只需一次測量就可以測出Stokes的4個參量，適用于任何偏振態的測量。

1.2測量原理及結構

光通過彈光調制器后的相位延遲為［4］：

式中，ω為調制器的頻率，θ為初相位，相位延遲的幅值為：

式中，d為彈光晶體通光方向的厚度，λ為光波波長，K是與彈光晶體和壓電晶體有關的系數，V0為對應驅動電路的電壓峰值［11］。

彈光調制偏振測量結構如圖1所示，由1組2個彈光調制器（PEM1，PEM2）＋1個檢偏器（P）組成，以PEM1的光軸建立為實驗室坐標系，其中PEM1與PEM2的相位延遲方向分別為0°與45°，P的檢偏方向為0°。

Fig.1 Stokes vectormeasurement schematics based on dual-photoelastic modulator

由彈光調制器的概念可知，當一束光通過該裝置時，PEM1和PEM2產生調制，相當于可變波片，所以，通過該裝置最終得到的Stokes矢量為［4，9］：

式中，矢量［S0S1S2S3］T為被測光的Stokes矢量，［S0′S1′S2′S3′］T為經過調制和檢偏器之后的Stokes矢量，矩陣M1，M2，MP分別為PEM1，PEM2和檢偏器P的Mueller矩陣［12］，表示如下：

式中，φi＝φ0isin（ωit），其中i＝1，2。

這樣，彈光偏振測量結構的系統Mueller傳輸矩陣為［11-13］：

而探測器只能接收總的光強S0′，可以得到接收到的總光強為M矩陣的第1行與入射光Stokes量的乘積：

將cosφi和sinφi用貝塞爾函數展開得［14］：

式中，m為奇數，n為偶數，Jx（y）是對應y下的第x級貝塞爾函數，m1和m2為兩個彈光調制器相位延遲貝塞爾函數展開后的級數，ω1和ω2分別為兩個彈光調制器的工作頻率。由（9）式可知，在探測器探測到的光強中只要測得直流分量、高頻頻頻率2ω2和（ω1＋ω2）以及（2ω1＋ω2）分量以獲得S0，S1，S2和S3，因此通過鎖相技術，以光彈調制器的驅動信號作為參考信號，從探測器的輸出信號中解析高頻頻分量就可以求得S1，S2和S3，由（9）式可得直流分量、高頻頻率為2ω2和（ω1＋ω2）以及（2ω1＋ω2）分量隨時間的變化分別為：

式中，SDC′表示探測信號直流分量，J2（φ20）≠0，J1（φ10）J1（φ20）≠0和J2（φ12）×J1（φ20）≠0，則可求得S0，S1，S2和S3如下式所示：

式中，A，B，C分別表示探測信號頻率為2ω2，（ω1＋ω2）和（2ω1＋ω2）分量的幅值。由上述推導可知，在一次測量中，只需得到探測光電流的頻率分量（0，2ω2，ω1＋ω2，2ω1＋ω2），就可以實現對被測光斯托克斯矢量中S0，S1，S2和S3的測量。

2 仿真結果與誤差分析

2.1仿真分析

為了驗證上述理論的一般性，使用MATLAB軟件仿真時，偏振光被選為部分偏振光，設被測光S0＝1.00，S1＝0.60，S2＝0.30，S3＝0.50，兩驅動頻率分別是f1＝50.00kHz和f2＝30.00kHz，其中ωi＝2πfi（其中i＝1，2），相位延遲幅值φ10＝2.5rad，φ20＝2.0rad，帶入（8）式得到結果如圖2a所示，這是被測光通過雙光彈和檢偏器后的實際光強。如果對圖2a中曲線鎖相，測得頻率為2ω2的分量S2ω2′如圖2b中的實線所示，同樣鎖相（ω1＋ω2）和（2ω1＋ω2）的分量Sω1＋ω2′和S2ω1＋ω2′如圖2b中的虛線和加圓線所示，從仿真結果圖能明顯看出信號的包絡與周期性。

Fig.2 a—the total light intensitymeasured by the apparatus b—light intensity curve of each component

由φ10＝2.5rad和φ20＝2.0rad可得：J0（φ10）＝－0.048，J1（φ10）＝0.497，J1（φ20）＝0.577，J2（φ10）＝0.446。對仿真圖（見圖2a）提取直流分量SDC′＝0.487，由仿真結果（見圖2b）可得光強幅值S2ω2′＝0.353，Sω1＋ω2′＝0.172，S2ω1＋ω2′＝0.257，帶入（11）式可得：S0＝1.00，S1＝0.60，S2＝0.30，S3＝0.50。

2.2誤差分析

相位延遲幅值φ10和φ20的大小對最終結果影響也很大。由（10）式可知，如果J2（φ20）＝0，J1（φ10）× J1（φ20）＝0或J2（φ10）J1（φ20）＝0時，探測器將測不到頻率2ω2，（ω1＋ω2）或（2ω1＋ω2）的分量，所以也就得不到S1，S2或S3，并且由（10）式可以看出，J2（φ20），J1（φ10）J1（φ20）或J2（φ10）J1（φ20）越大，探測器的信號中包含S2ω2′，Sω1＋ω2′和S2ω1＋ω2′的幅值就越強，J2（φ20），J1（φ10）J1（φ20）或J2（φ10）J1（φ20）隨φ10和φ20的變化如圖3所示，由圖3可知，J0（φ10），J2（φ20），J1（φ10）× J1（φ20）或J2（φ12）J1（φ20）最大時的φ10并不相同，所以要根據實際需要合理選擇相位延遲幅值φ10和φ20，由（3）式可知，相位延遲幅值可通過驅動電壓峰值來調節。

相位延遲幅值的微小偏差對求解S0，S1，S2和S3也有一定的影響，由（11）式可以得到相位延遲幅值φ10，φ20的微小變化Δφ10，Δφ20對求解S0，S1，S2和S3的偏差見下式：

Fig.3 a—J0（φ10）versusφ10andφ20 b—J2（φ20）versusφ10andφ20 c—J1（φ10）J1（φ20）versusφ10andφ20 d—J2（φ10）J1（φ20）versusφ10andφ20

造成相位延遲幅值的變化的因素有很多，如入射角的變化、驅動電壓的變化等。彈光調制有通光孔徑大［14］和視場角大的優點，但入射角的微小的變化也會對測量結果產生影響，入射角的變化最終會造成相位延遲幅值的變化，這種相位延遲的變化主要有兩個方面的原因［15］：一是由于入射角不等于0時，在通光的路徑上受到的應力不同所造成的；二是由于入射角的變化會使（4）式中d的變化，變化后的d′＝d／cosθ′（θ′為光通過光彈晶體的折射角，它滿足折射定律）。在入射角很小的情況下，第1種原因影響很小，可以忽略，主要是第2種原因。接下來分析由于入射角的微小偏差對上述仿真結果造成的誤差，假設光彈材料為熔融石英，結合d′＝d／cosθ′與（12）式可得到S0，S1，S2和S3的偏差，如圖4所示。

Fig.4 Error in S0，S1，S2and S3resulting from tilted angles

由圖4可以看出，在入射角是±10°時，求解出的S0的偏差ΔS0＝0.0034，也就是對最終S0的誤差為ΔS0／S0＝0.00868／1＝0.87%；同理可得S1的誤差ΔS1／S1＝0.00887／0.6＝1.5%，S2的誤差ΔS2／S2＝0.00319／0.3＝1.1%，ΔS3／S3＝0.00477／0.5＝0.95%，由圖4可知，隨著偏移角度的變小，誤差越來越小。

3 結 論

通過以上的討論和仿真可知，采用雙彈光調制測量托克斯參量方法，只需對探測信號的相應頻率進行鎖相，便可以一次測量同時獲得斯托克斯矢量的4個分量，適用于所有的偏振光的測量，既不需要轉動裝置多次測量，也不需要多組裝置，就可以獲得高頻分量。通過對信號調制幅度與相位延遲幅度關系仿真分析，對相位延遲幅值偏差對測量結果造成的誤差進行分析，根據實際入射角允許的范圍內選擇合適相位延遲幅值，為該方法的進一步工程實現提供了基本的理論支撐。

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M easurement of the polarization Stokes parameters based on photoelastic-modulation and its error analysis

WANGLifu1，WANGZhibin1，2，LIXiao1，2，CHENYouhua1，ZHANGRui1，ZHANGPengfei1
（1.Engineering and Technology Research Center of Shanxi Provincial for Optical-Electric Information and Instrument，North University of China，Taiyuan 030051，China；2.Key Laboratory of Instrument Science＆Dynamic Measurement of Ministry of Education，North University of China，Taiyuan 030051，China）

In order to measure Stokes vectors simply and conveniently，a dual-photoelastic-modulator working at different frequencies was adopted to generate high frequency modulation component loaded with the parameters to be measured after lightmodulation because of the frequency superposition.Four Stokes components suitable for all polarization measurements were obtained once through a phase-locked polarization measurement.After theoretical analysis，simulation verification and error analysis，the effects of phase delay and incidence angle on themeasurement resultswere studied.The results show that all the measured polarization components can be obtained with only one measurement and the method provides theoretical support for further engineering implementation.

spectroscopy；dual-photoelastic modulator；Stokes parameters；polarization；phase-locked

O436.3

A

10.7510／jgjs.issn.1001-3806.2014.02.023

1001-3806（2014）02-0255-05

國家國際科技合作專項基金資助項目（2013DFR10150）；國家自然科學基金儀器專項基金資助項目（61127015）；山西省國際科技合作計劃資助項目（2010081038）

王立福（1986-），男，碩士研究生，主要從事彈光干涉具仿真方面的研究。

*通訊聯系人。E-mail：wangzhibin＠nuc.edu.cn

2013-06-20；

2013-07-16