基于特征空間算法的非圓相干信源DOA估計

刁鳴，丁兆明，高洪元，李晨琬

（哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

基于特征空間算法的非圓相干信源DOA估計

刁鳴，丁兆明，高洪元，李晨琬

（哈爾濱工程大學信息與通信工程學院，黑龍江哈爾濱150001）

針對非圓相干信號的解相干問題，給出了一種新的特征空間算法（eigenspace-direction of arrival，ES-DOA）。利用信號源的非圓特性，虛擬地擴展了陣元個數，使陣列信息增至擴展前的兩倍，對信號源數目的估計突破了M-1（M為陣元數）的限制；將信息量加倍后的協方差矩陣加以重構，給出一種新的特征空間算法進行解相干，最大限度地利用了噪聲子空間與信號子空間的信息，避免了空間平滑思想的陣列孔徑損失及最大似然算法運算量過大的問題；該方法還對信號源功率進行了估計，提高了對小能量信號的估計成功概率。仿真結果表明，該方法對波達方向估計具有很好的魯棒性。

DOA估計；特征空間；非圓特性；相干信源；信號源功率；Toeplitz矩陣；MUSIC算法；小能量信號

隨著BPSK、MASK、ASK、PAM等非圓信號在通信系統中的廣泛應用，基于非圓信號的DOA（direction of arrival）估計技術已成為測向領域中的研究熱點［1-2］。目前，針對非圓信號DOA估計的研究大多基于信號源完全獨立的前提，而實際環境中的信號源往往不可避免地存在相干信號。最常用且相對成熟的解相干技術為Shan首次提出的空間平滑思想［3］，但由于空間平滑算法屬于降維類算法，須對陣列進行劃分，導致陣列孔徑損失很大，檢測相干源數目與子陣孔徑大小成反比，對相干源數的估計極限僅為2M／3個［4-5］，且無法實現各信號源之間的完全解相干。基于空間平滑算法，文獻［6］提出了模式空間平滑算法用于解決圓陣相干信號DOA估計問題。此外，最大似然方法［7］也是一種行之有效的解相干算法，其通過概率密度模型來估計相干信號，但運算量很大，且仍然無法檢測信號源數目較多及多相干信源混合的情況，導致其實際應用的難度較大［8］。

文獻［9］研究了基于特征空間DOA（ES-DOA）估計算法，其性能明顯優于MUSIC等經典子空間類算法，并在信號解相干上取得了不錯的效果。本文利用特征空間算法的解相干優勢，結合非圓信號源的非圓特性，大幅度提升了對信源數目的估計能力［10］；在對陣列輸出信號的協方差矩陣加以重構后，采用特殊的搜索函數進行譜峰搜索，最大限度地利用了噪聲子空間與信號子空間的信息［9］，在不損失陣列孔徑的同時，提高了對相干及強相關信號估計的有效性和優越性；該算法還結合了信號源的功率估計［11］，可對能量小的信號加以能量補償，在低信噪比和小快拍數的情況下仍具有較好的穩健性。

1 估計信號的數學模型

1.1 非圓信號的數學模型

如圖1所示，設有M個陣元的均勻線陣，陣元間距d為半波長λ／2，N個窄帶信號分別從角度為θ1，θ2，…，θN入射到均勻線陣上，信號中包含相干或強相關信號。

圖1 均勻線陣示意圖Fig.1 Equality line-antenna array

將M個陣元輸出信號用矢量表示成X（t）＝［x1（t）x2（t）…xM（t）］，則第i個陣元輸出的表達式為

式中：sk（t）為入射信號，tk為第i個信源在相鄰陣元間的時延，ni（t）為第k個陣元在t時刻的噪聲和干擾。將式（1）寫成矩陣形式為

式中：

式中：θ＝2πf＝2πc／λ，c為光速，f為信號頻率，λ為入射信號波長。通常接收信號的模型為

式中：u（t）為信號的幅度信息，v（t）為信號的相位信息，φ為信道附加信息，對于一般的圓形信號，通常將信道附加信息直接歸入信號的相位信息之中，即φ對信號模型的構成不會產生影響。

而非圓信號為實值信號，即解調之后的信號為實數。所以為了使得信號模型更加接近實際情況而需考慮傳輸信道對信號的影響［12］，此時經過解調后的信號模型應改為

將式（4）代入式（2）中，可得非圓信號陣列接收數據模型為

式中：Ψ＝diag（ejφ1，ejφ2，…，ejφN）是與每一個信號有關的信道附加相位組成的對角陣。

1.2 相干信號的數學模型

2個平穩信號si（t）、sk（t）間的相關情況用相關系數來定義，即

根據Schwartz不等式可知ρik≤1，定義當ρik＝1時，兩信號相干。

由定義可知，當信號源存在相干關系時各信號之間只差一個復常量。假設有N個相干信號源，則有

式中：s0（t）可稱為生成信源，αi即為第i個信號源si（t）相對于生成信源s0（t）的復衰減。將式（7）代入式（5）可得非圓相干信號的數學模型：

式中：η是由一系列復常數組成的N×1維矢量。

2 本文算法描述

設有一個復隨機變量y，定義其均值為E［y］，協方差為E［yy*］，橢圓協方差（偽協方差）為E［y2］。若一個復隨機變量的均值和橢圓協方差均為零，即E［y］＝0，則E［y2］＝0，則稱此復隨機變量為二階圓性變量。若復隨機變量不滿足E［y2］的性質，則認為此復隨機變量具有二階非圓性［13］。事實上，對于非圓信號，二階DOA算法中陣列輸出的協方差矩陣和偽協方差矩陣分別為

式中：RS＝E［S（t）SH（t）］，R＇S＝E［S（t）ST（t）］，為空間理想白噪聲的噪聲功率，IM為單位矩陣。

由于非圓信號的橢圓協方差不為零，即攜帶了信源信息，通過將接收數據和其共軛串聯起來以增加數據維數的方式，可以虛擬地將陣元個數加倍，此時有

進而擴展后的數據協方差矩陣為

式中：R和R＇分別為陣列輸出的協方差矩陣和橢圓協方差矩陣，R＝E［X（t）XH（t）］和R＇＝E［X（t）XT（t）］分別為信號矢量的協方差矩陣和橢圓協方差矩陣，RS＝E［S（t）SH（t）］，R＇S＝E［S（t）ST（t）］。

通過式（12）構造的陣列輸出信號協方差矩陣由非圓相干信號組成，經典的解相干算法無法與非圓特性相結合。另外，在子空間類算法中如果信源中存在小能量信號，完成協方差矩陣特征分解后，小能量信號對應的特征值較小，很容易被強噪聲干擾。本文將依據信號源功率的求解過程，用其功率的倒數對MUSIC算法的空間頻率譜函數加權，以抑制噪聲干擾。

首先對協方差矩陣加以重構，使其具備采用特征空間算法解相干的條件。設變換陣V為M階交換陣，即

將協方差矩陣按如下方式重構：

式中：R為Hermite矩陣，不具備Toeplitz矩陣的特性，而將R按式（14）修正后得到矩陣RX為Toeplitz矩陣。

依據信源功率的求解過程，定義一個新矩陣RA＝ASSHAH＝APAH＝USΛSUHS，其中P＝SSH，US為信號子空間，單取第i個信號處的導向矢量，進一步計算可得

當信號搜索至信源處，即θ＝θi（i＝1，2，…，N）時，aH（θ）UNUHNa（θ）＝0，而aH（θ）a（θ）＝1／pi≠0，故PES的空間頻率譜峰值在θ＝θi（i＝1，2，…，N）處。對接收信號協方差矩陣R重構后得到RX，使得譜峰搜索函數PES可應用于相干信號的DOA估計。

此外，本文定義的特殊空間譜函數不僅可以估計信號到達角，還可以估計信號源功率的大小。由式（15）可得，第i個信號的信源功率為pi＝1／aH（θi）R＋Aa（θi）

[ ]，可直接求出譜峰位置的功率值，便于對小能量信號的檢測判斷。

3 算法性能仿真驗證

3.1 兩類算法DOA估計的魯棒性比較

假設有來波方向分別為－35°、20°和55°的3個相干BPSK信號，信噪比為－5 dB，均勻線陣的陣元數為8，陣元間距d＝λ／2，快拍數為500，分別采用本文算法和前后向空間平滑算法做100次Monte-Carlo實驗。

由圖2可得出，ES-DOA算法和空間平滑算法均可對非圓相干信號進行DOA估計，但ES-DOA算法的譜峰明顯更加尖銳，且沒有旁瓣和毛刺，表明該算法較空間平滑具有更好的魯棒性。

假設有來波方向分別為－50°、－30°、－10°、10°、30°和50°的6個相干BPSK信號，其他條件同上，采用本文算法和前后向空間平滑算法對信號源進行100次Monte-Carlo實驗，對比信號角度的真實值和估計值。

圖2 兩類算法譜峰搜索對比圖Fig.2 Peak searching comparison of two algorithms

圖3 分別為ES-DOA算法和空間平滑算法的“估計次數-到達角”對比圖。通過對2張圖的對比，可驗證本文算法相對于空間平滑算法對非圓相干信號的估計具有更好的準確性。

圖3 估計次數－到達角Fig.3 Estimation times versus arrival angles

3.2 兩類算法的解相干性能比較

假設有來波方向分別為－35°、－10°、20°和55°的4個相干BPSK信號，信噪比在－20～20 dB范圍內由小到大漸變，均勻線陣的陣元數為10，陣元間距為d＝λ／2，快拍數為500，做100次Monte-Carlo實驗，比較2種算法的估計成功概率和均方根誤差。

圖4 估計成功概率Fig.4 Success probability of estimation

由圖4可以看出，當信噪比低于－5 dB時，2種算法的估計成功概率大致相同，隨著信噪比的增加，本文算法的成功概率明顯高于空間平滑算法，說明估計相干信號時，本文算法的估計性能要優于空間平滑算法，同時也驗證了所提算法的可靠性。由圖5可以看出，2種算法的估計均方根誤差都隨著信噪比的增大而減小，當信噪比大于10 dB時，兩者的估計均方根誤差大致相同，當信噪比小于10 dB時，本文算法的估計均方根誤差明顯小于空間平滑算法，說明本文算法適用于低信噪比信號的估計，估計性能與空間平滑算法相比更加穩定。

圖5 估計均方根誤差Fig.5 Mean square error of estimation

3.3 信源數接近陣元數情況下的估計性能對比

假設有來波方向分別為－45°、－5°、20°、55°和80°的5個相干BPSK信號，信噪比為－5 dB，均勻線陣的陣元數為8，陣元間距為d＝λ／2，快拍數為500，分別采用本文算法和前后向空間平滑算法做100次Monte-Carlo實驗。

圖6為相對于陣元數信號源數目較多的情況下2種算法對相干BPSK信號的譜峰搜索圖，從圖上可明顯得出，本文算法仍可有效地估計出各信號角度，只是80°來波方向信號的估計精度稍差；而空間平滑算法只能估計出2個信號角度，基本失效，表明本文算法適用于信源數目較大時的估計情況。

圖6 多信號源情況下譜峰搜索對比圖Fig.6 Peak searching comparison in multi-signal sources

3.4 信號源功率估計的性能檢驗

假設有來波方向分別為15°、30°和55°的3個相干BPSK信號，均勻線陣的陣元數為8，陣元間距為d＝λ／2，信噪比從0～20 dB遞增，快拍數分別取200、300、500和1 000，做50次Monte-Carlo實驗，驗證本文算法對信號源功率的估計性能。

定義均方誤差為PMSE＝（pi－pie）2，其中pi和pie分別為第i個信號功率的真實值和估計值。由圖7可以看出，隨著信噪比的增加，所得的均方誤差越來越小，本算法具有較好的信源功率估計能力，且估計性能隨著快拍數的增大而增大。

圖7 信號源功率估計性能Fig.7 Estimation performance of signal power

4 結束語

本文以BPSK調制信號為例，結合非圓信號的自身特性，給出了一種針對非圓相干信號的特征空間算法（ES-DOA）。該算法可擴展陣列信息，適用于多信號源數目的估計情況，通過將陣列輸出信號的協方差矩陣重構為Toeplitz矩陣，使其具備譜峰搜索的前提條件，避免了現有的解相干算法陣列孔徑損失嚴重、計算量較大等問題。此外，該算法還結合了信號源功率，便于對能量較小的信號進行能量補償，試用的噪聲環境更廣。

該算法利用了非圓信號特性，擴展了陣列孔徑，可以估計更多的信號源，提高了DOA估計性能；算法結合了信號源的功率估計，可以適用于估計能量小，低信噪比的相干信號；通過與前后向空間平滑技術進行對比，仿真結果證實了該算法具有較高的精度和較強的魯棒性。

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Estimating direction of arrival of non-circular coherent signals based on ES-DOA estimation algorithm

DIAO Ming，DING Zhaoming，GAO Hongyuan，LI Chenwan
（College of Information and Communication Engineering，Harbin Engineering University，Harbin 150001，China）

A new eigenspace-direction of arrival（ES-DOA）de-correlation algorithm is presented to estimate the direction of arrival of non-circular coherent signals.It takes advantage of non-circular characteristics of the signal source，virtually extends the number of the

array elements and doubles the array information compared with the information before extension.This makes the estimation of signal source number break through the maximum M-1（with M representing the number of sensor elements）.Restructure the covariance matrix in which the amount of information has been doubled，and then do the de-correlation by the proposed ES-DOA algorithm.The new algorithm can make use of the information of signal subspace and noise subspace to the largest extent，and avoids the problem of array aperture loss caused by the spatial smoothing algorithm and the large amount of calculation caused by the maximum likelihood algorithm.Besides，the proposed ES-DOA algorithm can also be used to estimate the power of signal source，which can improve the probability of success in the estimation of low power signals.The simulation results indicated that the method is effective and robust in DOA estimation.

DOA estimation；eigenspace；non-circular characteristic；coherent signals；signal power；Toeplitz matrix；MUSIC algorithm；low power signal

10.3969／j.issn.1006-7043.201310073

http：／／www.cnki.net／kcms／doi／10.3969／j.issn.1006-7043.201310073.html

TN911

A

1006-7043（2014）12-1559-05

2013-10-25.網絡出版時間：2014-12-04.

國家自然科學基金資助項目（61102106，61102105）；中國博士后基金資助項目（2013M530148）.

刁鳴（1960-），男，教授，博士生導師.

刁鳴，E-mail：diaoming＠hrbeu.edu.cn.