在列車組合定位系統基于奇異值分解的粒子濾波算法研究

魯志剛+王更生

摘 要 粒子退化是粒子濾波算法存在的主要問題之一，針對該問題，提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法。測試表明，所提算法能夠提供更高地定位精度。

關鍵詞 粒子濾波；奇異值分集；組合定位

中圖分類號：U284 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）10-0054-02

在列車定位系統中，提高定位精度的方法有兩種：一種是提升傳感器的精度，另一種是多種定位方式相融合的組合式定位。在第二種方法中，通過對現有的多個單一定位系統中的傳感器所提供的信息進行融合，從而實現了定位精確地提升。組合定位系統一般采用擴展卡爾曼（Extended KF，簡稱EKF）濾波算法[1]，該算法雖然實現簡單，但是難以適用于高維且非線性很大的復雜系統模型。因此，針對非線性系統的粒子（Partile Filter，簡稱PF）濾波算法得到了越來越多的關注[2]。

PF濾波算法使用非參數化的隨機模擬辦法來遞推貝葉斯濾波，而PF算法的濾波器的精度取決于目標概率函數與重要性函數是否相近。并且粒子退化問題也影響了PF算法的性能。針對這一問題，文獻[3]一種改進的PF（Improved PF，簡稱IPF）算法，該算法通過對重要性分布函數進行調整來抑制退化現象，但是IPF算法還會遇到協方差矩陣病態條件的困擾。而奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱SVD）是能夠有效地解決上述問題。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波（SVD-based PF，簡稱SVD-PF）算法。仿真表明同PF算法相比較，SVD-PF算法穩定性更好，定位精度更高。

1 基于奇異值分解的粒子濾波算法

SVD-PF的算法步驟為：

1）從先驗密度中采用粒子，假設粒子初始權值為，。

2）使用IPF算法計算粒子集的均值、方差。

①初始化（）

（1）

令，，，其中，為系統噪聲方差，為測量噪聲方差。

②當

a.奇異值分解和特征點矩陣的計算

特征點矩陣

（） （2）

其中，是合成比例參數，，決定周圍特征點的擴散，為狀態向量的維度，為二級尺度參數，為的第列，為的第個對角元素，。

奇異值分解：

（、正交，對角矩陣） （3）

b.更新時間

， （4）

其中，為系統輸入，，，。

（5）

其中，，為關于的先驗知識，，。

， （6）

c.更新量測

（7）

其中，，，。

3）從重要性分布函數采樣粒子，。

4）利用公式求粒子權值。

5）對粒子權值進行歸一化，。

6）對粒子樣本集采樣。

7）狀態更新，。

2 列車組合定位系統的數學模型

組合定位系統由與北斗組成。該系統的狀態向量采用北斗與慣性導航所輸出的導航誤差，并使用間接法濾波來進行處理。同時，北斗的偽距誤差只作為量測噪聲來對待。

2.1 系統狀態方程

狀態向量：

（8）

其中，是速度誤差，是位置誤差，是四元數誤差，為陀螺常值漂移，為加速度計零偏。

（9）

其中，是狀態轉移模型，是噪聲系數陣，是系統噪聲陣。

2.2 量測方程

北斗接收機的偽距可寫成：

（10）

其中，為接收機到衛星的距離，是鐘差等效距離，是非鐘差測距誤差，為接收機所收到的白噪聲。

（11）

利用公式（11）來消除鐘以及，從而得到公式（12）：

（12）

其中，為輸出的坐標， 為第顆北斗衛星的坐標。根據公式（12）可以得到/北斗組合定位系統的量測方程：

（13）

其中，為非線性函數，是量測噪聲。

3 仿真分析

為了驗證SVD-PF算法的性能，本文進行了如下仿真，仿真參數設置參照文獻[3]。

圖1 PE與SVD-PE定位誤差比較

圖1給出了PE算法與SVD-PF算法在東向位置的誤差。從圖1中可以看出，SVD-PF算法的定位誤差要明顯小于PF算法的。并且表1給出了兩種算法定位誤差的定量分析。從表1中可以看出，SVD-PF算法的誤差最大值、均值與方差都小于PF算法的。

表1 東向位置誤差（單位：米）

名稱 誤差最大值 均值 方差

PF 19.73 3.25 41.12

SVD-PF 16.812 2.67 36.65

4 結論

本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法SVD-PF，并將其應用于列車組合定位系統中，仿真表明，SVD-PF算法能夠顯著地提高定位精度。

參考文獻

[1]秦永元，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導航原理[M].西安：西北工業大學出版社，1998.

[2]Meropolis N， Rosenbluth A W. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics， 1953，21（6）：1087-1092.

[3]趙梅，張三通，朱剛.改進粒子濾波算法在組合導航中的應用[N].中國公路學報，2007，20（2）：108-112.

作者簡介

魯志剛（1988-），男，漢族，江西撫州人，碩士生，華東交通大學信息工程學院，研究方向計算機應用技術。

王更生（導師）（1964-），男，漢族，湖南邵東人，教授，碩士，華東交通大學信息工程學院，主要研究領域為計算機應用，全球衛星定位系統，數據挖掘。endprint

摘 要 粒子退化是粒子濾波算法存在的主要問題之一，針對該問題，提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法。測試表明，所提算法能夠提供更高地定位精度。

關鍵詞 粒子濾波；奇異值分集；組合定位

中圖分類號：U284 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）10-0054-02

在列車定位系統中，提高定位精度的方法有兩種：一種是提升傳感器的精度，另一種是多種定位方式相融合的組合式定位。在第二種方法中，通過對現有的多個單一定位系統中的傳感器所提供的信息進行融合，從而實現了定位精確地提升。組合定位系統一般采用擴展卡爾曼（Extended KF，簡稱EKF）濾波算法[1]，該算法雖然實現簡單，但是難以適用于高維且非線性很大的復雜系統模型。因此，針對非線性系統的粒子（Partile Filter，簡稱PF）濾波算法得到了越來越多的關注[2]。

PF濾波算法使用非參數化的隨機模擬辦法來遞推貝葉斯濾波，而PF算法的濾波器的精度取決于目標概率函數與重要性函數是否相近。并且粒子退化問題也影響了PF算法的性能。針對這一問題，文獻[3]一種改進的PF（Improved PF，簡稱IPF）算法，該算法通過對重要性分布函數進行調整來抑制退化現象，但是IPF算法還會遇到協方差矩陣病態條件的困擾。而奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱SVD）是能夠有效地解決上述問題。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波（SVD-based PF，簡稱SVD-PF）算法。仿真表明同PF算法相比較，SVD-PF算法穩定性更好，定位精度更高。

1 基于奇異值分解的粒子濾波算法

SVD-PF的算法步驟為：

1）從先驗密度中采用粒子，假設粒子初始權值為，。

2）使用IPF算法計算粒子集的均值、方差。

①初始化（）

（1）

令，，，其中，為系統噪聲方差，為測量噪聲方差。

②當

a.奇異值分解和特征點矩陣的計算

特征點矩陣

（） （2）

其中，是合成比例參數，，決定周圍特征點的擴散，為狀態向量的維度，為二級尺度參數，為的第列，為的第個對角元素，。

奇異值分解：

（、正交，對角矩陣） （3）

b.更新時間

， （4）

其中，為系統輸入，，，。

（5）

其中，，為關于的先驗知識，，。

， （6）

c.更新量測

（7）

其中，，，。

3）從重要性分布函數采樣粒子，。

4）利用公式求粒子權值。

5）對粒子權值進行歸一化，。

6）對粒子樣本集采樣。

7）狀態更新，。

2 列車組合定位系統的數學模型

組合定位系統由與北斗組成。該系統的狀態向量采用北斗與慣性導航所輸出的導航誤差，并使用間接法濾波來進行處理。同時，北斗的偽距誤差只作為量測噪聲來對待。

2.1 系統狀態方程

狀態向量：

（8）

其中，是速度誤差，是位置誤差，是四元數誤差，為陀螺常值漂移，為加速度計零偏。

（9）

其中，是狀態轉移模型，是噪聲系數陣，是系統噪聲陣。

2.2 量測方程

北斗接收機的偽距可寫成：

（10）

其中，為接收機到衛星的距離，是鐘差等效距離，是非鐘差測距誤差，為接收機所收到的白噪聲。

（11）

利用公式（11）來消除鐘以及，從而得到公式（12）：

（12）

其中，為輸出的坐標， 為第顆北斗衛星的坐標。根據公式（12）可以得到/北斗組合定位系統的量測方程：

（13）

其中，為非線性函數，是量測噪聲。

3 仿真分析

為了驗證SVD-PF算法的性能，本文進行了如下仿真，仿真參數設置參照文獻[3]。

圖1 PE與SVD-PE定位誤差比較

圖1給出了PE算法與SVD-PF算法在東向位置的誤差。從圖1中可以看出，SVD-PF算法的定位誤差要明顯小于PF算法的。并且表1給出了兩種算法定位誤差的定量分析。從表1中可以看出，SVD-PF算法的誤差最大值、均值與方差都小于PF算法的。

表1 東向位置誤差（單位：米）

名稱 誤差最大值 均值 方差

PF 19.73 3.25 41.12

SVD-PF 16.812 2.67 36.65

4 結論

本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法SVD-PF，并將其應用于列車組合定位系統中，仿真表明，SVD-PF算法能夠顯著地提高定位精度。

參考文獻

[1]秦永元，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導航原理[M].西安：西北工業大學出版社，1998.

[2]Meropolis N， Rosenbluth A W. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics， 1953，21（6）：1087-1092.

[3]趙梅，張三通，朱剛.改進粒子濾波算法在組合導航中的應用[N].中國公路學報，2007，20（2）：108-112.

作者簡介

魯志剛（1988-），男，漢族，江西撫州人，碩士生，華東交通大學信息工程學院，研究方向計算機應用技術。

王更生（導師）（1964-），男，漢族，湖南邵東人，教授，碩士，華東交通大學信息工程學院，主要研究領域為計算機應用，全球衛星定位系統，數據挖掘。endprint

摘 要 粒子退化是粒子濾波算法存在的主要問題之一，針對該問題，提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法。測試表明，所提算法能夠提供更高地定位精度。

關鍵詞 粒子濾波；奇異值分集；組合定位

中圖分類號：U284 文獻標識碼：A 文章編號：1671-7597（2014）10-0054-02

在列車定位系統中，提高定位精度的方法有兩種：一種是提升傳感器的精度，另一種是多種定位方式相融合的組合式定位。在第二種方法中，通過對現有的多個單一定位系統中的傳感器所提供的信息進行融合，從而實現了定位精確地提升。組合定位系統一般采用擴展卡爾曼（Extended KF，簡稱EKF）濾波算法[1]，該算法雖然實現簡單，但是難以適用于高維且非線性很大的復雜系統模型。因此，針對非線性系統的粒子（Partile Filter，簡稱PF）濾波算法得到了越來越多的關注[2]。

PF濾波算法使用非參數化的隨機模擬辦法來遞推貝葉斯濾波，而PF算法的濾波器的精度取決于目標概率函數與重要性函數是否相近。并且粒子退化問題也影響了PF算法的性能。針對這一問題，文獻[3]一種改進的PF（Improved PF，簡稱IPF）算法，該算法通過對重要性分布函數進行調整來抑制退化現象，但是IPF算法還會遇到協方差矩陣病態條件的困擾。而奇異值分解（Singular Value Decomposition，簡稱SVD）是能夠有效地解決上述問題。因此，本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波（SVD-based PF，簡稱SVD-PF）算法。仿真表明同PF算法相比較，SVD-PF算法穩定性更好，定位精度更高。

1 基于奇異值分解的粒子濾波算法

SVD-PF的算法步驟為：

1）從先驗密度中采用粒子，假設粒子初始權值為，。

2）使用IPF算法計算粒子集的均值、方差。

①初始化（）

（1）

令，，，其中，為系統噪聲方差，為測量噪聲方差。

②當

a.奇異值分解和特征點矩陣的計算

特征點矩陣

（） （2）

其中，是合成比例參數，，決定周圍特征點的擴散，為狀態向量的維度，為二級尺度參數，為的第列，為的第個對角元素，。

奇異值分解：

（、正交，對角矩陣） （3）

b.更新時間

， （4）

其中，為系統輸入，，，。

（5）

其中，，為關于的先驗知識，，。

， （6）

c.更新量測

（7）

其中，，，。

3）從重要性分布函數采樣粒子，。

4）利用公式求粒子權值。

5）對粒子權值進行歸一化，。

6）對粒子樣本集采樣。

7）狀態更新，。

2 列車組合定位系統的數學模型

組合定位系統由與北斗組成。該系統的狀態向量采用北斗與慣性導航所輸出的導航誤差，并使用間接法濾波來進行處理。同時，北斗的偽距誤差只作為量測噪聲來對待。

2.1 系統狀態方程

狀態向量：

（8）

其中，是速度誤差，是位置誤差，是四元數誤差，為陀螺常值漂移，為加速度計零偏。

（9）

其中，是狀態轉移模型，是噪聲系數陣，是系統噪聲陣。

2.2 量測方程

北斗接收機的偽距可寫成：

（10）

其中，為接收機到衛星的距離，是鐘差等效距離，是非鐘差測距誤差，為接收機所收到的白噪聲。

（11）

利用公式（11）來消除鐘以及，從而得到公式（12）：

（12）

其中，為輸出的坐標， 為第顆北斗衛星的坐標。根據公式（12）可以得到/北斗組合定位系統的量測方程：

（13）

其中，為非線性函數，是量測噪聲。

3 仿真分析

為了驗證SVD-PF算法的性能，本文進行了如下仿真，仿真參數設置參照文獻[3]。

圖1 PE與SVD-PE定位誤差比較

圖1給出了PE算法與SVD-PF算法在東向位置的誤差。從圖1中可以看出，SVD-PF算法的定位誤差要明顯小于PF算法的。并且表1給出了兩種算法定位誤差的定量分析。從表1中可以看出，SVD-PF算法的誤差最大值、均值與方差都小于PF算法的。

表1 東向位置誤差（單位：米）

名稱 誤差最大值 均值 方差

PF 19.73 3.25 41.12

SVD-PF 16.812 2.67 36.65

4 結論

本文提出了一種基于奇異值分解的粒子濾波算法SVD-PF，并將其應用于列車組合定位系統中，仿真表明，SVD-PF算法能夠顯著地提高定位精度。

參考文獻

[1]秦永元，汪叔華.卡爾曼濾波與組合導航原理[M].西安：西北工業大學出版社，1998.

[2]Meropolis N， Rosenbluth A W. Equation of state calculations by fast computing machines. Journal of Chemical Physics， 1953，21（6）：1087-1092.

[3]趙梅，張三通，朱剛.改進粒子濾波算法在組合導航中的應用[N].中國公路學報，2007，20（2）：108-112.

作者簡介

魯志剛（1988-），男，漢族，江西撫州人，碩士生，華東交通大學信息工程學院，研究方向計算機應用技術。

王更生（導師）（1964-），男，漢族，湖南邵東人，教授，碩士，華東交通大學信息工程學院，主要研究領域為計算機應用，全球衛星定位系統，數據挖掘。endprint