基于降維可視化技術(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析

李皓川,孫志禮,王海

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽 110819;2.沈陽金鑫宏美物資有限公司,遼寧沈陽 110001)

基于降維可視化技術(shù)的結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析

李皓川1,孫志禮1,王海2

(1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院,遼寧沈陽 110819;2.沈陽金鑫宏美物資有限公司,遼寧沈陽 110001)

針對多維隱式結(jié)構(gòu)可靠性問題,應(yīng)用降維可視化技術(shù)進(jìn)行可靠性靈敏度分析。基于iHLRF法求解設(shè)計(jì)點(diǎn),根據(jù)模型計(jì)算精度確定有限差分步長。用一條直線將平面分為安全域和失效域兩部分,通過計(jì)算直線初始位置附近數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的響應(yīng)量,來調(diào)整并確定直線的最終位置,根據(jù)直線上方數(shù)據(jù)點(diǎn)提供的信息計(jì)算可靠性靈敏度。提出的可靠性靈敏度分析方法的準(zhǔn)確性不受維度以及非線性的影響,且效率較高。最后計(jì)算了兩個(gè)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度及各個(gè)變量的可靠性靈敏度,為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供了理論依據(jù)。算例表明了文中所給出的計(jì)算公式的正確性和有效性。

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué);結(jié)構(gòu)可靠性;可靠性靈敏度;設(shè)計(jì)點(diǎn);降維可視化技術(shù);iHLRF法

0 引言

可靠性靈敏度分析為研究影響結(jié)構(gòu)可靠性的主要因素提供了一種有效方法,其分析效果主要受可靠性分析方法的影響。對于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的可靠性問題,極限狀態(tài)函數(shù)一般都沒有解析表達(dá)式,即是隱式的。針對這一情況,經(jīng)典的可靠性及可靠性靈敏度分析方法如一次可靠性方法(FORM)、二次可靠性方法(SORM)等解析法,由于其對高度非線性函數(shù)的近似效果不佳,因而精度不高[1-4]。取而代之的是改進(jìn)的數(shù)字模擬方法,如重要抽樣法(ISM)、子集模擬法、線抽樣法和方向抽樣法等,或是代理模型近似技術(shù),如響應(yīng)面法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、Kriging模型和支持向量機(jī)等[5-7]。然而這些方法應(yīng)用在多維情況下都很困難,或是因?yàn)橹虚g過程繁瑣,或是因?yàn)樾枰?jì)算大量樣本的響應(yīng)量,這被稱為“維度災(zāi)難[8-12]”現(xiàn)象,從而降低了可靠性靈敏度分析的精度或效率。降維可視化技術(shù)[13](DRV)屬于一種改進(jìn)的數(shù)字模擬方法。通過提取樣本的極特征信息并在平面內(nèi)顯示,將可靠性問題的研究從傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間轉(zhuǎn)換到了平面內(nèi),并利用映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)的聚集特性估算可靠度,其分析效果不受可靠性問題的非線性和維度的影響。應(yīng)用降維可視化技術(shù)分析可靠性問題的關(guān)鍵在于設(shè)計(jì)點(diǎn)的求解,這是一個(gè)約束優(yōu)化問題。一個(gè)被廣泛使用的方法即iHLRF[14]法,這是一種基于梯度的線搜索方法。當(dāng)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的梯度能夠被準(zhǔn)確計(jì)算時(shí),iHLRF法是一種準(zhǔn)確且高效的方法,反之將會(huì)導(dǎo)致迭代無法收斂。對于隱式函數(shù)響應(yīng)的梯度,一個(gè)最直接的計(jì)算方法是有限差分法,但差分步長的選擇常沒有規(guī)律卻顯著影響梯度的精度。

本文首先簡要介紹降維可視化技術(shù)的基本思想;然后應(yīng)用iHLRF法求解設(shè)計(jì)點(diǎn),根據(jù)模型的計(jì)算精度來確定有限差分的步長,保證了迭代的收斂性;進(jìn)而提出通過計(jì)算少量樣本點(diǎn)的響應(yīng)量就可以確定失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù),并利用失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)提供的信息進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠性靈敏度分析。文中給出了分析方法的原理與具體步驟,最后用兩個(gè)多維可靠性問題驗(yàn)證了所提方法的準(zhǔn)確性。

1 降維可視化技術(shù)

用樣本的極特征作為平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo),這樣就可將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的樣本點(diǎn)映射到平面內(nèi),若同時(shí)將數(shù)據(jù)結(jié)果的類標(biāo)信息一并顯示,即可靠性分析中的失效類和安全類,就實(shí)現(xiàn)了樣本信息的降維可視化,就可在平面內(nèi)用散點(diǎn)圖來顯示數(shù)據(jù)的分布情況。文獻(xiàn)[13]已經(jīng)討論了在小概率情況下,從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量空間映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)具有顯著的聚集特性,并且可由一條直線將平面內(nèi)的兩類數(shù)據(jù)點(diǎn)分開。例如下面的極限狀態(tài)函數(shù)

式中:各隨機(jī)變量xi均服從參數(shù)值為1的指數(shù)分布; η為常數(shù)。應(yīng)用Rosenblatt變換將極限狀態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間下如(7)式所示:

其設(shè)計(jì)點(diǎn)向量的方向?yàn)閚=(1,1,…,1).令d= 30,η=46,產(chǎn)生50 000個(gè)樣本點(diǎn),將其映射到平面內(nèi),計(jì)算樣本的類標(biāo)信息如圖1所示。可以看出失效類樣本在極特征平面內(nèi)有顯著的聚集特性,且可由一條直線將兩類數(shù)據(jù)點(diǎn)隔開,如圖1中的實(shí)線。

圖1 樣本信息的降維可視化Fig.1 Dimensionality reduction and visualization of samples'information

2 考慮計(jì)算精度的iHLRF法

式中:u=T(x)為原始隨機(jī)變量與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系;?G(x)/?xi為極限狀態(tài)函數(shù)相對于原始隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)。由于在工程問題中G(x)常由有限元方法計(jì)算,其相對于原始隨機(jī)變量的偏導(dǎo)數(shù)的解析解很難得到,因此常采用有限差分方法計(jì)算,即

式中:Γxi為有限差分的步長;ei為xi軸上的單位向量。理論上差分步長越小,(16)式的截?cái)嗾`差就越小,但是應(yīng)該根據(jù)模型的計(jì)算精度來選擇步長大小。一般極限狀態(tài)函數(shù)的響應(yīng)包括兩部分:一部分是確定性的,而另一部分是隨機(jī)性的,這種隨機(jī)性是由計(jì)算機(jī)的舍入誤差和數(shù)值分析誤差造成的,通常與模型的計(jì)算精度以及響應(yīng)值呈一定的比例。如果步長Γxi太小,可能造成差分G(x+Γxiei)-G(x)的值比響應(yīng)G(x)的隨機(jī)部分還要小,這樣計(jì)算的偏導(dǎo)數(shù)值誤差將很大,甚至?xí)斐傻^程不收斂。因此差分步長應(yīng)該足夠大,使得極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)值的隨機(jī)部分可以被忽略。本文采用(17)式作為每一步的差分步長:

式中:c為放大倍數(shù);ε為模型計(jì)算精度;εG(x(k-1))為極限狀態(tài)函數(shù)的最大數(shù)值誤差;ΓG(x(k-1))i為第k-1次迭代的梯度向量中的第i個(gè)元素。第一次迭代時(shí),由于前一次的梯度向量未知,可以采用一個(gè)較大的差分步長。計(jì)算精度需根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)的特性決定,如果G(x)是解析表達(dá)式,則ε一般應(yīng)取10-8,如果G(x)是由數(shù)值計(jì)算確定的,如有限元分析,則ε應(yīng)該根據(jù)數(shù)值分析的收斂標(biāo)準(zhǔn)確定,一般取10-5～10-4之間。

3 計(jì)算可靠性靈敏度

3.1 直線位置的確定方法

映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)均聚集在某一特定的位置,且落在一條直線上方。因此可將這條直線下方的安全類數(shù)據(jù)點(diǎn)截去,只需根據(jù)上方數(shù)據(jù)點(diǎn)提供的信息即可估算可靠度與可靠性靈敏度。但在調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)計(jì)算之前,映射到極特征平面內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)沒有類標(biāo)信息,因此無法直觀確定直線的位置。文獻(xiàn)[13]提出根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定直線位置,即根據(jù)失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)常出現(xiàn)聚集的位置確定一條直線,留出較大的裕度,如圖1中的虛線,計(jì)算直線上方所有數(shù)據(jù)點(diǎn)的類標(biāo)信息,根據(jù)失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)估算可靠度。然而這種方法需要計(jì)算較多次極限狀態(tài)函數(shù)的響應(yīng)。為了盡量減少極限狀態(tài)函數(shù)的調(diào)用次數(shù),本文首先根據(jù)經(jīng)驗(yàn)預(yù)判斷直線的初始位置,然后根據(jù)其附近數(shù)據(jù)點(diǎn)的類標(biāo)信息做出調(diào)整,達(dá)到最終位置,可以節(jié)省調(diào)用極限狀態(tài)函數(shù)的次數(shù),提高計(jì)算效率。下面介紹調(diào)整直線位置的具體步驟。

1)根據(jù)隨機(jī)變量的維度在極特征平面內(nèi)畫出可靠性圖的輪廓(使極特征的聯(lián)合概率密度函數(shù)等于0)。

2)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中產(chǎn)生N個(gè)樣本點(diǎn),并將其映射到極特征平面內(nèi)(此時(shí)極特征平面內(nèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)是沒有類標(biāo)信息的,如圖2中的白色數(shù)據(jù)點(diǎn))。

3)預(yù)判斷直線的初始位置。根據(jù)經(jīng)驗(yàn),中低維情況下直線在可靠性圖的右上部分(可以將其設(shè)置為同時(shí)通過可靠性圖最上端點(diǎn)與最右端點(diǎn),如圖2中的虛線),而高維情況下則在可靠性圖的上方接近水平(可以將其設(shè)置為水平直線并在可靠性圖上1/4處)。

4)計(jì)算初始直線和可靠性圖輪廓的交點(diǎn)A、B附近數(shù)據(jù)點(diǎn)的類標(biāo)信息。在A點(diǎn)附近,順時(shí)針進(jìn)行時(shí),當(dāng)計(jì)算得到連續(xù)兩個(gè)失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)即停止計(jì)算;逆時(shí)針進(jìn)行時(shí),當(dāng)連續(xù)得到兩個(gè)安全類數(shù)據(jù)點(diǎn)即停止計(jì)算。在B點(diǎn)附近,順時(shí)針進(jìn)行時(shí),當(dāng)計(jì)算得到連續(xù)兩個(gè)安全類數(shù)據(jù)點(diǎn)即停止計(jì)算;逆時(shí)針進(jìn)行時(shí),當(dāng)連續(xù)得到兩個(gè)失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)即停止計(jì)算。

5)調(diào)整直線位置。使其同時(shí)通過臨界處的兩個(gè)失效類數(shù)據(jù)點(diǎn),即確定了直線的位置。

圖2 直線位置調(diào)整示意圖Fig.2 Schematic diagram of adjustment strategy of straight line

圖2為調(diào)整直線位置的示意圖,虛線為直線初始位置,實(shí)線為調(diào)整后的位置,箭頭指示的是數(shù)據(jù)點(diǎn)的計(jì)算順序以及停止時(shí)機(jī)。

這樣只需要調(diào)用很少次極限狀態(tài)函數(shù)就可以將安全類數(shù)據(jù)點(diǎn)和失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)隔開。

3.2 計(jì)算可靠度及可靠性靈敏度

當(dāng)確定直線的位置后,統(tǒng)計(jì)得到直線上方數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)Nup,則失效概率為式中:xh可通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的失效樣本點(diǎn)進(jìn)行變換得到,而直線上方的數(shù)據(jù)點(diǎn)則儲(chǔ)存標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中失效樣本點(diǎn)的坐標(biāo)信息。

4 實(shí)例分析

圖3 軸承內(nèi)外圈配合情況Fig.3 Fit situation of bearing's inner and outer rings

算例1為了防止傳動(dòng)軸發(fā)生抱死事故,軸承的工作游隙值應(yīng)大于0 μm,即工作游隙的極限狀態(tài)函數(shù)為G(x)=μw(x)-0,其中μw(·)為工作游隙函數(shù),同時(shí)考慮配合、內(nèi)圈轉(zhuǎn)速、溫升以及軸承材料等隨機(jī)因素的影響。圖3表示的是軸承內(nèi)外圈的配合情況。

表1給出了影響滾動(dòng)軸承游隙的隨機(jī)變量及其分布參數(shù)。假設(shè)各隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立。

表1 隨機(jī)變量分布參數(shù)列表Tab.1 Distribution parameters of random variables

此外,軸承內(nèi)圈與軸配合直徑d1為80 mm,軸承外圈與軸承座配合直徑D2為200 mm.分別計(jì)算軸承內(nèi)圈外徑、外圈內(nèi)徑以及滾動(dòng)體對工作游隙的影響,然后進(jìn)行疊加,工作游隙的具體分析方法可參考文獻(xiàn)[15]。

應(yīng)用Rosenblatt變換將極限狀態(tài)函數(shù)轉(zhuǎn)換到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量空間,應(yīng)用iHLRF法求解設(shè)計(jì)點(diǎn),迭代停止的條件為‖u(k+1)-u(k)‖≤0.001.若每次的差分步長都設(shè)為定值,當(dāng)?shù)Ｖ箷r(shí),最終計(jì)算的設(shè)計(jì)點(diǎn)并不在極限狀態(tài)面上,即不滿足收斂條件|g(u*)/g(u0)|≤0.001,這是因?yàn)樘荻扔?jì)算出現(xiàn)較大誤差,導(dǎo)致迭代步長非常小,使迭代無法繼續(xù)進(jìn)行。若采用(17)式的差分步長,放大倍數(shù)設(shè)為c= 5,模型計(jì)算精度設(shè)為ε=10-5,則能夠保證迭代的收斂。最終計(jì)算的設(shè)計(jì)點(diǎn)u*為(2.182,1.092, -1.091,0,0.007,-0.008,0.013,-0.048, -0.003,0.163,0.032,0.31,-0.217,0.123).產(chǎn)生N=10 000個(gè)樣本點(diǎn)并將其映射到平面內(nèi),調(diào)用22次極限狀態(tài)函數(shù)得到調(diào)整后的直線位置如圖4所示。截去下方數(shù)據(jù)點(diǎn),統(tǒng)計(jì)直線上方共有Nup= 27個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),因此失效概率Pf=Nup/N=0.002 7.根據(jù)得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)應(yīng)用FORM、SORM以及ISM估算可靠度,結(jié)果如表2所示。

圖4 滾動(dòng)軸承工作游隙可靠性問題的截?cái)嘀本€Fig.4 Truncation line for reliability analysis of rolling bearing clearance

表2 算例1可靠度計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculated results of Example 1

雖然本問題中的隨機(jī)變量均服從正態(tài)分布,但由于隨機(jī)變量個(gè)數(shù)較多,且接觸分析給極限狀態(tài)函數(shù)帶來了非線性,因此解析法對失效樣本點(diǎn)的捕捉能力欠佳,出現(xiàn)了較大的誤差。而本文方法只比解析法多調(diào)用較少次數(shù)的極限狀態(tài)函數(shù),卻得到了與精確解相似的精度,這是由于其利用了失效樣本點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的分布規(guī)律,并直接從最可能失效區(qū)域進(jìn)行搜索。將直線上方數(shù)據(jù)點(diǎn)對應(yīng)的原始隨機(jī)變量空間中的樣本點(diǎn)坐標(biāo)代入(24)式計(jì)算可靠性靈敏度,結(jié)果如表3、表4所示,其與通常的定性分析的結(jié)果吻合,可為軸承游隙的設(shè)計(jì)提供定量的理論依據(jù)。由于是利用失效樣本點(diǎn)的坐標(biāo)信息估計(jì)可靠性靈敏度,而通過可靠性分析的結(jié)果可知,截?cái)嘀本€上方的數(shù)據(jù)點(diǎn)提供的信息是準(zhǔn)確的,因此利用其計(jì)算的可靠性靈敏度結(jié)果必然最接近精確解。

算例2一個(gè)7層的框架結(jié)構(gòu)在頂部有均布的載荷40 kN/m,框架底部完全固定,如圖5所示。

本問題共含有31個(gè)隨機(jī)變量,即水平力(F1～F7),8種不同梁單元的實(shí)常數(shù),即截面積(A1～A8)、抗彎慣性矩(I1～I(xiàn)8)以及截面高度(h1～h8)已在圖5中表示。分布情況如表5所示,假設(shè)各隨機(jī)變量相互獨(dú)立。彈性模量E=5×1011Pa,泊松比ν=

表3 均值可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculated results of reliability sensitivity for mean value

表4 標(biāo)準(zhǔn)差可靠性靈敏度計(jì)算結(jié)果Tab.4 Calculated results of reliability sensitivity for standard deviation

圖5 7層平面框架Fig.5 Plane frame structure with seven layers

0.3,考慮鋼筋混凝土的質(zhì)量(密度取2.5 t/m3)。

若規(guī)定右上方的水平位移不能超過20 mm,則極限狀態(tài)函數(shù)為G(x)=20-Δ(x).將隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量,將差分步長公式中的放大倍數(shù)設(shè)為c=5,模型計(jì)算精度設(shè)為ε=10-4,求得設(shè)計(jì)點(diǎn)u*為(0.000 4,-0.000 3,-0.000 7,-0.003 4, -0.009 1,-0.021 2,-0.038 4,0.000 4, -0.011 8,-0.060 8,-0.108 0,-0.166 0, -0.225 1,-0.531 9,-3.362 4,-0.457 6,0,0,0, 0,0,0,0,0,0.0332,0.0566,0.0691,0.0851,0.0992, 0.113 9,0.097 2)。產(chǎn)生N=50 000個(gè)樣本點(diǎn)并將其映射到極特征平面內(nèi),調(diào)用35次極限狀態(tài)函數(shù)得到調(diào)整后的直線位置如圖6所示。

截去下方數(shù)據(jù)點(diǎn),統(tǒng)計(jì)直線上方共有Nup=36個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn),因此失效概率Pf=Nup/N=7.2×10-4.根據(jù)得到的設(shè)計(jì)點(diǎn)應(yīng)用FORM、SORM以及ISM估計(jì)可靠度,結(jié)果如表6所示。

表5 隨機(jī)變量分布參數(shù)列表Tab.5 Distribution parameters of random variables

圖6 框架結(jié)構(gòu)可靠性問題的截?cái)嘀本€Fig.6 Truncated line for reliability analysis of frame structure

表6 算例2可靠度計(jì)算結(jié)果Tab.6 Calculated results of Example 2

本問題涉及的隨機(jī)變量個(gè)數(shù)更多,并且由于水平力服從對數(shù)正態(tài)分布,因此在將其轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量時(shí)給極限狀態(tài)函數(shù)帶來了較強(qiáng)的非線性,應(yīng)用降維可視化技術(shù)進(jìn)行可靠性及可靠性靈敏度分析卻不受之影響,且效率較高。考慮模型計(jì)算精度的差分步長的選取保障了iHLRF法的收斂,計(jì)算可靠性靈敏度的方法與算例1相同,由于變量較多,不再列出結(jié)果。

5 結(jié)論

1)本文提出的可靠性靈敏度分析方法是在平面內(nèi)進(jìn)行的,利用了映射到平面內(nèi)的失效類數(shù)據(jù)點(diǎn)的高度聚集性,僅用一條直線上方的數(shù)據(jù)點(diǎn)提供的信息計(jì)算可靠性靈敏度,方法不受維度以及非線性的影響,且效率較高。

2)確定截?cái)嘀本€的方法僅需調(diào)用較少次數(shù)的極限狀態(tài)函數(shù),提高了降維可視化技術(shù)的效率。

3)根據(jù)模型計(jì)算精度確定的有限差分步長能夠準(zhǔn)確地求解極限狀態(tài)函數(shù)響應(yīng)的梯度,保證了應(yīng)用iHLRF法求解設(shè)計(jì)點(diǎn)能夠滿足收斂條件。

4)方法規(guī)則,易于實(shí)現(xiàn)程序化。算例表明本文給出的基于降維可視化技術(shù)的可靠性靈敏度計(jì)算公式是有效和正確的。

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Analysis of Structural Reliability Sensitivity Based on Dimensionality Reduction and Visualization Technique

LI Hao-chuan1,SUN Zhi-li1,WANG Hai2
(1.School of Mechanical Engineering and Automation,Northeastern University,Shenyang 110819,Liaoning,China; 2.Shenyang Jinxin Hongmei Materials Co.Ltd.,Shenyang 110001,Liaoning,China)

For the implicit reliability problem with multiple dimensions,the reliability sensitivity of structure is analyzed by applying the dimensionality reduction and visualization technique.The design point is found based on iHLRF method,and the step size of finite difference is determined according to the modeling computational precision.The plane is divided into two parts of safe domain and failure domain by a straight line,and the final position of the straight line is determined by calculating the responses corresponding to several data points nearby its initial position.The dimensionality and nonlinearity do not affect the accuracy of the proposed method,which also has relatively high efficiency.Finally,the reliabilities of two structural systems and the reliability sensitivities of various influencing factors are calculated, which provides a theoretical basis for designing the structural systems.The examples show that these theories and formulas are rational and efficient.

applied statistical mathematics;structural reliability;reliability sensitivity;design point; dimensionality reduction and visualization technique;iHLRF method

TB114.3

A

1000-1093(2014)11-1876-07

10.3969/j.issn.1000-1093.2014.11.020

2014-03-03

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51135003)

李皓川(1987—),男,博士研究生。E-mail:lhcneu@163.com;

孫志禮(1957—),男,教授,博士生導(dǎo)師。E-mail:zhlsun@mail.neu.edu.cn