能否有的F-t圖像

洪和森

(浙江省舟山中學 浙江 舟山 316021)

【題目】汽車在平直公路上以速度v0勻速行駛，發動機功率為P，牽引力為F0.t1時刻，司機減小了油門，使汽車的功率立即減小一半，并保持該功率繼續行駛，到t2時刻，汽車又恢復了勻速直線運動.下面幾個關于汽車牽引力F,汽車速度v在這個過程中隨時間t變化的圖像中正確的有

這是一道典型的機車類問題，出現在眾多的高考復習資料中，但筆者認為該題的F-t圖像是不應該有的.本文將結合參考文獻[1,2]從數學角度進行推導，并利用Modellus進行仿真后繪制出F-t圖像，從而來說明本文的觀點，如有不當，還望同行不吝賜教.

1 數學推導

(1)

在t1時刻以后功率、牽引力和速度之間的關系為

(2)

由于式(2)中P是恒定值，而F,v均隨時間發生變化，故式(2)兩側分別對時間t求導可得

(3)

根據加速度的定義

和牛頓第二定律

F-F0=ma

可得

(4)

由式(2)可得

(5)

把式(4)、(5)帶入式(3)得

(6)

對式(6)整理可得

(7)

若令

對y進行求導并整理可得

(8)

那么F-t圖像該怎么畫呢？參考文獻[1,2]中不約而同地畫成了如圖1所示的圖像，但這種畫法是否正確，筆者認為值得商榷.

圖1

圖2

2 Modellus仿真

Modellus是由葡萄牙新里斯本大學科學與技術學院的Vitor Duarte Teodoro教授帶領下開發的科學模擬軟件，是一個簡單易學的免費軟件，并具有良好的交互性，其界面如圖3所示，界面主要由標題欄、功能區、動畫區(內有“數學模型”“圖”“表格”“注解”4個窗口)、動畫控制區組成.

圖3 Modellus的界面構成

根據題目的情形，可以在“數學模型”窗口中構建如圖4所示的數學模型，其中v0設置為30 m/s，F0設置為3 000 N，汽車的質量m設置為2 000 kg，t1時刻設置為1 s末，k表示牽引力F隨時間的變化率.

圖4 構建數學模型

把“圖”窗口中的縱軸設置為F，點擊“播放”后，可以在“圖”窗口中看到F-t圖像，如圖5所示.

圖5 繪制F-t圖像

而后把“圖”窗口中的縱軸設置為k，就可以得到如圖6所示的k-t圖像，從中可以看到,F-t圖像的斜率的確如前面推導的那樣變化.

圖6 繪制k-t圖像

3 小結

因此，本題目的中F-t圖像選項的設置對大多數學生而言，只能在模糊中判斷，并容易形成錯誤的觀點，失去了題目應有的意義，故筆者認為題目中的F-t圖像不該有.

參考文獻

1 周美健. 關于一道機車啟動問題的深思.中學物理，2007(8):52～53

2 張淵. 汽車牽引力與時間關系圖像凹凸性的討論.物理教師, 2010(12):39～40