靜電平衡導體表面電荷分布的MATLAB模擬

吳 昊 吳方平 韓仙華

(解放軍理工大學理學院 江蘇 南京 211101)

在大學物理教學中，關于靜電平衡的導體表面感應電荷的分布，由于涉及到電動力學的知識，大學物理課程不便介紹定量的理論計算過程.在這方面的教學研究文獻中，基本可分為以下三類：

第一類是用電場線分布和高斯定理來分析問題，未涉及導體各點處感應電荷的定量分布[1,2];

第二類是基于電動力學來分析一些對稱性較強的情形(球形或橢球形)[3,4]；

第三類給出了個別情況下導體表面電荷面密度的二維分布圖[5,6].

本文作者受第三類文獻的啟發，嘗試經過電動力學的理論推導得到的結果，再用MATLAB科學計算軟件模擬一個典型的對稱性較強的靜電平衡導體表面電荷分布.相比第三類文獻，我們不僅總結了研究對象在初始狀態改變時相應的變化趨勢，還以立體直觀的三維圖像呈現了感應電荷分布.

1 處在點電荷電場中的導體球

圖1中一半徑為R的導體球，距球心a(a>R)處有一點電荷q，求導體球表面感應電荷分布.

圖1 處在點電荷電場中的導體球

采用電像法[7]，表面的感應電荷分布為

(1)

取導體球半徑為0.1 m,點電荷距離球心分別為0.2 m,0.3 m,0.5 m,導體球表面感應電荷密度分布如圖2所示.由圖2可知，感應電荷面密度有正有負，并且在圖中也能得到正負電荷的分界線.當點電荷離球心足夠遠(如圖中取0.5 m)時，電荷面密度趨向均勻分布.

圖2 不接地導體球表面感應電密度分布圖

2 處在點電荷電場中的接地導體球

若導體球接地，導體球表面感應電荷面密度為

(2)

取接地導體球半徑為0.1 m, 點電荷距離導體球球心分別取0.2 m,0.3 m,0.5 m時，導體球表面電荷分布如圖3所示.

圖3 接地導體球表面電荷分布

由圖3可知，接地時，導體球感應電荷面密度均為負，大小隨θ角增大而減小.當點電荷離球心足夠距離時，電荷面密度同樣趨向均勻分布.

3 兩種情況的對比與三維顯示

圖4為導體球半徑為0.1 m, 點電荷距離導體球球心為0.2 m時，導體球不接地與接地時表面感應電荷分布的對比圖.

圖4 導體球不接地與接地時的對比圖

取導體球半徑為0.1 m, 點電荷距離導體球球心為0.2 m時，導體球不接地與接地時表面感應電荷分布的三維模擬圖分別如圖5所示.

(a)導體球不接地時三維模擬圖

(b)導體球接地時三維模擬圖

為不影響電荷密度數值的表達，圖中未勾畫出導體球外廓.通過操作指令，可以旋轉視角，觀察不同位置處電荷分布.

若導體球內有一同心球狀空腔，空腔內有一點電荷.空腔導體球外表面感應電荷分布由對稱性比較容易求得，而空腔內表面的感應電荷分布經推導，結果與上述無空腔時導體球外表面電荷分布完全吻合，在此不再贅述.

4 結語

從上述典型情況的模擬圖可以看出，利用MATLAB模擬靜電平衡導體的感應電荷分布，解決了大學物理課程不便將相應內容的定量運算過程引入課堂教學中的問題，很好地給學生呈現了感應電荷分布的定量表示，一方面展示了在不同初始狀態下感應電荷分布的變化情況，另一方面三維圖像立體直觀的效果也能極大地促進學生對相應內容的理解.

參考文獻

1 趙彥杰,張澤波.導體靜電平衡時求解電量的基本原則分析.德州學院學報,2003,19(2):29～31

2 淵小春.對導體處于靜電平衡狀態幾個問題的討論.陜西師范大學繼續教育學報(西安),2006,23(4):103～105

3 王秀娥.關于靜電平衡導體表面電荷分布規律的研究.北京工商大學學報(自然科學版)，2003，21(3):59～60

4 陳伯俊,周思華.靜電平衡條件下導體面電荷分布研究.新鄉學院學報(自然科學版),2009,26(5):22～23

5 呂榮華，倪一寧.關于靜電平衡中導體感應電荷分布的問題.物理通報，2002,4:42～43

6 江俊勤.關于靜電平衡中導體感應電荷分布的問題.物理教師,2001,22(11):29～30

7 羅春榮，陸建隆.電動力學.西安：西安交通大學出版社，2000.80～81