齒輪傳動系統在隨機激勵下的響應分析

張轉周，鮑春梅，代珊妮，吳祥標

(1.遵義師范學院數學與計算機科學學院，貴州遵義 563002; 2.中國建設銀行甘肅分行金城支行，蘭州 730070)

齒輪傳動系統在隨機激勵下的響應分析

張轉周1，鮑春梅2，代珊妮1，吳祥標1

(1.遵義師范學院數學與計算機科學學院，貴州遵義 563002; 2.中國建設銀行甘肅分行金城支行，蘭州 730070)

基于齒輪嚙合原理及隨機振動理論，在不考慮齒面摩擦的情況下，采用集中質量法，建立直齒圓柱齒輪傳動系統4自由度的簡化模型。在該模型中，由于參數的隨機擾動和隨機激勵的存在，使得確定性的系統變為隨機系統。針對系統中隨機參數作用的特點，建立新的齒輪系統非線性模型，研究隨機參數下齒輪傳動系統的響應和隨機外激勵下系統的響應，并結合MATLAB軟件對齒輪傳動系統的響應進行了仿真分析。

齒輪系統;非線性模型;隨機激勵;時變嚙合剛度;齒側間隙;阻尼比

作為一種最常用的傳動機構，齒輪系統的振動直接影響機械系統的性能和工作可靠性。而在該系統的加工和裝配過程中，由于受到各種隨機因素的影響，嚙合剛度、阻尼等參數具有隨機性，使得確定性的系統演變為隨機系統［1-6］。同時，隨機系統的振動特性不能用確定的時間函數表達，只能用概率統計的方法研究其規律［7-9］。對此，本文主要考慮齒輪系統的時變嚙合剛度、阻尼比、齒側間隙等參數隨機變動時，齒輪非線性動力系統的動態特性。

1 齒輪系統模型的建立

在不考慮齒面摩擦的情況下，采用集中質量法建立直齒圓柱齒輪副的嚙合耦合型動力學模型，如圖1所示。

圖1 動力學模型

該模型是一個二維平面振動模型，具有4個自由度，分別為主、被動齒輪繞旋轉中心的轉動自由度和Y方向的平移自由度，表示為{yp，θp，yg，θg}T。其中:Rp，Rg;Tp，Tg;I1，I2分別表示主、被動齒輪的半徑、轉動平移振動剛度系數;e為齒輪的靜態傳遞誤差。根據牛頓第二定律，可得到圖1所示的系統運動微分方程:

如果假設x(t)=yp+Rpθp(t)-yg+ Rgθg(t)-e(t)，即為本文所研究的系統中齒側間隙x≤1的情形，因此上述模型在嚙合線方向上寫成矩陣形式為:

其中:［M］表示系統質量矩陣;［C］表示阻尼矩陣; ［K］表示剛度矩陣。

此方程是含有隨機參數和隨機激勵的動力學方程。齒輪系統的隨機荷載{F}與綜合嚙合剛度、阻尼和靜態傳遞誤差e有關，因此{F}可以分解為Fk+Fc+Fe，Fk表示由嚙合剛度kc引起的輪齒嚙合力，Fc表示由阻尼cm引起的嚙合力，Fe表示由誤差引起的輪齒內部嚙合力，因此方程表達式變為

2 模型的分析

由于齒輪傳動系統的工作狀態極為復雜，不僅存在多種荷載工況和動力裝置，還會出現由原動機或負載方面引入的外部激勵，通常我們稱之為荷載，本文中用Fah表示。因此，式(1)方程最終表示為

3 參數激勵下齒輪系統的響應分析與模擬

3．1 隨機剛度激勵

由文獻［4］可知，在確定參數系統工作狀態下，算得無量綱參數分別為ξ=0．02，cε=0．2，e= 0．002，b=0．005。若齒輪系統的無量綱阻尼、間隙、靜態誤差的幅值都是隨機變量，假定各隨機變量均服從正態分布，其均值和方差的取值如表1所示。

表1 各隨機變量的均值和方差

由于參數的隨機性，使得振動響應也將帶有隨機性，采用非線性系統數值逐步積分的Runge-Kutta法對系統動力微分方程進行求解計算，對該狀態進行隨機參數振動的數值模擬得到響應時間歷程如圖2所示。

圖2 不同嚙合頻率的隨機系統振動響應時間歷程

從仿真效果可以看出:隨著嚙合頻率的變化，在周期振動點，隨機參數系統的響應幅值變化不大，隨著頻率的增大，隨機參數系統會產生失效振幅，從而破壞整個系統，最終影響系統的可靠性。

3.2 隨機阻尼激勵

對于隨機參數齒輪傳動系統，嚙合剛度具有周期性，取齒輪嚙合系數Cε=0．2，固定內激勵頻率ωc=1．0，Fm=0．1，e=0．002，b=0．005，若齒輪系統的嚙合頻率、間隙、靜態誤差的幅值都是隨機變量，并假定各隨機變量均服從正態分布，其均值和方差取值如表2所示。

表2 各隨機變量的均值和方差

采用非線性系統數值逐步積分的Runge-Kutta法進行系統動力微分方程的求解計算，對該狀態進行隨機參數振動的數值模擬得到響應時間歷程如圖3所示。

圖3 隨機阻尼激勵的隨機系統振動響應時間歷程

4 結論

1)在系統中其他參數給定的情況下，通過仿真分析發現:在周期振動點，參數激勵雖然使得系統的周期振動響應變為隨機振動，但是對系統振幅的影響不大;隨著嚙合頻率的增大，隨機參數系統會產生失效振幅，從而破壞整個系統。

2)對于確定性齒輪傳動系統，隨著阻尼比的逐漸增大，系統的振動周期沒有發生變化，而振幅卻明顯地衰減，最后趨于穩定狀態。這說明參數的擾動對隨機系統的振動頻率、振動幅值以及系統的穩定性都有很大的影響。

［1］李潤方，王建軍.齒輪系統動力學:振動、沖擊、噪聲［M］.北京:科學出版社，1997.

［2］Kahraman A，Singh R.Nonlinear dynamics of a spur gear pair［J］.Journal of Sound and Vibration，1990，142(1): 49-75.

［3］Velex P，Ajmi M.On the Modeling of Excitations in Geared System by Transmsion Errors［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，209(3):882-909.

［4］Wei Lujian，LingZeng Fan.Influences of stochastic perturbation of parameters on dynamic behavior of gear system［J］.Journal of Mechanical Science and Technology，2011，25(7):1667-1673.

［5］LIU Haixia，WANG Sanmin，GUO Jiashun.Solution Domain Boundary Analysis Method and Its Application in Parameter Spaces of Nonlinear Gear System［J］.Chinese Journal of Mechanical Engineering，2011，24(3).

［6］唐進元，陳思雨，鐘掘.一種改進的齒輪非線性動力學模型［J］.工程力學，2008，25(1):217-223.

［7］邱峻.基于遺傳算法的特種齒輪傳動系統優化設計［J］.四川兵工學報，2012(2):68-70，72.

［8］陳殿華，張國慶.考慮彈流潤滑的WN齒輪副非線性振動分析［J］.潤滑與密封，2013(11):5-8.

［9］鄧雷，宋立權.斜齒圓柱齒輪傳動的彈性動力學仿真分析［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2013(1): 22-26.

(責任編輯 何杰玲)

Dynamic Response of Gear System with Time-varying under Random Excitation

ZHANG Zhuan-zhou1，BAO Chun-mei2，DAI Shan-ni1，WU Xiang-biao1
(1.School of Mathematics and Computer Science，Zunyi Normal University，Zunyi 563002，China; 2.Gansu Sub-bank of China Construction Bank，Lanzhou 730070，China)

A four freedom degrees mathematical model of cylinder gear transmission system is built using the lumped mass method，based on gear meshing theory and random vibration theory，but tooth surface friction is not considered.In this model，due to the stochastic parameters and random excitations，it has made the uncertainty system into stochastic system.A new model of the nonlinear gear system is established，aiming at the characteristics of random parameters in the system.So the dynamic response of gear transmission system with stochastic parameters and random excitations system has been researched and analyzed.And a simulation method which combines with MATLAB software is carried out to research the response of gear transmission system.

gear system;nonlinear model;random excitation;time-varying mesh stiffness;gear backlash;damping ratio

TH13

A

1674-8425(2014)08-0050-05

10.3969/j.issn.1674-8425(z).2014.08.011

2014-02-18

貴州省科技廳聯合基金資助項目(黔科合J字LKZS［2014］30號)

張轉周(1984—)，男，甘肅靜寧人，碩士，主要從事齒輪傳動研究。

張轉周，鮑春梅，代珊妮，等.齒輪傳動系統在隨機激勵下的響應分析［J］.重慶理工大學學報:自然科學版，2014(8):50-54.

format:ZHANG Zhuan-zhou，BAO Chun-mei，DAI Shan-ni，et al.Dynamic Response of Gear System with Timevarying under Random Excitation［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014 (8):50-54.