紅楓分形維數(shù)中的物理機(jī)制

顏揚(yáng)杰，韋建衛(wèi)，程榮祿，夏雪峰

(重慶理工大學(xué)，重慶 400054)

紅楓分形維數(shù)中的物理機(jī)制

顏揚(yáng)杰，韋建衛(wèi)，程榮祿，夏雪峰

(重慶理工大學(xué)，重慶 400054)

采用Matlab程序計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量相結(jié)合的方法，以重慶理工大學(xué)校園內(nèi)隨機(jī)選取的3棵紅楓為研究對(duì)象，分別測(cè)量并計(jì)算了植物整體和部分的三維空間分形維度，得出該種植物分形維度與陽光等物理因素之間的關(guān)系，以及植物生長過程中的維度變化規(guī)律。研究結(jié)果表明:植物的維度大小與其生長的物理環(huán)境具有邏輯關(guān)系。這些關(guān)系有助于深入研究高等植物的生長規(guī)律，進(jìn)而為人工裁剪和控制的自然原理提供理論支持。

紅楓;分形維度;計(jì)盒維數(shù)

傳統(tǒng)的幾何學(xué)不能夠描述大自然的復(fù)雜性和多樣性，從而使我們無法了解這些復(fù)雜性和多樣性背后的機(jī)制。美國科學(xué)怪杰Mandelbrot于1975年首先提出分形幾何的概念。主要用于描寫云彩﹑山嶺﹑海岸線或樹木等自然而不規(guī)則的形狀。而分形幾何學(xué)在描述和理解大自然的復(fù)雜性和多樣性方面具有重要作用［1－3］。十幾年來，分形迅速發(fā)展，應(yīng)用范圍涉及自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域。在分形幾何理論中，分形維數(shù)是最重要基本概念之一。關(guān)于分形維數(shù)的定義，主要包括Hausdorff維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)、計(jì)盒維數(shù)、相似維數(shù)等。高等植物為構(gòu)件生物，是由構(gòu)件不斷地生長增加而形成的，如由葉、芽、枝、花、根的反復(fù)不斷地生長增加而形成整個(gè)植物體。高等植物的形態(tài)結(jié)構(gòu)具有自相似特征，摘下其中任意一支枝干，將其插在地上，可看成縮小的植株。但并非植株的每一部分都生長得同樣茂盛，這與它所在的生長環(huán)境(如陽光、空間分布等物理因素)有密切關(guān)系。近年來，運(yùn)用分形理論對(duì)植物的各種具體特征的研究越來越多［4－7］。

分形早期用來描述一些復(fù)雜但具有嚴(yán)格數(shù)學(xué)規(guī)則的特殊結(jié)構(gòu)，如柯赫曲線(Koch curve)、柯赫雪花(Koch snowflake)、康托塵埃(Cantor dust)、明可夫基香腸(Minkowski sausage)、謝爾賓斯基方毯(Sierpinski carpet)等等。這些圖形具有嚴(yán)格的自相似性，將圖形中任意部分放大都能得到與整體相似的形狀，但是這些結(jié)構(gòu)因其無窮小、無限多的迭代而無法嚴(yán)格存在于自然界中。同樣的，自然界中的物體也難以進(jìn)行嚴(yán)格明確的數(shù)學(xué)定義。英國數(shù)學(xué)家Falconer［8］參考生物學(xué)家的做法，通過列出分形的具體特性來給分形下定義。

本文運(yùn)用分形幾何的理論對(duì)重慶理工大學(xué)校園常見的一種植物的生長特性進(jìn)行了研究，通過計(jì)算植物不同部分的計(jì)盒分形維度，分析得到的分形維度與植物所在的空間環(huán)境關(guān)系，為研究高等植物的生長規(guī)律提供一定的理論支持。

1 分形、分形維數(shù)與計(jì)盒維數(shù)原理

在經(jīng)典的歐幾里得幾何中，我們已經(jīng)習(xí)慣于用拓?fù)渚S度來表示空間:如零維的點(diǎn)、一維的線、二維的平面、三維的立方形，其所表示的維度都是整數(shù)。然而，大自然中的山峰、樹木、云朵等物體因其復(fù)雜和不規(guī)則性并不能用簡單的線段、矩形、三角形和圓等規(guī)則的圖形來描述，分形因此誕生。它能很好地描述這些復(fù)雜的物體，所得到的維度并非整數(shù)，而是分?jǐn)?shù)，稱為分形維數(shù)。例如計(jì)算出柯赫曲線的計(jì)盒維數(shù)為1.261 8，它大于線的拓?fù)渚S度1。原因是柯赫曲線可無限進(jìn)行下去，將幾乎覆蓋整個(gè)平面。

試想有一條單位長度的線段，用長為r的小線段去覆蓋它，需要1/r個(gè)小正方體;如果是單位邊長的正方形，則需要1/r2個(gè)小正方形;如果是單位邊長的立方體，覆蓋它需要1/r3個(gè)小正方體。值得注意的是r的指數(shù)和被覆蓋的對(duì)象的維度是相同的，這并非偶然。一般我們可以用“盒子”來覆蓋任意形狀的圖形。

設(shè)A是Rn空間的任意非空有界子集，對(duì)任意的一個(gè)r＞0，Nr(A)表示用來覆蓋A所需的邊長為r的n維立方體(盒子)的最小數(shù)目。如果存在一個(gè)數(shù)d，使得當(dāng)r→0時(shí)，有

那么稱d為A的計(jì)盒維數(shù)(簡稱盒維數(shù))。盒維數(shù)為d，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)正數(shù)k使得

由于方程兩邊都為正，因此可以對(duì)方程兩邊取對(duì)數(shù)，得

這里舍去了logk這一項(xiàng)，因?yàn)樗浅?shù)項(xiàng)。當(dāng)r→0時(shí)，分母趨于無窮大。

在實(shí)際計(jì)算中，可以使用不同邊長的立方體來覆蓋圖形，得出不同r值下的Nr(A)，再以logr為橫坐標(biāo)、logNr(A)為縱坐標(biāo)的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中描出點(diǎn)(logri，logNri(A))，最后由這些點(diǎn)擬合出來的直線的斜率的負(fù)值便是圖形A的維數(shù)。

2 樣本植株

圖1為測(cè)量維度的紅楓樣本植株。圖1(a)～(c)分別為樣本1、樣本2、樣本3。

圖1 測(cè)量維度的紅楓樣本植株

3 測(cè)量方法及所得數(shù)據(jù)

首先在空間中建立三維直角坐標(biāo)，選取適當(dāng)?shù)脑c(diǎn)，本次測(cè)量都將原點(diǎn)取在離植株較遠(yuǎn)的位置，確保植株所有枝干都能在坐標(biāo)系的第一象限中。定好原點(diǎn)，確定好主枝干的坐標(biāo)位置，便可開始測(cè)量每一級(jí)分叉點(diǎn)的空間坐標(biāo)，即分叉點(diǎn)在xz平面和y－z平面投影坐標(biāo)，并記下是第幾級(jí)分叉點(diǎn)。一人測(cè)量，一人記錄。測(cè)量工具為米尺，其精度為 mm，本次研究的精度為 cm，且數(shù)據(jù)取整數(shù)。

4 結(jié)果及分析

根據(jù)測(cè)量所得數(shù)據(jù)，已知2個(gè)分叉點(diǎn)的坐標(biāo)便可在空間確定一條直線，該直線即為樣本枝干的模擬。利用Matlab［9］軟件建立一個(gè)6行n列的矩陣，n為所測(cè)量的樣本的枝干數(shù)目，前3行為一個(gè)分叉點(diǎn)的坐標(biāo)，記為x1，y1，z1;后3行為另一個(gè)分叉點(diǎn)的坐標(biāo)，記為x2，y2，z2。接著在z1到z2之間每隔0.01取一個(gè)數(shù)，在x－z平面利用直線的點(diǎn)斜式公式便可算得該線段上的其他點(diǎn)的x坐標(biāo)，同理，在y－z平面得到該線段上其他點(diǎn)的y坐標(biāo)。這樣一系列的點(diǎn)在空間構(gòu)成一條線段，重復(fù)以上步驟得到三維立體數(shù)字樣本模型(見圖2)，利用前面所得的模型可計(jì)算其盒維數(shù)。首先將空間分割成一個(gè)個(gè)“盒子”，并為每個(gè)“盒子”按其空間位置編號(hào)，如(2 3 4)表示“盒子”的x坐標(biāo)在r到2r之間;y坐標(biāo)在2r到3r之間;z坐標(biāo)在3r到4r之間，其中r為“盒子”邊長。每條線段上的點(diǎn)依次判斷在哪個(gè)“盒子”里，最后去掉編號(hào)相同的“盒子”，所得的便是該樣本模型在空間中占據(jù)的“盒子”數(shù)，記為Nr。改變“盒子”邊長重復(fù)計(jì)算得到在不同邊長時(shí)占據(jù)的“盒子”數(shù)。最后在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并運(yùn)用最小二值法擬合直線(見圖3)，所得直線斜率的負(fù)值即為盒維度。

圖2 三維立體數(shù)字樣本模型

圖3為3個(gè)樣本數(shù)據(jù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中擬合的直線。擬合圖縱坐標(biāo)為盒子數(shù)的對(duì)數(shù)，橫坐標(biāo)為盒子邊長對(duì)數(shù)。data1，data2對(duì)應(yīng)樣本1;data3，da－ta4對(duì)應(yīng)樣本2;data5，data6對(duì)應(yīng)樣本3。

圖3 3個(gè)樣本數(shù)據(jù)在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)中擬合的直線

表1 3個(gè)樣本的維度結(jié)果

表2 3個(gè)樣本在不同尺寸下的盒子覆蓋數(shù)

由于同種植物應(yīng)有相同的生長規(guī)律，所得的整體維數(shù)應(yīng)該接近。計(jì)算結(jié)果表明:3棵紅楓的整體維數(shù)接近，符合實(shí)際情況。

在向陽的方向得到的維數(shù)都略大于背陽的方向。從得到的圖像中也可以看出:向陽方向的圖像更為復(fù)雜，在實(shí)際中表明植物向陽方向?qū)⑸L得更為茂密，植物有向光方向生長的趨勢(shì)。向陽部分的維度結(jié)果表明:陽光能夠提供更多的生長動(dòng)力，使其更多地進(jìn)行分叉、抽枝，以占領(lǐng)更多空間區(qū)域而獲得更多能量，進(jìn)而促進(jìn)整個(gè)植株的整體優(yōu)勢(shì)地位。

植物的樹冠部分與靠近地面的樹干部分的維數(shù)有較大的差異，在實(shí)際中表明植物越往上生長，其結(jié)構(gòu)會(huì)更為復(fù)雜。在底部主枝干分級(jí)少，往上生長分級(jí)越多，各級(jí)枝干越多，生長茂密，橫向?qū)挾纫苍龃蟆Ｔ撝参飿颖驹缙跁r(shí)維度較小，隨著生長發(fā)育的進(jìn)行維度逐漸增加，當(dāng)成年后基本確定下來。因此，想要使得植物生長較為高大，則需要不斷地修剪多余的分叉，使得植株在維度較低情況下繼續(xù)分叉生長。

計(jì)算結(jié)果如表1和2所示，3棵紅楓植株的整體分形維數(shù)分別為1.395 1，1.482 7，1.308 0。本次研究所得的圖像是在三維空間中用描點(diǎn)的形式模擬實(shí)際中紅楓植株的形狀，忽略了植株枝干的粗細(xì)，所得圖像在三維空間中占少量的體積，得到的維度比實(shí)際數(shù)據(jù)略有偏低，但同時(shí)也考慮了樣本1入直徑數(shù)據(jù)的計(jì)算情況。結(jié)果發(fā)現(xiàn):各個(gè)部分的維度都有增加，但是它們之間的相對(duì)關(guān)系并無根本性的變化，因此并不影響結(jié)論，故認(rèn)為此次維數(shù)計(jì)算是合理的。

5 結(jié)束語

本次研究對(duì)植株分叉點(diǎn)的坐標(biāo)采取人工測(cè)量，測(cè)量過程對(duì)樹葉的空間占據(jù)有所忽略，但據(jù)實(shí)物情況來看，葉子數(shù)基本正比于枝干的長度，枝干的維度也就基本反映了葉子的各部分情況，所以定性結(jié)果是較為準(zhǔn)確的。若能采用大型三維投影設(shè)備可得到植株的全部信息，增加樣本數(shù)量，再對(duì)程序進(jìn)行改進(jìn)，加上植株的實(shí)際直徑，得到的結(jié)果將更科學(xué)、更有說服力。

［1］ 陳紅，夏青，左婷，等.基于紋理分析的香菇品質(zhì)分選方法［J］.農(nóng)業(yè)工程學(xué)報(bào)，2014，30(3):281－287.

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(責(zé)任編輯 劉 舸)

Physical Mechanism of Fractal Dimensionality of Red Maple

YAN Yang－jie，WEI Jian－wei，CHENG Rong－lu，XIA Xue－feng
(Chongqing University of Technology，Chongqing 400054，China)

Combining experimental measurement and the calculation of Matlab code，the physical factors of plant growth have been analyzed through fractal dimensionality data.Three red maples were selected randomly and measured.The space coordinates of the branches were recorded and loaded into computer.The fractal dimensionalities were calculated and analyzed with Matlab code through boxcounting method.We find the relevance between the sunlight and the fractal dimensionalities.The law of the dimensionality changing of the plant has also been studied.The results indicate that there is an inevitable logical relationship between physical environment and dimensionality of the plant.The relationship will assist the investigation of plant growth rhythm.Furthermore，it will benefit to the natural principle of artificial clip.

red maple;fractal dimensionality;box－counting dimension

O29

A

1674－8425(2014)07－0127－05

10.3969/j.issn.1674－8425(z).2014.07.025

2014－02－20

國家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(11204391);重慶市教委項(xiàng)目(KJ130831);2013年校級(jí)科研立項(xiàng)項(xiàng)目(GD15)

顏揚(yáng)杰(1992—)，福建泉州人，主要從事計(jì)算機(jī)仿真模擬數(shù)值計(jì)算研究;通訊作者韋建衛(wèi)(1980—)，男，河南焦作人，博士，副教授，主要從事納米材料與器件方面的研究。

顏揚(yáng)杰，韋建衛(wèi)，程榮祿，等.紅楓分形維數(shù)中的物理機(jī)制［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2014(7): 127－131.

format:YAN Yang－jie，WEI Jian－wei，CHENG Rong－lu，et al.Physical Mechanism of Fractal Dimensionality of Red Maple［J］.Journal of Chongqing University of Technology:Natural Science，2014(7):127－131.