淺析對立原則在數學教學中的應用

王澤香

（上海市鐘山高級中學，上海 200434）

數學學習堪稱是“思維的體操”.在教學中，怎樣激發學生求異思維、展開學生的想象思維的翅膀，最大限度地吸引學生進入積極思維的學習狀態，打開學生的數學思維的大門，是當前二期課改的重要課題之一.在數學教學中，經常遇到學生講：“沒思路、想不到……”教師怎么去幫助學生解決這些學習上的問題呢?教師一定要千方百計地為學生創設促進思維的情境，構建一個互動的平臺，使數學教育真正面向全體學生，充分發揮數學在提高學生的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面的獨特作用.叩開學生的數學思維的心扉，學生思維能力才能不斷發展，素質才能不斷提高.解題的過程，實際就是轉化的過程，每個命題都有多個不同的轉化方向和路線.因此怎樣探索和如何選擇最佳的轉化方向和線路就成了解題的關鍵.矛盾的雙方是對立的也是統一的.如果矛盾著的雙方各向其對立的轉化，就是本文要探討的對立原則，它是解題的一個指導原則，也是培養和發展思維能力的重要課題，以下就從幾個方面加以解析.

一、“未知”與“已知”的相互轉化

在解題時，面對陌生的數學題目，我們要設法找出已經熟悉的東西，要盡可能地與自己已有知識、方法和經驗掛上鉤，想辦法把不熟悉轉化為熟悉的.“已知”與“未知”這一對矛盾的雙方加以轉化，沒有較強的辯證思維能力，就難以實現這種轉化.同時引導學生注意到知識的遷移，通過這樣的悉心引導，使學生能積極主動地參與知識的發生過程，例如：

解方程x3+（1+）x2-2=0

這是關于x的一元三次方程，不便求解，如能轉化為熟悉的一次方程或二次方程才便于求解，為此我們把x看作已知數而把看作未知數，將原方程轉化為關于的二次方程 （）2-x2-（x3+x2）=0，解得=-x或=x2+x，這兩個方程我們都很熟悉，都是解過的，這就實現了轉化.教學時，要認真研究所要解決的問題與學生已有的認知結構，兩者之間有什么樣的聯系，然后探索轉化的方法，同時引導學生注意到知識的遷移，通過這樣的悉心引導，反復地在數學思想方面接受熏陶，從而逐步形成自覺運用數學思想的意識.

二、“動”與“靜”相互轉化

“動”與“靜”是一對矛盾，“動”是絕對的，“靜”是相對，利用好“動”與“靜”相互轉化來解決問題會得到意想不到的結果.

邊長為a的正三角形頂點A在x正半軸上（含原點）移動，且頂點B在60°角的終邊（含原點）上移動.求頂點C到原點O距離的最大值與最小值.把運動的△ABC看作“靜止”的，靜止的坐標看作“運動”的，那么點O的軌跡是以AB為弦與點C在AB異側含60°圓周角所得弓形弧，當點O與A（或B）重合時，|OC|取最小值a，當點O與CO'延長直線上時，|OC|取最大值

三、“變”與“不變”的相互轉化

沒有一成不變的事物，任何事物都處于相互聯系和發展變化之中，數學問題也是這樣，“變”與“不變”是相對的，也是相互轉化的.

四、“一般”與“特殊”的相互轉化

欲解特殊性問題，不妨先去考慮它的一般性，待發現它的“一般”規律之后，再回到“特殊”性之中，問題就可迎刃而解.對于那些結論不明或解題思路不易發現的問題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉.

數列{an}滿足a1=1且8an+1an-16an+1+2an+5=0（n≥1）

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；

（Ⅱ）求數列{bn}的通項公式及數列{anbn}的前n項和Sn.

分析：（Ⅰ）a1=1，故

五、“平面”與“立體”的轉化

立體幾何中所蘊含的數學思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉化的思想方法，它貫穿立體幾何教學的始終，在立體幾何教學中占有很重要的地位.立體幾何中的轉化主要是空間問題向平面問題的轉化，轉化的目的是為了發現問題、分析問題和解決問題.如下問題6就是把某一立體的問題轉化為平面的問題，從而使問題得到解決，就是一個較為典型的數學轉化實例.四面體各頂點的三個面角之和都是1800，則三組相對的棱分別相等.在立體幾何里，很難找到多面體的面角與棱的因果關系，解這道題如果是循常規走老路，很難打開思路，要另辟蹊徑，以巧取勝.如把四面體沿其棱剪開，展成平面圖形，即可把問題轉化為平面幾何問題來處理.

統一離不開對立，一方的性質依賴于另一方來規定，這就是平常說的“相比較而存在”.其次，對立離不開統一，什么樣的東西才互相排斥呢?必須是具有某種共同的基礎、相互依存的東西，才同時呈現出排斥的傾向.如果不是相互依存的東西，那就意味著“徹底分離”、“毫不相干”，還談什么排斥呢?因此，有了這種轉化使問題由難變易，由繁變簡.數學中的轉化方法不勝枚舉，常見的其他轉化方法還有“分與合”、“進與退”的轉化等等，只要我們在教學中正確地利用好“對立原則”這一指導思想去解題，對于培養學生的科學精神、創新意識和實踐能力起著很重要的作用.